Elements (w starożytnej Grecji Στοιχεία / stoïkheïa ) jest matematyczne i geometryczne traktat , składający się z 13 książek zorganizowanych tematycznie, prawdopodobnie napisany przez greckiego matematyka Euklidesa około 300 pne. AD Zawiera zbiór definicji, aksjomatów , twierdzeń i ich demonstracji na temat geometrii euklidesowej i pierwotnej teorii liczb .
Praca jest najstarszym znanym przykładem aksjomatycznego i systematycznego traktowania geometrii, a jej wpływ na rozwój zachodniej logiki i nauki jest fundamentalny. Jest to prawdopodobnie najbardziej udana kolekcja w historii: Żywioły były jedną z pierwszych drukowanych ksiąg ( Wenecja 1482) i prawdopodobnie poprzedza ją tylko Biblia pod względem liczby wydań (znacznie ponad 1000). Od wieków jest częścią standardowego programu studiów uniwersyteckich.
Metoda Euklidesa polegała na tym, że opierał swoją pracę na definicjach, „ żądaniach ” (postulaty), „ pojęciach zwyczajnych ” (aksjomatach) i twierdzeniach (problemy rozwiązane, w sumie 470 w trzynastu księgach). Np. księga I zawiera 35 definicji ( punkt , linia , obszar itp.), pięć postulatów i pięć pojęć zwyczajnych.
Sukces Elements wynika przede wszystkim z logicznej i zorganizowanej prezentacji . Systematyczne i efektywne wykorzystanie rozwijania dowodów z ograniczonego zestawu aksjomatów skłoniło je do używania jako podręcznika przez wieki.
W całej historii aksjomaty i demonstracje Euklidesa budziły kontrowersje. Niemniej jednak Żywioły pozostają fundamentalnym dziełem w historii nauki i miały znaczny wpływ. W naukowcy Europejskiej Mikołaj Kopernik , Johannes Kepler , Galileusz , a zwłaszcza Isaac Newton były pod wpływem elementów i zastosowano wiedzę książki do własnej pracy. Niektórzy matematycy ( Bertrand Russell , Alfred North Whitehead ) i filozofowie ( Baruch Spinoza ) także próbowali napisać własne Elementy , aksjomatyczne struktury dedukcyjne stosowane w ich odpowiednich dyscyplinach.
Z pięciu postulatów zawartych w księdze I ostatni, z którego wyprowadzamy postulat równoległości : „w punkcie poza linią prostą przechodzi tylko jedna prosta, która jest do niej równoległa”, wydawał się zawsze mniej oczywisty niż inni. Kilku matematyków podejrzewało, że można to wykazać na podstawie innych postulatów, ale wszystkie próby tego nie powiodły się. Pod środku XIX e wieku wykazano, że taka demonstracja nie istnieje, że piąty postulat jest niezależna od czterech innych i że możliwe jest skonstruowanie spójnej nieeuklidesowa geometrie poprzez jego negację.
Pisemne ślady pojęć długości i ortogonalności pojawiają się w Mezopotamii w okresie między 1900 a 1600 rokiem p.n.e. AD Istnieje wiele śladów znajomości „ Twierdzenia Pitagorasa ” przynajmniej jako zasady obliczeń.
Chociaż większość twierdzeń poprzedza je, elementy były wystarczająco kompletne i rygorystyczne, aby przyćmić prace geometryczne, które je poprzedzały, i niewiele wiadomo o geometrii przedeuklidesowej. Na przykład, jeśli ktoś wierzy Neoplatonist Proklos ( V th century), Hipokrates z Chios był na V -tego wieku pne. J. - C. , pierwszy znany autor tradycji, który napisał elementy geometrii, ale te do nas nie dotarły.
Jej autor Euklides , aktywny około 300 roku p.n.e. AD , wydaje się być pod wpływem Arystotelesa ( -384 - 322 pne ) . Niewiele wiadomo o jego historii io jego traktacie.
Praca została przetłumaczona na język arabski po uzyskaniu Arabom przez Bizancjum , a następnie w języku łacińskim z tekstów arabskich ( Adelard z Bath w XII th Century, podjętą przez Campanus Novara ). Jej pierwsze wydanie drukowane pochodzi z 1482 roku, a następnie książka doczekała się szacunkowej liczby wydań ponad 1000, co najprawdopodobniej przewyższa jedynie Biblia. Kopie tekstu greckiego nadal istnieją, na przykład w Bibliotece Watykańskiej lub Bibliotece Bodleian w Oksfordzie , ale rękopisy te są różnej jakości i zawsze niekompletne. Analizując tłumaczenia i oryginały, można było postawić hipotezy na temat oryginalnej treści, z której nie zachowała się żadna kompletna kopia.
Matematycy zauważyli z czasem, że dowody Euklidesa wymagają dodatkowych założeń, nie sprecyzowanych w oryginalnym tekście, takich jak to, co stało się aksjomatem Pascha . David Hilbert podał w 1899 r. aksjomatyczny rozwój euklidesowej geometrii płaszczyzny i przestrzeni w swoim Grundlagen der Geometrie ( Podstawy geometrii ), aksjomaty są jasno sprecyzowane i przedstawione w zorganizowany sposób. Hilbert w szczególności podkreśla rolę aksjomatów równoległości (struktura afiniczna), porządku i padania (struktura projekcyjna) oraz ortogonalności (struktura euklidesowa).
Te elementy są zorganizowane w następujący sposób:
Do tłumaczenia Heatha dołączone są dwie księgi apokryficzne .
„ Elementy Euklidesa nie tylko był najwcześniej głównym greckim praca matematyczny zejść do nas, ale także najbardziej wpływowy podręcznik wszystkich czasów. [...] Pierwsze drukowane wersje Elementów pojawiły się w Wenecji w 1482 roku, jako jedna z najwcześniejszych ksiąg matematycznych, które zostały zapisane w czcionce; szacuje się, że od tego czasu ukazało się co najmniej tysiąc wydań. Być może żadna książka inna niż Biblia może się pochwalić tak wiele wydań, a praca z pewnością nie matematyczny miało wpływ porównywalny z tym z Euklidesa Elements . "
„ [...] Żywioły stały się znane Europie Zachodniej za pośrednictwem Arabów i Maurów. Tam Żywioły stały się podstawą edukacji matematycznej. Znanych jest ponad 1000 wydań Elementów. Jest to według wszelkiego prawdopodobieństwa, obok Biblii, najszerzej rozpowszechniona księga w cywilizacji świata zachodniego. "