Sekwencja geometryczna

Przykłady

W matematyce , A geometryczny sekwencją jest sekwencja z liczb , w której każdy składnik umożliwia wywnioskowanie następnego przez mnożenie przez stały współczynnik zwany powodów . Tak więc ciąg geometryczny ma następującą postać:

a, \ aq, \ aq ^ {2}, \ aq ^ {3}, \ aq ^ {4}, \ \ ldots

Definicję można zapisać w postaci relacji rekurencyjnej , czyli dla każdej liczby naturalnej $n$ :

u_ {n + 1} = q \ razy u_ {n} \; \ \ u_ {0} = a

Relacja ta jest charakterystyczna dla postępu geometrycznego, który można znaleźć na przykład w ewolucji konta bankowego o oprocentowaniu składanym lub kompozycji interwałów muzycznych . Umożliwia również modelowanie wzrostu wykładniczego (w którym zmiana jest proporcjonalna do wielkości) przez proces w czasie dyskretnym .

Ciągi geometryczne spełniają ogólny wzór na obliczanie wyrazów, jak również związanych z nimi szeregów . Mogą być również wykorzystywane do obliczania poszczególnych rozwiązań dla liniowych relacji rekurencyjnych .

Zakres zastosowania

Sekwencja geometryczna jest uprzywilejowanym narzędziem do badania zjawisk o wykładniczym wzroście lub spadku (jest to dyskretny odpowiednik funkcji wykładniczej ) lub do badania populacji, których wielkość podwaja się lub zmniejsza o połowę w przedziale stałego czasu (okresu).

Przykład:

Węgla 14 14 C jest atom radioaktywny , którego czas lub okres półtrwania T = 5730 lat (40 lat). Oznacza to, że w przypadku zamknięcia systemu (zakończenia handlu ze światem zewnętrznym) ilość węgla-14 zmniejsza się o połowę co 5730 lat.

Jeśli

N

jest ilością 14 C w układzie, to po T latach (T = 5730 lat) pozostaje tylko N/2 jąder 14 C. Pod koniec 2T pozostały tylko rdzenie N/4. Pod koniec 3T pozostaje tylko N /8 jąder. Jeśli nazwiemy

N n

ilość jąder 14 C na końcu

n

okresów, ciąg

( N n )

jest geometryczny ze stosunkiem 1/2.

W przyrodzie obserwujemy ciągi geometryczne. Na przykład układ planetarny HD 158259 składa się z czterech do sześciu planet, których okresy orbitalne tworzą niemal geometryczny ciąg rozumu $3 / 2$ .

Odnajdujemy zestawy geometryczne w systemie bankowym z obliczeniem odsetek składanych .

Przykład:

Kapitał $C 0$ zainwestowany przy 5% stopie zwrotu $0,05 \times$ odsetki $C$ $0$ po roku . Te odsetki dodane do kapitału dają nowy kapitał $C 1 = 1,05 \times C 0$ . Powtarzając ten proces każdego roku, tworzymy ciąg geometryczny o stosunku 1,05, ponieważ $C n + 1 = 1,05 \times C n$ .

Występują również w muzykologii . Począwszy od określonej częstotliwości początkowej, ciąg oktaw odpowiada postępowi geometrycznemu o proporcji 2 (w kierunku wiolinu), ciągu czystych kwint (tych akordu pitagorejskiego ) do postępu geometrycznego o proporcji 3/2, czyli ciągu półtonów od hartowanego skali w postępie geometrycznym z powodu dwunasty głównym 2 za hartowanego użyje skali tylko dwanaście czyste piątych (3/2) 12 ≈ 129,746, które są warte „prawie” 7 oktawy, 2 7 = 128 to znaczy, że dwa ciągi geometryczne o tej samej wartości początkowej, jeden o stosunku 3/2, drugi o stosunku 2, które nie mogą się dokładnie pokrywać w żadnym punkcie, pokrywają się w przybliżeniu dla tych wartości.

Termin ogólny

Jeśli K jest ciałem przemiennym - na przykład ℝ ( ciało liczb rzeczywistych ) lub ℂ (ciało kompleksów ) - a jeśli jest ciągiem geometrycznym K o stosunku q ∈ K to dla każdej naturalnej liczby całkowitej n : $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

u_ {n} = u_ {0} q ^ {n}

(w tym jeśli $q$ i $n$ wynoszą zero, z konwencją 0 0 = 1 ).

Sekwencja geometryczna jest zatem całkowicie zdeterminowana przez dane jej pierwszego członu i przez jego rozum q .

Sekwencję geometryczną można również zdefiniować z dowolnej rangi $n 0$ , czyli dla wszystkich $n \geq n 0$ , przez:

u_ {n} = u_ {n_ {0}} q ^ {n-n_ {0}}

który następuje po tej samej relacji rekurencyjnej. Ten przypadek jest cofany do poprzedniego przypadku przez ustawienie $v n = u n 0 + n ,$ które jest geometryczne z tego samego powodu co $u n$ z $v 0 = u n 0$ .

Kierunek zmienności i zbieżności

Założymy, że $u 0$ nie jest zerem.

Kierunek zmienności

Ten paragraf dotyczy ciągów geometrycznych o wartościach w .

jeśli $q <0$ ciąg nie jest monotoniczny i oscyluje naprzemiennie w liczbach ujemnych i dodatnich. Mówi się, że jest naprzemienny .
gdyby q∈[0;1[{\ styl wyświetlania q \ w [0; 1 [} $q \ w [0; 1 [$
- jeśli $u 0 > 0$ , ciąg jest dodatni malejący
- jeśli $u 0 <0$ , ciąg jest ujemny rosnący
gdyby q∈]1;+∞[{\ displaystyle q \ in] 1; + \ infty [} $q \ in] 1; + \ infty [$
- jeśli $u 0 > 0$ , ciąg jest dodatni rosnący
- jeśli $u 0 <0$ , ciąg jest ujemny malejący
jeśli $q = 1$ sekwencja jest stała.

Konwergencja

tak , sekwencja jest rozbieżna i nie ma ograniczeń. W ℝ wartości przyczepności wynoszą $+ \infty$ i $-\infty$ . $q <-1 \,$
jeśli ciąg jest rozbieżny i ma dwie wartości przyczepności: $u$ $0$ i $-$ $u$ $0$ $q = -1 \,$
jeśli ciąg zbiega się do 0 $| q | <1 \,$
jeśli , ciąg jest stały i jest zbieżny do $u$ $0$ $q = 1 \,$
jeśli , ciąg jest rozbieżny, ale ma granicę równą q>1{\ styl wyświetlania q> 1 \,} $q> 1 \,$
- $+ \ infty$ dla $u 0 > 0$
- $- \ infty$ dla $Ciebie 0 <0$

Demonstracje

Załóżmy, bez utraty ogólności , $u 0 = 1$ .

Jeśli $q \leq 0$ sprowadza się do przypadku $q \geq 0$ przez badanie dwóch podciągów wskaźników parzystych i nieparzystych. Przypadki $q = 0$ i $q = 1$ są natychmiastowe.

Jeśli $0 < q < 1$ to ciąg $( q n )$ jest malejący i dodatni, a zatem zbieżny do rzeczywistego $ℓ \geq 0$ . Ciąg $( q n +1 ) jest$ zatem zbieżny zarówno w kierunku $ℓ$ - jako podciąg $( q n )$ , lub zgodnie z twierdzeniem żandarmów ponieważ $0 \leq q n +1 \leq q n$ - i w kierunku $q ℓ$ - jako iloczyn $( q n )$ przez stałą $q$ - zatem $ℓ = q ℓ$ (przez jednoznaczność granicy). Ponieważ $q \neq 1$ , wnioskujemy, że $ℓ = 0$ .
Jeśli $q > 1$ , możemy obniżyć $q n$ , używając wzoru dwumianowego lub nierówności Bernoulliego : $q n \geq 1 + n ( q - 1 )$ . Ponieważ $q - 1> 0$ , ciąg arytmetyczny $(1 + n ( q - 1))$ ma tendencję do $+ \infty, a$ zatem również ciąg $( q n )$ .

Uwaga: idąc na odwrót, możemy wywnioskować każdy z tych dwóch przypadków z drugiego lub dostosować metodę jednego, aby bezpośrednio zrestartować drugi.

jeśli , sekwencja zbiega się do 0. $\ lewo | q \ prawo | <1$
tak , reszta jest rozbieżna. $\ lewo | q \ prawo |> 1$
jeśli $q = 1$ , ciąg jest stały i zbiega się do $u 0$ .
jeśli i , wynik jest rozbieżny. $q \ neq 1$ $\ lewo | q \ prawo | = 1$

Wzrost porównawczy

Rozważamy tutaj sekwencje o wartościach w ℝ.

Pokazano (za pomocą wzoru dwumianowego lub nierówności Bernoulliego ), że dla dowolnej liczby całkowitej n i dowolnej rzeczywistej t dodatniej . Ta nierówność pozwala stwierdzić, że ciąg geometryczny racji $1 +$ $t$ i pierwszego członu $a$ rośnie szybciej niż ciąg arytmetyczny racji $a$ $\times$ $t$ . W praktyce jednak, dla małych wartości t i rozsądne wartości z $N$ , to dwie sekwencje są prawie takie same. To przybliżenie jest uzasadnione matematycznie przez ograniczony rozwój do rzędu 1, gdy t dąży do 0: co zapewnia przybliżenie . $(1 + t) ^ {n} \ geq 1 + nt$ $(1 + t) ^ {n} = 1 + nt + o (t)$ $~ (1 + t) ^ {n} \ ok 1 + nt$

Ilustracja z a = 1000 i t = 0,004, czyli przyczyna a × t = 4:

nie	postęp arytmetyczny	ciąg geometryczny
0	1000	1000
1	1004	1004
2	1008	1 008 016
3	1,012	1,012,048
4	1,016	1,016,096
5	1020	1,020,161
6	1024	1 024,241
7	1,028	1,028,338
8	1,032	1,032,452
9	1,036	1,036 581
10	1,040	1 040,728
11	1,044	1,044,891
12	1,048	1 049 070

To przybliżenie pozwala wykorzystywać finansowe jako miesięcznej stopy procentowej 12 th roczna stopa t , zamiast podejmowania dokładnej wartości ; im niższa stawka, tym lepiej. ${\ sqrt [{12}] {1 + t}} - 1$

Suma warunków

Suma pierwszej n + 1 warunki geometryczne sekwencji $( U k )$ $k$ ∈ ℕ w stosunku $q \neq 1$ weryfikuje: $\ suma _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} = u_ {0} + \ cdots + u_ {n} = u_ {0} (1 + q + \ cdots + q ^ {n}) = u_ { 0} {\ frac {1-q ^ {n + 1}} {1-q}} \ \ (q \ neq 1)$ (patrz artykuł Szereg geometryczny , rozdział Termin ogólny dla dowodów).

Gdy q = 1, sekwencja jest stała i u 0 +… + u n = ( n +1) u 0 .

Wzór można uogólnić z dowolnego rzędu m , przy czym ciąg $( u m + k )$ $k$ ∈ ℕ również jest geometryczny. Bardziej ogólnie, jeśli ciąg $( u k )$ podąża za postępem geometrycznym między m i n , który ma zatem długość n - m + 1, mamy następujący wzór, gdy przyczyna q jest różna od 1:

$\ sum _ {k = m} ^ {n} u_ {k} = u_ {m} ~ {\ frac {1-q ^ {n-m + 1}} {1-q}} = {\ text {pierwszy termin} } \ razy {\ dfrac {1 - {\ tekst {przyczyna}} ^ {\ tekst {liczba terminów}}} {1 - {\ tekst {przyczyna}}}}.$

Wartość sumy względem postępie geometrycznym wykazano w książce IX z elementów z Euklidesie twierdzenie 33 Proposition XXXV, liczby całkowite większe niż 1 (ale w ogólnej metodzie). Stwierdzenie to stwierdza, że w ciągu geometrycznym różnice między pierwszym i drugim wyrazem z jednej strony oraz pierwszym i ostatnim wyrazem z drugiej strony są proporcjonalne odpowiednio do pierwszego wyrazu i do sumy wszystkich poprzednich wyrazów .ostatni. Albo w języku algebraicznym ${\ frac {u_ {0}} {u_ {1} -u_ {0}}} = {\ frac {u_ {0} + u_ {1} + \ cdots + u_ {n-1}} {u_ {n } -u_ {0}}}$

Uwagi i referencje

„ Układ sześciu planet (prawie) w rytmie ” , Uniwersytet Genewski ,16 kwietnia 2020 r.(dostęp 6 maja 2020 r . ) .
Jean-Pierre Marco i Laurent Lazzarini, Matematyka L1 , Pearson ,2012( czytaj online ) , s. 597.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel i in. , Matematyka: wszystko w jednym dla licencji - poziom L1 , Dunod , coll. "Sup Sciences",2013, 2 II wyd. ( 1 st ed. 2006) ( czytaj on-line ) , s. 538, rekwizyt. 16 i s. 526 , prop. 8.
(w) Walter Rudin , Zasady analizy matematycznej , McGraw-Hill ,1976, 3 e wyd. ( 1 st ed. 1953) ( linia odczytu ) , s. 57, twierdzenie 3.20e.
(w) Steen Pedersen Od rachunku różniczkowego do analizy , Springer ,2015( czytaj online ) , s. 30.
Jean-Pierre Marco i Laurent Lazzarini , Matematyka L1: Kompletny kurs z 1000 poprawionymi testami i ćwiczeniami , Paryż, Pearson ,2012, 1073 s. ( ISBN 978-2-7440-7607-7 , czytaj online ) , s. 121.
Piętnaście ksiąg o elementach geometrycznych Euklidesa, przekład D. Henriona, 1632, s. 344-345 ; dowód we współczesnym języku algebraicznym oparty na tej samej zasadzie jest podany w serii geometrycznej # Proof_utilant_des_règles_de_proportionnalité .

Zobacz również

Powiązane artykuły