Twierdzenie graniczne monotoniczne

Twierdzenie granicy monotoniczny jest twierdzenie z analizą , że jakiekolwiek nieciągłości w ciągu liczbowych funkcyjnych monotonna są „przez skoków ” i monotoniczne sekwencje mają ograniczenia .

Instrukcja dotycząca funkcji

Niech $] , b [be$ niepusty otwarty prawdziwy przedział (ograniczony lub nie :) i funkcją rosnącą . Więc : $- \ infty \ leq a <b \ leq + \ infty$ ${\ Displaystyle f: \ lewo] a, b \ prawo [\ do \ mathbb {R}}$

$f$ dopuszcza w $b$ ograniczenie po lewej stronie, które jest skończone, jeśli $f$ jest zwiększane, a które wprzeciwnym raziejest równe $+ \infty$ .
$f$ przyznaje, że $ma$ ograniczenie po prawej stronie, które jest skończone, jeśli $f$ jest niedowartościowane i warte $-\infty w$ przeciwnym razie.
$f$ przyznaje w dowolnym punkcie $x$ o $] , b [$ a granicy po prawej i po lewej stronie na ograniczenie, które oznaczają, odpowiednio, $F ( x + )$ i $f ( x - )$ ; są skończone i sprawdzone. ${\ Displaystyle f (x ^ {-}) \ równoważnik f (x) \ równoważnik f (x ^ {+})}$

Bardziej ogólnie :

Bądź częścią , rosnącej aplikacji i . $re$ $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle a \ in {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}$

Jeśli jest to zgodne z tym $w$ ${\ Displaystyle D \ czapka] - \ infty, a [}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {a ^ {-}} f = \ sup f (D \ czapka] - \ infty, a [)}$ .
Jeśli jest to zgodne z tym $w$ ${\ displaystyle D \ cap] a, + \ infty [}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {a ^ {+}} f = \ inf f (D \ cap] a, + \ infty [)}$ .

Można z tego wywnioskować analogiczne twierdzenie o funkcji malejących, zastępując $f$ przez $- f$ ; wskazane jest odwrócenie kierunku nierówności i zamiana „minorée” i „zwiększona” oraz „ $+ \infty$ ” i „ $-\infty$ ”.

Zestawienie dla apartamentów

Kiedy weźmiemy i w ogólnym stwierdzeniu powyżej, otrzymamy: ${\ displaystyle D = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle a = + \ infty}$

Pozwolić rosnącym ciągiem od liczb rzeczywistych . A więc . W związku z tym : $u = \ left (u_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ lim u = \ sup u (\ mathbb {N})}$

jeśli sekwencja jest zwiększona, to jest zbieżna ;
jeśli sekwencja nie jest zwiększona, zmierza w kierunku $+ \infty$ .

Można z tego wywnioskować analogiczne twierdzenie dotyczące malejących sekwencji, zastępując je . $u$ ${\ displaystyle -u}$

Uwagi i odniesienia

E. Ramis, C. Deschamps i J. Odoux, Specjalny kurs matematyki , t. 3, Masson ,1976, s. 119-120, następstwa.
F. Benoist B. nita Maffre S. L. i B. Touzillier Dorat, matematyka ECS 1 st lat , Dunod , Coli. "Towarzysz",2011( czytaj online ) , s. 396.
Ramis, Deschamps i Odoux 1976 , str. 119, podaj i udowodnij to tylko dla , ale dowód ogólnego przypadku jest identyczny: patrz na przykład "Monotoniczne twierdzenie graniczne" na Wikiversity . $a \ in \ mathbb {R}$

Powiązane artykuły

Sekwencja Speckera , przykład sekwencji liczb wymiernych, która jest obliczalna, rosnąca i ograniczona, ale której granicą nie jest obliczalna liczba rzeczywista .
Twierdzenie Bijection (wersja silna) , czasami używając monotonicznego twierdzenia granicznego do ustalenia ciągłości dowolnego monotonicznego suro wania przedziału na interwale .