Klasyfikacja nieciągłości

W matematyce , funkcje ciągłe mają podstawowe znaczenie. Jednak nie wszystkie funkcje są ciągłe. Jeden połączenia nieciągłość dowolnym punkcie zakresu funkcji , gdzie to nie jest ciągła. Zbiór nieciągłości funkcji może być dyskretny , gęsty lub nawet obejmować całą dziedzinę .

W tym artykule zostaną zbadane tylko nieciągłości funkcji rzeczywistych z wartościami rzeczywistymi .

Definicje

Rozważamy funkcję o rzeczywistych wartościach zmiennej rzeczywistej , zdefiniowanej w sąsiedztwie punktu, w którym jest nieciągły. Mamy wtedy trzy możliwości: $fa$ $x$ $x_ {0}$ $fa$

lewa granica a limit na prawo do istnieją i są skończone i równe. ${\ Displaystyle L ^ {-} = \ lim _ {x \ do x_ {0} ^ {-}} f (x)}$ ${\ Displaystyle L ^ {+} = \ lim _ {x \ do x_ {0} ^ {+}} f (x)}$ $x_ {0}$ Wtedy, jeśli nie jest równe , x 0 nazywa się pozorną nieciągłością . Nieciągłość można usunąć w tym sensie, że funkcja $f (x_ {0})$ ${\ Displaystyle L: = L ^ {-} = L ^ {+}}$ ${\ Displaystyle x \ mapsto {\ zaczynać {przypadków} f (x) i x \ neq x_ {0} \\ L & x = x_ {0} \ koniec {przypadków}}}$ jest ciągły przy x = x 0 ;
granice i istnieją i są skończone, ale nie są równe. ${\ Displaystyle L ^ {-}}$ $L ^ {+}$ Wtedy x 0 nazywa się nieciągłością skoku . W tym przypadku wartość ƒ przy x 0 nie ma znaczenia;
co najmniej jedna z dwóch granic i nie istnieje lub jest nieskończona. ${\ Displaystyle L ^ {-}}$ $L ^ {+}$ Mówimy wtedy o nieciągłości istotnej lub nieciągłości drugiego rodzaju , w przeciwieństwie do dwóch poprzednich przypadków, które grupujemy razem pod nazwą nieciągłości pierwszego rodzaju . (Zasadnicze nieciągłości należy odróżnić od zasadniczych osobliwości o funkcji zmiennej złożonych ).

Wyrażenie „pozorna nieciągłość” jest czasami używane zamiast „ pozornej osobliwości ” w przypadku punktu, w którym funkcja nie jest zdefiniowana, ale ma skończoną granicę. Jest to nadużycie języka, ponieważ (nie) ciągłość ma znaczenie tylko w jednym punkcie w dziedzinie funkcji.

Przykłady

Jedynymi nieciągłościami funkcji monotonicznej w rzeczywistym przedziale są skoki, zgodnie z monotonicznym twierdzeniem granicznym .

Funkcjonować

{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {przypadków} x ^ {2} & {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 1 \\ 2-x & {\ mbox {if}} x> 1 \ end {cases}}}

jest nieciągły i jest pozorną nieciągłością. Rzeczywiście, ograniczenia po lewej i po prawej stronie w 1 są warte 1. $x_ {0} = 1$

Funkcjonować

{\ Displaystyle x \ mapsto {\ zaczynać {przypadków} x ^ {2} & {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {si}} x = 1 \\ 2- (x-1 ) ^ {2} & {\ mbox {si}} x> 1 \ end {sprawy}}}

jest nieciągły i jest nieciągłością skoku. $x_ {0} = 1$

Funkcjonować

{\ displaystyle x \ mapsto {\ begin {przypadków} \ sin {\ Frac {5} {x-1}} i {\ mbox {si}} x <1 \\ 0 i {\ mbox {si}} x = 1 \\ {\ frac {1} {x-1}} & {\ mbox {si}} x> 1 \ end {cases}}}

jest nieciągły w i jest nieciągłością zasadniczą. Wystarczyłoby, aby jedna z dwóch granic (po lewej lub po prawej stronie) nie istniała lub jest nieskończona. Jednak ten przykład umożliwia wykazanie istotnej nieciągłości nawet w przypadku rozszerzenia do domeny złożonej. $x_ {0} = 1$

Klasyfikacja oscylacyjna

Oscylacji o funkcji w punkcie ilościowo nieciągłość tak:

w przypadku pozornej nieciągłości odległość między granicami a wartością funkcji w punkcie jest jej oscylacją;
w przypadku skoku wielkością skoku jest jego oscylacja (zakładając, że wartość punktowa znajduje się między dwoma granicami);
w zasadniczej nieciągłości oscylacja mierzy niemożność istnienia granicy.

Zbiór nieciągłości funkcji

Zbiór punktów, w których mapa od ℝ do ℝ jest ciągła, jest zawsze zbiorem G δ . Równoważnie, zbiór jego nieciągłości jest zbiorem F σ . I odwrotnie, każde F σ z ℝ jest zbiorem nieciągłości mapy od ℝ do ℝ.

Twierdzenie Froda powiedział, że wszystkie nieciągłości pierwszego rodzaju prawdziwej funkcji jest przeliczalny .

Funkcją Thomae jest nieciągła w ogóle racjonalne i ciągły we wszystkich irracjonalny .

Funkcja wskaźnikowa rationales lub funkcja Dirichleta jest nieciągła we wszystkich punktach .

Uwagi i odniesienia

(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Klasyfikacja nieciągłości ” ( zobacz listę autorów )

, której odniesieniem było: (en) SC Malik and Savita Arora , Mathematical Analysis , New York, Wiley,1992, 2 II wyd. , 903 str. ( ISBN 0-470-21858-4 ).

Jest to bardziej ogólnie odnosi się do wniosku o topologicznej przestrzeni w przestrzeni metrycznej . Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład część „Nieciągłości” artykułu „Oscylacja (matematyka)” .
In (in) " Czy każdy jest zbiorem punktów ciągłości Some funkcji ? $G _ {\ delta}$ $fa$ » , Na Mathematics Stack Exchange , Dave L. Renfro podaje link, który podaje między innymi jako odnośniki do tego twierdzenia, które numeruje : 2′{\ displaystyle 2 '} ${\ displaystyle 2 '}$
- [8] (en) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner i Andrew M. Bruckner (en) , Elementary Real Analysis , vol. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 II wyd. ( 1 st ed. , 2001, Prentice Hall) ( czytaj on-line ) , s. 261 ;
- [16] (en) Bernard R. Gelbaum i John MH Olmsted, Counterexamples in Analysis , Dover,2003( 1 st ed. 1964) ( linia odczytu ) , str. 30-31, przykład 23;
- [20] (en) MG Goluzina, AA Lodkin, BM Makarov i AN Podkorytov, Wybrane problemy w analizie rzeczywistej , AMS ,1992( czytaj online ) , s. 168 (rozwiązanie problemu 1.8.b);
- [22] (de) Hans Hahn , Theorie der reellen Funktionen , Julius Springer ,1921( czytaj online ) , s. 201 ;
- [25] (de) Ernest W. Hobson , Teoria funkcji zmiennej rzeczywistej i teoria szeregu Fouriera , tom. 1, FILIŻANKA ,1921, 2 II wyd. ( czytaj online ) , s. 297-298, § 237 (bardzo zbliżony do oryginalnego dowodu Williama H. Younga , 1903);
- [28] (de) Wieslawa J. Kaczor i Maria T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis , vol. 2: ciągłość i różnicowanie , AMS,2001( 1 st ed. 1998) ( czytaj on-line ) , s. 203, rozwiązanie problemu 1.7.16;
- [38] (en) Themis Mitsis, „ Ćwiczenia z klasycznej analizy rzeczywistej ” , str. 24-25, ćwiczenie 3.11b;
- [40] (en) John C. Oxtoby (de) , Measure and Category , pot. " GTM " ( N O 2)1980, 2 II wyd. ( 1 st ed. 1971) ( czytaj on-line ) , s. 31-32, Twierdzenie 7.2;
- [41] (en) James Pierpont , Wykłady z teorii funkcji zmiennych rzeczywistych , t. 2, Ginn and Company,1912, 2 II wyd. ( czytaj online ) , s. 467, § 472;
- [44] (en) Arnoud CM Van Rooij i Wilhelmus H. Schikhof, A Second Course on Real Functions , CUP,1982( czytaj online ) , s. 45, ćwiczenia 7.G i 7.H
i wskazuje na uogólnienia, w tym
- [5] (en) Richard Bolstein, „ Zbiory punktów nieciągłości ” , Proc. Natl. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 38,1973, s. 193-197 ( czytaj online ).

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) „ Discontinuous ” na PlanetMath
(en) „ Discontinuity ” Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project , 2007
( fr ) Eric W. Weisstein , „ Discontinuity ” , na MathWorld