Twierdzenie Froda

W rzeczywistym analizy , Froda za twierdzenie , odkryte w 1929 roku przez rumuński matematyk Alexandru Froda ale które wersje bardziej ogólnych został znaleziony od 1907 do 1910 roku przez Grace Chisholm Younga i William Henry Young zapewnia, że zbiór punktów nieciągłości pierwszego rodzaju z rzeczywistym funkcją zmiennej rzeczywistej (określone na przedziału ) wynosi co najwyżej dające się zliczyć .

Nieciągłości pierwszego rodzaju

W punkcie x, w którym funkcja f jest nieciągła , mówi się, że nieciągłość jest pierwszego rodzaju, jeśli f dopuszcza skończoną granicę po lewej stronie i granicę po prawej stronie przy x . Ponadto zakłada się, że jedna (przynajmniej) z tych granic jest różna, albo od drugiej granicy, albo od wartości f (x) (bez której nie ma nieciągłości). Ogólnie rzecz biorąc, wśród nieciągłości pierwszego rodzaju musimy rozróżnić dwa różne typy, w zależności od tego, czy f (x) jest jedną z dwóch bocznych granic, czy nie.

Zauważ, że dla funkcji monotonicznej ten typ nieciągłości jest jedynym możliwym (a zbiór tych punktów może być co najwyżej dowolnym zbiorem policzalnym). To samo dotyczy, bardziej ogólnie, każdej funkcji regulowanej wartościami w przestrzeni Banacha .

Demonstracja

Niech będzie funkcją rzeczywistą na przedziale, dla którego oznaczamy zbiór punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. Jeśli , następnie określenie drgań o f w par , który jest dobrze określony, ponieważ lewy i prawy granicach f tytule. ${\ displaystyle f: ja \ longmapsto \ mathbb {R}}$ $re$ ${\ displaystyle x \ in D}$ $x$ ${\ Displaystyle \ omega (x) = | f (x ^ {+}) - f (x ^ {-}) |}$ $x$

Za wszystko , zwróćmy uwagę . Rozważmy więc niezerową liczbę naturalną i pokaż, że jest dyskretna . ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle D_ {n} = \ lewo \ {x \ in D, \ quad \ omega (x)> {\ Frac {1} {n}} \ prawo \}}$ $nie$ $D_ {n}$

Albo . Zgodnie z hipotezą, f przyznaje właściwą granicę przy . Zatem w sąsiedztwie po prawej stronie f przyjmuje swoje wartości . W szczególności, każdy punkt nieciągłości pierwszego rodzaju w sąsiedztwie po prawej stronie ma zwiększoną oscylację o ; pokazuje to, że nie znajduje się w sąsiedztwie po prawej stronie . ${\ displaystyle x \ in D_ {n}}$ $x$ $x$ ${\ Displaystyle \ lewo [f (x ^ {+}) - {\ Frac {1} {2n}}, \ quad f (x ^ {+}) + {\ Frac {1} {2n}} \ prawej] }$ $x$ $\ frac {1} {n}$ $D_ {n}$ $x$
Wykonując to samo rozumowanie po lewej stronie , dochodzimy do wniosku, że jest to izolowany punkt . Ten ostatni jest zatem dyskretnym podzbiorem , a zatem policzalnym. $x$ $x$ $D_ {n}$ $\ mathbb {R}$

Wreszcie, jest policzalną sumą większości policzalnych zbiorów; dlatego jest co najwyżej policzalny. ${\ Displaystyle D = \ bigcup \ limity _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} D_ {n}}$ $re$

Ten dowód pokazuje, że instrukcja pozostaje prawdziwa dla funkcji z wartościami w dowolnej przestrzeni metrycznej .

Uogólnienie

Wcześniejsza wersja Younga jest znacznie silniejsza niż Froda:

Z wyjątkiem najbardziej policzalnego zbioru liczb rzeczywistych x , zbiór wartości przyczepności po lewej stronie f w punkcie x jest równy temu po prawej, a f ( x ) należy do nich.

Uwagi i odniesienia

Alexandre Froda , O rozkładzie własności sąsiedztwa funkcji zmiennych rzeczywistych: Pierwsza teza , Paryż, Hermann ,1929( czytaj online ), s. 18 : „ jednolity funkcja zmiennej rzeczywistej może przedstawić tylko zbiór skończony lub przeliczalny nieciągłości pierwszego rodzaju. - My byliśmy daleko od widząc w nim nieruchomości należącej do jakiejkolwiek jednolitej funkcji, ponieważ wykazano, na przykład, niezależnie od siebie, że „ funkcja z wahaniu może mieć tylko co najwyżej tylko przeliczalny nieskończoność nieciągłości ” i że " All punkty nieciągłości funkcji o ograniczonej zmienności są pierwszego rodzaju ”, nie zauważając, że pierwsza własność jest tylko konsekwencją drugiej. "
(w) Bernard R. Gelbaum i John MH Olmsted Counterexamples in Analysis , Dover,2003( 1 st ed. 1964) ( linia odczytu ) , str. 28, § 18.
(w) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner i Andrew M. Bruckner (w) , Elementary Real Analysis , vol. 1, www.classicalrealanalysis.com,2008, 2 II wyd. ( 1 st ed. , 2001, Prentice Hall) ( czytaj on-line ) , s. 229, przykład 5.62.
Ćwiczenie poprawione na Wikiwersytecie .
Gustave Choquet , Kurs analizy, tom II: Topologia , prop. 13.2 rozdz. V, str. 147 (lub rozdz. II, str. 151 tłumaczenia angielskiego ).
(w) Andrew M. Bruckner (w) i Brian S. Thomson, „ Rzeczywiste zmienne wkłady GC WH Young and Young ” , Expositiones Mathematicae , tom. 19 N O 4,2001, s. 337-358 ( czytaj online ) : § 6, s. 344-346 .
(w) EF Collingwood (w) i AJ Lohwater (w) , The Theory of Cluster Sets , UPC ,1966, 224 s. ( ISBN 978-0-521-60481-9 , czytaj online ) , str. 15.
(in) WH Young, „ O nieciągłościach funkcji jednej lub więcej zmiennych rzeczywistych ” , Proc. Natl. London Math. Soc. , 2 nd Series, tom. 8, N O 1,1910, s. 117-124 ( DOI 10.1112 / plms / s2-8.1.117 ). Zobacz także (en) Henry Blumberg, „ A theorem on semi-continuous functions ” , Bull. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 24 N O 8,1918, s. 369-416 ( czytaj online ).