Funkcja wielowartościowa
W matematyce , A wielowartościowy funkcja (znany także odpowiedniość , funkcja różnorodny , wiele Funkcja lub po prostu MFP ) jest binarny związek którykolwiek nieprawidłowo nazywane funkcją ponieważ nie działa: każdy element zestawu ona Associates, nie dłuższy niż jeden element, ale ewentualnie zero, jeden lub więcej elementów drugiego zestawu. Niemniej jednak możemy postrzegać wielofunkcyjność jako klasyczną funkcję przyjmującą swoje wartości w zbiorze części drugiego zbioru. Natomiast jeśli obraz każdego punktu jest singletonem , mówimy, że zgodność jest niepowtarzalna .
Prostym przykładem wielowartościowego funkcji jest odwrotnością funkcji niebędącego injective mapie : w dowolnym momencie w jego obrazie możemy dopasować obraz wzajemnej utworzoną z poprzedników niniejszego punktu.
Funkcje wielowartościowe pojawiają się w analizie złożonej, gdzie można rozważyć ich wyznaczenie , to znaczy ograniczenia tych relacji, które czynią je funkcjami i które umożliwiają obliczenie pewnych całek rzeczywistych za pomocą twierdzenia o resztach, takiego jak to zostanie zilustrowane poniżej; jego użycie jest jednak trudne i zostało zastąpione bardziej abstrakcyjnym rozważaniem (bezwartościowych) funkcji na powierzchniach Riemanna .
Wielofunkcje występują również w analizie wypukłej i nie-gładkiej : stożki styczne i normalne do zbioru, sub-różniczkowa funkcja, proces wypukły są multifunkcjami. Ta i inne obserwacje nadały nowy impuls rozwojowi analizy wielofunkcyjnej (patrz bibliografia ).
Przykłady
Pierwiastek kwadratowy
- W liczbach rzeczywistych do każdego dodatniego elementu x relacja sprawia, że dwa elementy odpowiadają i z . W zwykły sposób ograniczamy się do wartości dodatniej, aby otrzymać funkcję pierwiastka kwadratowego .y2=x{\ Displaystyle y ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}-|y|{\ displaystyle - | y |}|y|2=x{\ Displaystyle | y | ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}
- W kompleksach definiując elementu z, w płaszczyźnie zespolonej przez się do argumentu z Z , kwadratowe korzenie Z są liczbami ( ) określa się zależnością:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=|z|mijaθ{\ displaystyle z = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}θ{\ displaystyle \ theta}wk{\ displaystyle w_ {k}}k∈Z{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}
wk=|z|mijaθ/2mijaπk{\ Displaystyle w_ {k} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi k}}
rzeczywiście można to sprawdzić, ponieważ dla wszystkich liczb całkowitych k .
wk2=|z|mijaθmi2jaπk=z{\ Displaystyle w_ {k} ^ {2} = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}mi2jaπk=1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}
Złożony logarytm
Definiując element z płaszczyzny zespolonej, jak poprzednio, logarytmy zespolone z są liczbami ( ) podanymi przez:
wk{\ displaystyle w_ {k}}k∈Z{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}
wk=ln|z|+jaθ+2jaπk{\ Displaystyle w_ {k} = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta +2 {\ rm {i}} \ pi k}w rzeczywistości weryfikuje się, że ponieważ, jak poprzednio, dla wszystkich liczb całkowitych k .
exp(wk)=|z|mijaθmi2jaπk=z{\ Displaystyle \ exp (w_ {k}) = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}mi2jaπk=1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}
Definicje
Wielofunkcyjność
Niech i będą dwoma zbiorami. Wielofunkcyjny jest realizacja stanowi całość z częściami z .
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}X{\ displaystyle X}P.(Y){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (Y)}Y{\ displaystyle Y}
Aplikacja, która w przypadku funkcji wielofunkcyjnej wiąże relację binarną „ ”, jest bijekcją między wielofunkcyjnością in oraz relacjami między i . To dlatego nazywamy wykres z tej wykresu związanego stosunku binarnym , czyli zbiór
fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈fa(x){\ Displaystyle y \ w F (x)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}fa{\ displaystyle F}
sol(fa): ={(x,y)∈X×Y∣y∈fa(x)}{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (F): = \ {(x, y) \ w X \ razy Y \ mid y \ w F (x) \}}
(a nie wykres funkcji , której jest częścią ).
fa{\ displaystyle F}X×P.(Y){\ Displaystyle X \ razy {\ mathcal {P}} (Y)}
Domena, obraz, wybór
Podobnie obraz części i wzajemny obraz części przez urządzenie wielofunkcyjne są definiowane jako obraz, a odwrotny obraz przez powiązaną relację binarną:
P.⊂X{\ Displaystyle P \ podzbiór X} Q⊂Y{\ displaystyle Q \ podzbiór Y}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}
fa(P.): ={y∈Y∣∃x∈P.y∈fa(x)}=⋃x∈P.fa(x)fa-1(Q): ={x∈X∣∃y∈Qy∈fa(x)}={x∈X∣fa(x)∩Q≠∅}.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F (P) &: = i \ {y \ w Y \ mid \ istnieje x \ w P \ quad y \ w F (x) \} & = & \ bigcup _ {x \ in P} F (x) \\ F ^ {- 1} (Q) &: = & \ {x \ in X \ mid \ exist y \ in Q \ quad y \ in F (x) \} & = & \ {x \ in X \ mid F (x) \ cap Q \ neq \ varnothing \}. \ end {aligned}}}
W szczególności nazywamy domenę - lub zbiór definicji - i obraz - lub zbiór wartości (lub zbiór obrazów ) - domeny i obraz powiązanej relacji binarnej :
fa{\ displaystyle F}
re(fa): =fa-1(Y)={x∈X∣fa(x)≠∅}R(fa): =fa(X)=⋃x∈Xfa(x).{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {D}} (F) i: = i F ^ {- 1} (Y) i = i \ {x \ w X \ środkowy F (x) \ neq \ varnothing \} \\ {\ mathcal {R}} (F) &: = & F (X) & = & \ bigcup _ {x \ in X} F (x). \ end {aligned}}}
Wybór z jest funkcja wyboru , czyli aplikacji , takich jak .
fa{\ displaystyle F}fa:re(fa)→Y{\ displaystyle f: {\ mathcal {D}} (F) \ do Y}∀x∈re(fa)fa(x)∈fa(x){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (F) \ quad f (x) \ in F (x)}
Wzajemna wielofunkcyjność
Wzajemny wielofunkcyjny z jest jego wzajemna relacja binarna , zdefiniowane przez .
fa-1:Y⊸X{\ Displaystyle F ^ {- 1}: Y \ multimap X}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}x∈fa-1(y)⇔y∈fa(x){\ Displaystyle x \ w F ^ {- 1} (y) \ Leftrightarrow y \ w F (x)}
Dziedzina i obraz są zatem odpowiednio obrazem i domeną, a bardziej ogólnie, wzajemny obraz przez część jest równy jej bezpośredniemu obrazowi przez , a bezpośredni obraz przez część jest równy jej wzajemnemu obrazowi. przez .
fa-1{\ Displaystyle F ^ {- 1}}fa{\ displaystyle F}fa-1{\ Displaystyle F ^ {- 1}}X{\ displaystyle X}fa{\ displaystyle F}fa-1{\ Displaystyle F ^ {- 1}}Y{\ displaystyle Y}fa{\ displaystyle F}
Niektóre specjalne wielofunkcyjne
- Niech i te topologiczne przestrzenie metryzowalny i wielofunkcyjny. Mówimy, że jest to:
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}fa{\ displaystyle F}
-
zamknięty do punktu,x∈X{\ Displaystyle x \ w X} jeśli kiedykolwiek
zbiega się do ;y∈fa(x){\ Displaystyle y \ w F (x)}(xk,yk)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {k}, y_ {k}) \ w {\ mathcal {G}} (F)} (x,y){\ displaystyle (x, y)}
-
zamknięte , jeżeli jego wykres jest zamkniętą na powierzchni produktu (co sprowadza się do stwierdzenia, że jest zamknięta w każdym punkcie ).X×Y{\ displaystyle X \ razy Y}fa{\ displaystyle F}X{\ displaystyle X}
Jeśli i są rzeczywistymi przestrzeniami wektorowymi , mówimy, że wielofunkcyjność to:
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}szpiczasty stożek wypukły .
Jeśli jest przestrzenią przedhilbertowską , mówimy, że wielofunkcyjność jest monotoniczna, jeśli .(X,⟨⋅,⋅⟩){\ Displaystyle (X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}fa:X⊸X{\ displaystyle F: X \ multimap X}∀(x,y)∈sol(fa)∀(x′,y′)∈sol(fa)⟨y-y′,x-x′⟩⩾0{\ displaystyle \ forall (x, r) \ in {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ forall (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ langle y -y ', xx' \ rangle \ geqslant 0}
Analiza wielofunkcyjna
Analiza wielofunkcyjna dotyczy badania multifunkcji, ich półciągłości , ich ograniczonego charakteru , lipschycyzmu , wielościennych funkcji , poszukiwania ich zer (punktów, które na ich obrazie zawierają zero), wpływu zakłóceń itp.
Pewne właściwości funkcji naturalnie obejmuje wielofunkcyjnych, takich jak wypukłości , otwartości , jednostajności , accretivity , etc.
Doskonała półciągłość
Niech i być przestrzenie topologiczne. Mówimy, że wielofunkcyjny jest półciągły superiorly w Si dla każdej dzielnicy w , zbiór jest otoczeniem .
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}x∈X{\ Displaystyle x \ w X} V{\ displaystyle V}fa(x){\ Displaystyle F (x)}{x′∈X∣fa(x′)⊂V}{\ displaystyle \ {x '\ in X \ mid F (x') \ podzbiór V \}}x{\ displaystyle x}
Mówiąc prościej, oznacza to, że kiedy , na granicy może nagle wzrosnąć, ale nie spaść. Typowe przykłady bardziej półciągłej wielofunkcyjności to różniczkowa funkcja wypukła i różniczka Clarke'a funkcji lipschiztienne'a.
x′→x{\ Displaystyle x '\ do x}fa(x′){\ Displaystyle F (x ')}x{\ displaystyle x}
Otwarte twierdzenie o aplikacji dla urządzeń wielofunkcyjnych
Niech i być przestrzenie Banacha, które oznaczymy odpowiednio i na otwartych kule jednostkowe i wielofunkcyjny.
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}bX{\ displaystyle B_ {X}}bY{\ displaystyle B_ {Y}}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}
Poniższy wynik potwierdza, że jeśli jest zamknięty wypukłą wielofunkcyjny i jeśli jest wnętrze jego zdjęcie , a następnie jest do wnętrza obrazu według dowolnego otwartego na kulkach w dowolnym punkcie wzajemnego obrazu o o Oznaczmy do wnętrza z jednej strony,fa{\ displaystyle F}y{\ displaystyle y}fa(X)=R(fa){\ Displaystyle F (X) = {\ mathcal {R}} (F)}y{\ displaystyle y}fa{\ displaystyle F}fa-1(y){\ Displaystyle F ^ {- 1} (y)}y{\ displaystyle y}fa.{\ displaystyle F.}intP.{\ displaystyle \ operatorname {int} \, P}P..{\ displaystyle P.}
Mapowanie Twierdzenie otwarty dla Wielofunkcyjne - Załóżmy, że i są przestrzeniami Banacha , który jest wypukły i zamknięty wielofunkcyjny , a następnie
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈intR(fa).{\ displaystyle y \ in \ operatorname {int} \, {\ mathcal {R}} (F).}
∀x∈fa-1(y),∀r>0,y∈intfa(x+rbX).{\ displaystyle \ forall \, x \ w F ^ {- 1} (y), \ quad \ forall \, r> 0, \ quad y \ in \ operatorname {int} F (x + rB_ {X}). }
Znów znajdujemy twierdzenie mapy otwartej w przypadku, gdy jest to ciągła mapa liniowa (stąd jej nazwa), która stwierdza, że jest to wnętrze obrazu kuli jednostkowej . Rzeczywiście, w tym przypadku jest wielofunkcyjnością wypukłą (jej wykres jest podprzestrzenią wektorową) i zamkniętą (oczywiste znaczenie twierdzenia o wykresie zamkniętym ), jest rzeczywiście we wnętrzu (ponieważ jest surjektywny); powyższe twierdzenie następnie stwierdza, że wewnątrz obrazu znajduje się dowolna kula o niezerowym promieniu wyśrodkowana w (lub w jakimkolwiek innym punkcie ).
fa{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}bX{\ displaystyle B_ {X}}fa{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}fa(X){\ Displaystyle F (X)}fa{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}fa{\ displaystyle F}0∈fa-1(0){\ Displaystyle 0 \ w F ^ {- 1} (0)}fa-1(0){\ Displaystyle F ^ {- 1} (0)}
Otwarte lub metrycznie regularne wielofunkcyjne
Niech i będą przestrzenie Banacha, z których oznaczamy odpowiednio i otwarte kulki jednostkowe oraz wielofunkcyjne.
X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}bX{\ displaystyle B_ {X}}bY{\ displaystyle B_ {Y}}fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}
Mówimy, że jest otwarty na , z szybkością , jeśli istnieje maksymalny promień i sąsiedztwo z w taki sposób, że na wszystko i wszystko , mamy
fa{\ displaystyle F}(x0,y0)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w {\ mathcal {G}} (F)} τ>0{\ displaystyle \ tau> 0}rmax>0{\ displaystyle r _ {\ max}> 0}W{\ displaystyle W}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ razy Y}(x,y)∈sol(fa)∩W{\ Displaystyle (x, y) \ w {\ mathcal {G}} (F) \ nasadka W}r∈[0,rmax]{\ displaystyle r \ in [0, r _ {\ max}]}
y+τrbY⊂fa(x+rbX).{\ Displaystyle y + \ tau \, r \, B_ {Y} \ podzbiór F (x + r \, B_ {X}).}
W przypadku mapy wypukłej możemy ograniczyć się tylko do jednego warunku .
(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
Wielofunkcyjne otwarte wypukłe - jeśli jest wielofunkcyjnym wypukłym i jeśli , to następujące właściwości są równoważne:
fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w {\ mathcal {G}} (F)}
-
fa{\ displaystyle F}jest otwarty ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
- istnieje i takie tamto .η>0{\ displaystyle \ eta> 0}ν>0{\ displaystyle \ nu> 0}y0+ηbY⊂fa(x0+νbX){\ Displaystyle y_ {0} + \ eta B_ {Y} \ podzbiór F (x_ {0} + \ nu B_ {X})}
W przypadku zamkniętej mapy wypukłej twierdzenie o otwartej mapie umożliwia dalsze uproszczenie wyrażenia otwierającego en .
fa{\ displaystyle F}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
Wielofunkcyjne zamknięte otwarte wypukłe - jeśli jest to urządzenie wielofunkcyjne zamknięte wypukłe i jeśli , to następujące właściwości są równoważne:
fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w {\ mathcal {G}} (F)}
-
fa{\ displaystyle F}jest otwarty ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
-
y0∈intR(fa){\ displaystyle y_ {0} \ in \ operatorname {int} \, {\ mathcal {R}} (F)}.
Ta koncepcja otwierania wielofunkcyjnego jest w rzeczywistości identyczna z koncepcją regularności metrycznej .
Mówimy, że jest metrycznie regularne w , z szybkością , jeśli istnieje sąsiedztwo stanowi w taki sposób, że dla wszystkich , mamy
fa{\ displaystyle F}(x0,y0)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w {\ mathcal {G}} (F)} μ>0{\ displaystyle \ mu> 0}W{\ displaystyle W}(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ razy Y}(x,y)∈W{\ displaystyle (x, y) \ w W}
re(x,fa-1(y))⩽μre(y,fa(x)).{\ displaystyle \ operatorname {d} {\ bigl (} x, F ^ {- 1} (y) {\ bigr)} \ leqslant \ mu \, \ operatorname {d} {\ bigl (} y, F (x ) {\ bigr)}.}
Przypomnijmy, że odległość do zestawu jest określony przez, i że ten jest wart , jeśli .
P.{\ displaystyle P}re(x,P.): =inf{‖x-x′‖:x′∈P.}{\ displaystyle \ operatorname {d} (x, P): = \ inf \ {\ | x-x '\ |: x' \ in P \}}+∞{\ displaystyle + \ infty}P.=∅{\ displaystyle P = \ varnothing}
Otwarte i metrycznie regularne urządzenie wielofunkcyjne - jeśli jest wielofunkcyjne i jeśli , to następujące właściwości są równoważne:
fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(x0,y0)∈sol(fa){\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ w {\ mathcal {G}} (F)}
-
fa{\ displaystyle F}jest metrycznie regularny ze stawką ,(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}μ{\ displaystyle \ mu}
-
fa{\ displaystyle F}jest otwierany za pomocą stawki .(x0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}τ=1/μ{\ Displaystyle \ tau = 1 / \ mu}
Determinacje
Dla zespolonego pierwiastka kwadratowego i złożonego logarytmu określanie określamy jako ograniczenie argumentu o odpowiedniej wartości. Mówiąc dokładniej, określenie pierwiastka kwadratowego jest określone wzorem:
θ{\ displaystyle \ theta}
z=|z|mijaθ/2,(θ∈[θ0,θ0+2π[){\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2} \ quad (\ theta \ in [\ theta _ {0}, \ theta _ {0} +2 \ pi [)}pod dowolnym kątem charakteryzującym determinację.
θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}
Podobnie, wyznaczenie logarytmu zespolonego daje:
logz=ln|z|+jaθ,(θ∈]θ0,θ0+2π]){\ Displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + {\ rm {i}} \ theta \ quad (\ theta \ in] \ theta _ {0} \ theta _ {0} +2 \ Liczba Pi])}Ograniczenie argumentu do półotwartego przedziału ] –π, π] nazywa się głównym wyznaczeniem logarytmu .
Zauważ, że aż do określenia, zespolona funkcja pierwiastka kwadratowego i złożony logarytm są funkcjami holomorficznymi na całej płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem półprostej zaczynającej się od początku i pod kątem względem osi x. W przypadku określenia głównego obie funkcje są holomorficzne . Nieciągłość na ujemnej osi rzeczywistej jest przedstawiona na dwóch poniższych rysunkach.
θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}VS∖]-∞,0]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ ukośnik odwrotny] - \ infty, 0]}
Zastosowanie do obliczania całek rzeczywistych
Rozważenie konkretnego określenia umożliwia, za pomocą twierdzenia o resztach , obliczenie pewnych całek rzeczywistych, które w innym przypadku byłyby trudne do obliczenia.
Uwaga : często używany jest następujący sposób, jak pokazano w poniższym przykładzie .
zα=miαlosol(z){\ Displaystyle Z ^ {\ alpha} = \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm {log} (z)}}
Przykład z logarytmem zespolonym
Problem : oblicz następującą całkę:
ja=∫0+∞xw1+x2rex{\ Displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {x ^ {a} \ ponad 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x}dla .
|w|<1{\ displaystyle | a | <1}
Rozwiązanie : biorąc pod uwagę kontur pokazany na rysunku 3 oraz następujące wyznaczenie logarytmu:
γ{\ displaystyle \ gamma}
losol(z)=ln|z|+jaθ,(θ∈[0,2π[){\ Displaystyle \ mathrm {log} (z) = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta \ quad (\ theta \ in [0,2 \ pi [)}(kontur „otacza”, a więc nieciągłość określenia, które wybraliśmy), otrzymujemy:
ja=π2sałata(wπ/2).{\ Displaystyle I = {\ Frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}}.}
Rozwój
Funkcja f zdefiniowana przez ma dwa proste bieguny ( ), oba o indeksie +1 w odniesieniu do (for i ). Na granicy i The twierdzenie pozostałość dlatego daje nam:
fa(z)=zw1+z2{\ displaystyle f (z) = {z ^ {a} \ ponad 1 + z ^ {2}}}z1,2=±ja{\ displaystyle z_ {1,2} = \ pm i}γ{\ displaystyle \ gamma}ϵ<1{\ Displaystyle \ epsilon <1}R>1{\ displaystyle R> 1}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ do 0}R→∞{\ displaystyle R \ do \ infty}
ja∗=∫γfa(z)rez=2jaπ(Rmis(fa,+ja)+Rmis(fa,-ja)).{\ Displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ lewo (\ mathrm {Res} (f, + { \ rm {i}}) + \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) \ right).}Rozkładając krzywoliniową całkę na jej cztery główne części i stosując lemat szacowania, aby pokazać, że całka wzdłuż i wzdłuż dąży do zera na granicy, pozostaje:
γϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}γR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}
ja∗=limϵ→0,R→∞(∫γ1fa(z)rez+∫γ2fa(z)rez).{\ Displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ lewo (\ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z \ right).}Korzystając z powyższej determinacji, mamy
zw=miwlosol(z)=miw(ln|z|+jaθ)=|z|wmijawθ.{\ Displaystyle Z ^ {a} = \ operatorname {e} ^ {a \ operatorname {log} (z)} = \ operatorname {e} ^ {a (\ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta)} = | z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ theta}.}Ostatecznie , na drodze argument dąży do zera; na ścieżce argument ma tendencję , więc mamy:
ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ do 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}
limϵ→0,R→∞∫γ1|z|wmiwjaθ1+z2rez=ja{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {a {\ rm { i}} \ theta} \ over 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = I}i
limϵ→0,R→∞∫γ2|z|wmijawθ1+z2rez=∫+∞0xwmi2jawπ1+x2rex=-jami2jawπ.{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i }} a \ theta} \ over 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {x ^ {a} \ mathrm {e} ^ {2 { \ rm {i}} a \ pi} \ over 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x = -I \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}.}Więc mamy :
ja∗=ja(1-mi2jawπ).{\ Displaystyle I ^ {*} = ja (1- \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}).}
Pozostaje nam obliczyć za pomocą tych reszt z funkcji w :
ja∗{\ Displaystyle I ^ {*}} ±ja{\ displaystyle \ pm i}
Rmis(fa,+ja)=limz→+ja(z-ja)fa(z)=jaw2ja=miwjaπ/22ja{\ Displaystyle \ mathrm {Res} (f, + {\ rm {i}}) = \ lim _ {Z \ do + {\ rm {i}}} (z - {\ rm {i}}) f ( z) = {{\ rm {i}} ^ {a} \ over 2i} = {\ mathrm {e} ^ {a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ ponad 2 {\ rm {i} }}}i
Rmis(fa,-ja)=-mi3wjaπ/22ja{\ Displaystyle \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) = {- \ mathrm {e} ^ {3a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ ponad 2 {\ rm { ja}}}}gdzie użyliśmy tego, w wybranym określeniu, argumentem + i (odp. –i ) jest (odp. ). Otrzymujemy zatem:
π/2{\ displaystyle \ pi / 2}3π/2{\ Displaystyle 3 \ pi / 2}
ja∗=π(mijawπ/2-mi3jawπ/2){\ Displaystyle I ^ {*} = \ pi \ lewo ({\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i }} a \ pi / 2} \ right)}
i wreszcie za :
0<|w|<1{\ Displaystyle 0 <| a | <1}
ja=πmijawπ/2-mi3jawπ/21-mi2wjaπ=π2sałata(wπ/2).{\ Displaystyle I = \ pi {\ Frac {{\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i}} a \ pi / 2}} {1- \ mathrm {e} ^ {2a {\ rm {i}} \ pi}}} = {\ frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}} .}
Ta formuła pozostaje prawdziwa , przechodząc do granicy lub przez klasyczne obliczenia.
w=0{\ displaystyle a = 0}
Przykład ze złożonym pierwiastkiem kwadratowym
Problem : oblicz następującą całkę metodą reszt :
ja=∫1+∞rexxx2-1{\ Displaystyle I = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ ponad x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}(funkcja jest znormalizowana przez cięcie wzdłuż rzeczywistej osi łączącej się z -1 i 1 do ).
-∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}
Rozwiązanie : całka ma funkcję pierwotną (mianowicie ) i dlatego mamy natychmiast . Ten sam wynik uzyskuje się, biorąc pod uwagę kontur pokazany na rysunku 4 obok i stosując:
-wtwnie[(x2-1)-1/2]{\ Displaystyle - \ mathrm {atan} \ lewo [\ lewo (x ^ {2} -1 \ prawo) ^ {- 1/2} \ prawo]}ja=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ ponad 2}}γ{\ displaystyle \ gamma}
z2-1=z-1z+1{\ displaystyle {\ sqrt {z ^ {2} -1}} = {\ sqrt {z-1}} {\ sqrt {z + 1}}}W przypadku pierwszego czynnika iloczynu rozważymy następujące określenie:
z-1=|z-1|mijaθ1/2,θ1∈[0,2π[{\ displaystyle {\ sqrt {z-1}} = {\ sqrt {| z-1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2}, \ quad \ theta _ {1} \ in [0,2 \ pi [},
z drugiej strony rozważymy główne ustalenie:
z+1=|z+1|mijaθ2/2,θ2∈[-π,π[{\ displaystyle {\ sqrt {z + 1}} = {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}, \ quad \ theta _ {2} \ in [- \ pi, \ pi [}.
w tych ustaleniach funkcja jest holomorficzna .
VS∖(]-∞,-1]∪[+1,∞[){\ Displaystyle \ mathbb {C} \ ukośnik odwrotny \ lewo (] - \ infty, -1] \ kubek [+1, \ infty [\ prawej)}
Rozwój
Funkcja f zdefiniowana przez ma trzy osobliwości: dwa punkty rozgałęzienia ( ± 1 ) i prosty biegun (początek), który jest jedyną osobliwością niezerowego indeksu w odniesieniu do konturu; na granicy i The twierdzenie pozostałość dlatego daje nam:
fa(z)=1zz2-1{\ displaystyle f (z) = {1 \ ponad z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ do 0}R→∞{\ displaystyle R \ do \ infty}
ja∗=∫γfa(z)rez=2jaπRmis(fa,0) {\ Displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ mathrm {Res} (f, 0) ~}i tak mamyRmis(fa,0)=limz→0z⋅fa(z)=1ja{\ Displaystyle \ mathrm {Res} (fa, 0) = \ lim _ {z \ do 0} z \ cdot f (z) = {1 \ ponad i}}ja∗=2π.{\ Displaystyle I ^ {*} = 2 \ pi.}
Rozkładając całki krzywoliniowej w siedmiu głównych częściach i stosując lemat szacowania , aby pokazać, że całka wzdłuż , i mają tendencję do zera na granicy, jesteśmy w lewo z:
γϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}γϵ′{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon} '}γR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}
ja∗=limϵ→0,R→∞(∑ja=14∫γjafa(z)rez){\ Displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {\ gamma _ {i} } f (z) \ mathrm {d} z \ right)}na granicy , wzdłuż ścieżki , argument dąży do zera dla dwóch oznaczeń, wzdłuż ścieżki argument zmierza w kierunku (odpowiednio do zera) dla pierwszego określenia (odpowiednio do głównego określenia), wzdłuż ścieżki argument zmierza w kierunku dla dwóch oznaczeń i dla , argument zmierza w kierunku (odpowiednio ) dla pierwszego określenia (odpowiednio głównego określenia).
ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ do 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}γ3{\ displaystyle \ gamma _ {3}}π{\ displaystyle \ pi}γ4{\ displaystyle \ gamma _ {4}}π{\ displaystyle \ pi}-π{\ displaystyle - \ pi}
Mamy zatem, zwracając symbolicznie (względnie ) argument w pierwszym określeniu (odpowiednio w określeniu głównym):
θ1{\ displaystyle \ theta _ {1}}θ2{\ displaystyle \ theta _ {2}}
limϵ→0,R→∞∫γ1rezz|z-1|mijaθ1/2|z+1|mijaθ2/2=∫1+∞rexx(x2-1)=ja{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {\ mathrm {d} z \ ponad z {\ sqrt {| z-1 |} } \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2} {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}} = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I }z na część . Mamy też:
θ1=θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {1} = \ theta _ {2} = 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}
limϵ→0,R→∞∫γ2fa(z)rez=∫1+∞rexx(x2-1)=-∫+∞0rexxx2-1=ja{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = - \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ ponad x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} = I}z , i . Wreszcie mamy również:
θ1=2π{\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ pi}θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {2} = 0}mijaπ=-1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi} = - 1}
limϵ→0,R→∞∫γ3fa(z)rez=-∫0-∞rexx(x2-1)=ja{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {3}} f (z) \ mathrm {d} z = - \ int _ {0} ^ { - \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I}
limϵ→0,R→∞∫γ4fa(z)rez=∫-∞0rexx(x2-1)=ja{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ do 0, R \ do \ infty} \ int _ {\ gamma _ {4}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I}
gdzie użyliśmy w dwóch poprzednich równościach, że funkcja jest parzysta i że całka na jest równa całce na .
]-∞,1]{\ displaystyle] - \ infty, 1]}[1,∞[{\ displaystyle [1, \ infty [}
Mamy więc: i wreszcie, zgodnie z oczekiwaniami.
4ja=ja∗{\ displaystyle 4I = ja ^ {*}}ja=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ ponad 2}}
Powierzchnie Riemanna
Nieefektywna teoria funkcji wielowartościowych dla funkcji zmiennej zespolonej zostaje zastąpiona we współczesnej matematyce bardziej abstrakcyjnym pojęciem (bezwartościowej) funkcji zdefiniowanej na powierzchni Riemanna .
Ten punkt widzenia polega na rozważeniu dziedziny definicji funkcji wielowartościowej jako przedmiotu bardziej złożonego niż płaszczyzna zespolona: złożona rozmaitość wymiaru 1.
Uwagi i odniesienia
-
Aubin i Frankowska 2009 , s. 33.
-
Dany-Jack Mercier, Nabycie podstaw konkursów , vol. 1, Publibook,2012, s. 104.
-
Aubin i Frankowska 2009 .
-
Migórski, Ochal i Sofonea 2012 , s. 54. Jednak Smithson 1965 , s. 682, Smithson 1975 , s. 283, Borges 1967 , s. 452 i Joseph 1980 rezerwa kwalifikator „zamknięty” w celu Wielofunkcyjne (od jakichkolwiek przestrzeni topologicznych) tak, że dla każdego zamknięty z , jest zamknięta od , która rozciąga się koncepcję zamkniętej aplikacji do Wielofunkcyjne . Joseph 1980 , s. 166 dalej definiuje wielofunkcyjność lokalnie zamkniętą:
fa:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}W{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}fa(W){\ Displaystyle F (A)}Y{\ displaystyle Y}
-
(en) Raymond E. Smithson, „ Niektóre ogólne własności funkcji wielowartościowych ” , Pacific J. Math. , vol. 12 N O 21965, s. 681-703 ( czytaj online ) ;
-
(en) RE Smithson, „ Subcontinuity for multifunctions ” , Pacific J. Math. , vol. 61, n o 1,1975, s. 283-288 ( czytaj online ) ;
-
(en) Carlos JR Borges , „ Badanie funkcji wielowartościowych ” , Pacific J. Math. , vol. 23 N O 3,1967, s. 451-461 ( czytaj online ) ;
-
(en) James E. Joseph, „ Wielofunkcyjne i odwrotne zbiory klastrów ” , Kanada. Matematyka. Byk. , vol. 23 N O 21980, s. 161-171 ( DOI 10.4153 / CMB-1980-022-3 ).
-
Por. Aubin i Frankowska 2009 , s. 38 lub Migórski, Ochal i Sofonea 2012 , s. 53 lub jeszcze raz:
-
Casimir Kuratowski , „ Funkcje półciągłe w przestrzeni zbiorów zamkniętych ”, Fund. Matematyka. , vol. 18,1932, s. 148-159 ( czytaj online ) ;
-
(en) Claude Berge ( przetłumaczone z francuskiego przez EM Pattersona), Topological Spaces: Includes a Treatment of Multi-valueed Functions, Vector Spaces, and Convexity [„ Espaces topologiques, functions multivoques ”], Dover ,1963( czytaj online ) , s. 109 ;
-
(en) RT Rockafellar i R. Wets, Variational Analysis , Springer, al. „Grund. matematyka. Wiss. „( N O 317),1998( czytaj online ) , s. 193.
-
Ze względu na (w) C. Ursescu, „ Wielofunkcyjne z wypukłym wykresem zamkniętym ” , Czechosłowacki Mathematical Journal , Vol. 25 N O 3,1975, s. 438-441oraz (en) SM Robinson, „ Regularity and stabilność for convex multivalued functions ” , Mathematics of Operations Research , tom. 1, N O 21976, s. 130-143 ( DOI 10.1287 / moor.1.2.130 ).
-
Treść tej sekcji pochodzi z § 2.3.2 (in) JF Bonnans i A. Shapiro, Disturbance Analysis of Optimization Problems , Nowy Jork, Springer,2000( czytaj online ).
-
tym miejscu dochodzi do konfliktu między nazwami otwartymi i zamkniętymi . Jednak są one używane w ten sposób.
-
Mówimy tutaj o osobliwości w szerokim znaczeniu tego terminu (a zatem nie tylko o pojedynczej osobliwości ), to znaczy, że funkcja nie jest analityczna w osobliwości, ale że każde otwarte sąsiedztwo nie pozbawione osobliwości zawiera co najmniej jeden punkt, dla którego funkcja jest analityczna. Por. (En) John H. Mathews i Russel W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering , Jones & Bartlett (en) ,1997, 3 e ed. ( czytaj online ) , s. 232.
Zobacz też
Powiązane artykuły
Bibliografia
: dokument używany jako źródło tego artykułu.
-
(en) Jean-Pierre Aubin i Hélène Frankowska , Set-Valued Analysis , Springer ,2009( 1 st ed. 1990 Birkhauser ) ( czytaj linia )
- (en) Jean-Pierre Aubin i Arrigo Cellina, Differential Inclusion , Berlin, Springer, coll. „ Grund. matematyka. Wiss. „( N O 264)1984( czytaj online ) , „Mapy o ustalonej wartości”
-
(en) Stanisław Migórski, Anna Ochal i Mircea Sofonea, Nonlinear Inclusion and Hemivariational Inequalities , Springer,2012( czytaj online )
- Murray R. Spiegel ( tłum. Z angielskiego), Complex Variables , Nowy Jork / Montreal / Paryż, MacGraw-Hill / Ediscience, al. " Schaum (in) ",1973, 314 str. ( ISBN 2-7042-0020-3 , czytaj online )