O obiekcie geometrycznym mówi się, że jest wypukły, gdy za każdym razem, gdy pobiera się z niego dwa punkty A i B , odcinek [A, B], który je łączy, jest w nim całkowicie zawarty. Tak więc solidny sześcian , dysk lub kula są wypukłe, ale pusty lub wyboisty przedmiot nie.
Przypuszczamy, do pracy w sytuacji, w której odcinek [ x , y ] dołączenie dowolnych dwóch punktów x i y ma znaczenia (na przykład w afinicznej przestrzeni na ℝ - w szczególności w afinicznej miejsca na ℂ - lub w hiperbolicznej przestrzeni ) .
Definicja - O zbiorze C mówi się, że jest wypukły, gdy dla wszystkich x i y z C odcinek [ x , y ] jest całkowicie zawarty w C , to znaczy:
.O ile wyraźnie nie zaznaczono inaczej, wszystko, co następuje, dotyczy jedynego kontekstu wypukłości w przestrzeniach afinicznych (lub wektorowych) na uporządkowanym polu .
Będziemy nazywać wymiar o niepustym wypukłej C wymiar afinicznej kadłuba przez C .
Przecięcie dwóch wypukłości (a nawet dowolnej rodziny wypukłości) jest samo w sobie wypukłe (i to bardzo ogólnie, ponieważ wypukłość możemy zdefiniować).
Definicja suportów wypukłości, po wyborze dwoma punktami x i y , po uwzględnieniu punktów segmentu [ x , y ] , innymi słowami barycenters z dodatnich współczynników tych dwóch punktach. Korzystając z twierdzenia o asocjatywności środka barycentrum, możemy rozszerzyć na centra barycentrum o dodatnich współczynnikach dowolnej liczby punktów:
Wniosek - Podzbiór C o afinicznej przestrzeni E jest wypukły (wtedy i) tylko jeśli wypukłe połączenie skończonej rodziny punktów C oznacza się w C .
Biorąc pod uwagę jakąkolwiek część A otaczającej przestrzeni E (przestrzeń afiniczna lub bardziej ogólny kontekst), istnieje co najmniej jeden wypukły podzbiór E zawierający A , a mianowicie samo E ; Pozwala rozważyć przecięcie wszystkich podzbiorów o wypukłych E zawierających A . Nazywamy to wypukła koperta z A i my to oznaczać co ( A ) lub Conv ( A ) .
Natychmiast sprawdzamy, że co ( A ) jest zatem najmniejszym wypukłym podzbiorem E zawierającym A , w sensie włączenia do P ( E ) . Jeśli x i y są dwoma punktami E , co ({ x , y }) jest odcinkiem [ x , y ] .
Pod warunkiem pracy w przestrzeni euklidesowej (lub bardziej ogólnie w przestrzeni Hilberta ), mamy niezwykły rezultat: dali zamknięty niepusty wypukły , dla dowolnego punktu x w przestrzeni, istnieje jeden i tylko jeden punkt p ( x ) z następujących wypukłe w minimalnej odległości x . Wynikowi temu towarzyszą różne dodatkowe informacje, w szczególności rozwarty charakter kąta dla dowolnego punktu m wypukłości czy 1-lipschycki charakter mapy s .
Jedną z przydatnych technik jest „oddzielanie” dwóch wypukłości. Polega ona na przecięciu tej przestrzeni na dwie części przez hiperpłaszczyznę (a więc płaszczyznę, jeśli wymiar wynosi 3) , mając wypukłości bez wspólnego punktu tej samej przestrzeni, która pozostawia wypukłości po obu stronach tej ściany oddzielającej. Istnieje wiele dowodów na możliwość takiego podziału, pozwalającego na uzyskanie mniej lub bardziej ogólnych stwierdzeń; niektórzy posługują się twierdzeniem Hahna-Banacha , narzędziem analizy funkcjonalnej szczególnie przydatnym w badaniach w nieskończonym wymiarze.
Metoda ta pozwala w szczególności uzasadnić istnienie w każdym punkcie granicy wypukłości „hiperpłaszczyzny nośnej”: hiperpłaszczyzny przechodzącej przez ten punkt i pozostawiającej całą wypukłość w jednej z dwóch połówek - przestrzeni, z którymi graniczy. Wynik ten ma z kolei zasadnicze znaczenie dla dokładniejszego zbadania struktury granic wypukłości (podziały na ściany, krawędzie itp.), A zwłaszcza wypukłych wielościanów . W ten sposób doprowadza nas do wyróżnienia różnych kategorii punktów (punktów ekstremalnych, wierzchołków), które będą odgrywać centralną rolę w problemach optymalizacyjnych na wypukłości, na przykład w optymalizacji liniowej .
Badanie zbiorów wypukłych może skorzystać na wynikach analizy funkcji wypukłych . Wiele takich funkcji może być w rzeczywistości wiąże się ze niepusty wypukłą C .
W tej części zakładamy przestrzeń otoczenia wyposażoną w topologię zgodną z jej strukturą geometryczną (tak jest zawsze w przestrzeniach skończonych wymiarach; jeśli znajdujemy się w przestrzeni wektorowej o nieskończonym wymiarze, oznacza to, że jest to topologiczna przestrzeń wektorowa ).
Adhezja i operatorzy wnętrza zachowują wypukłość. Co więcej, gdy rozważane wypukłe nie jest pustym wnętrzem (i możemy łatwo wrócić do tego przypadku, rozważając je jako część jego afinicznej powłoki, a nie przestrzeni globalnej), wypukłość, jej wnętrze i przyleganie mają wszystkie trzy cechy. ta sama granica.
Możemy bardzo łatwo wykazać, że zwarty wypukły jest wypukłą otoczką jego granicy (poza zdegenerowanym przypadkiem o wymiarze 0).
Wypukła część rzeczywistej (lub złożonej) przestrzeni afinicznej jest połączona łukami , ponieważ każdy odcinek łączący dwa punkty stanowi ścieżkę między tymi dwoma punktami. W szczególności jest więc połączony .
Jednak wypukła część dowolnej przestrzeni niekoniecznie jest połączona. Kontrprzykład podaje zamknięty przedział liczb wymiernych od 0 do 1: jest to wypukły zbiór ℚ, który jest całkowicie nieciągły .
Jeśli A jest jakąkolwiek częścią przestrzeni, oznaczamy wypukłą zamkniętą kopertą A i oznaczamy przez co ( A ) , kohezję ( A ) jej wypukłej otoczki. Łatwo, że sprawdza się, CO ( ) jest przecięciem zamkniętym wypukłych zawierające A ( „mniejszy” zamknięty zestaw zawierający wypukły A ) i ten sam wypukłe zamkniętą kopertę CO ( ) i A .
Forma geometryczna Hahn-Banacha Pozwala to wykazać, że w lokalnie wypukłej powierzchni , CO ( ) jest przecięciem zamkniętych połówek przedziałów A , co dowodzi, że każda zamknięta wypukłym jest słabo zamknięte.
W przestrzeni Banacha - lub bardziej ogólnie przestrzeni Frécheta - wypukła zamknięta powłoka kompaktu jest zwarta.
Dla R ≥ 0 , oznaczamy B r jest zamknięty piłki o środku 0 i niezerowej odległości w oddzielnej przestrzeni wektorowej skończonej wymiar R (dla dowolnego normą - wszystko to równoważnik ).
Te wypukłe kompakty mają prostą strukturę:
Twierdzenie - Każdy niepusty zwarty wypukły wymiar d jest homeomorficzny względem B d .
DemonstracjaUmieszczamy się w afinicznej podprzestrzeni F wygenerowanej przez C , zaopatrzonej w jej kanoniczną topologię . W tej przestrzeni wnętrze C nie jest puste . Dzięki translacji możemy zatem założyć, że C zawiera kulkę B d o promieniu r > 0 . Niech S oznacza otaczającą sferę. Dla dowolnego wektora u z S przecięcie C z półprostą ℝ + u jest zwartą wypukłością ℝ + u zawierającą 0 , czyli odcinkiem postaci [0, g ( u )] . Ponadto koniec g ( u ) należy do granicy ∂ C (stąd ║ g ( u ) ║ ≥ r ), podczas gdy każdy inny punkt segmentu znajduje się wewnątrz C (ponieważ znajduje się wewnątrz wypukłej obwiedni B d ∪ { g ( u )} ).
Mówiąc bardziej ogólnie, zamknięte wypukłości o danym skończonym wymiarze d są homeomorficzne dla jednego lub drugiego z ograniczonej liczby ( d + 2 ) prostych modeli:
Twierdzenie - Niech d ≥ 1 i niech C będzie niepustym wypukłym wymiarem d , zamkniętym w swojej otaczającej przestrzeni. Więc :
We wszystkich przypadkach, homeomorfizm wysyła relatywną granicę z C do relatywnej granicy modelu.
Aby przeczytać to twierdzenie na pouczającym przykładzie wymiaru 3, zamknięte wypukłości wymiaru 3 są homeomorficzne dla jednego z następujących pięciu modeli: ℝ 3 całość, obszar ograniczony dwiema równoległymi płaszczyznami, walcem, kulą w ℝ 3 lub pół spacji.
Te względne wnętrza wszystkich modeli wymienionych w poprzednim twierdzeniu są homeomorficzny do siebie, tzn homeomorficzny ℝ d . Z homeomorfizmu podanego przez poprzednie twierdzenie, wymieniającego względne wnętrza, możemy zatem wnioskować, że wszystkie wypukłe otwory wymiaru d są względem siebie homeomorficzne (co w rzeczywistości było etapem dowodu). Właściwie możemy się poprawić, a mianowicie dyfeomorfizm .
Twierdzenie - Niech d ≥ 0 i niech C będzie niepustym wypukłym wymiarem d , otwartym w swojej przestrzeni otoczenia. Wtedy C jest diffeomorficzne do ℝ d .
Nie możemy liczyć na tak prostą klasyfikację wypukłości bez warunków topologicznych: rozważmy, że jakakolwiek część ℝ 2 zawierająca dysk jednostkowy otwartą i zawarta w dysku jednostkowym zamknięta jest wypukła.
Zbiory wypukłe odgrywają centralną rolę w geometrii kombinatorycznej , choćby dlatego, że w obliczu skończonej liczby punktów w przestrzeni afinicznej najbardziej oczywistą operacją geometryczną, jaką można do nich zastosować, jest zbadanie ich wypukłej obwiedni: to, co nazywa się politopą .
Podstawowym przedmiotem wypukłej geometrii kombinatorycznej jest polytope , którą można zdefiniować jako wypukłą obwiednię o skończonej liczbie punktów.
Aby przytoczyć tutaj tylko przykład niewątpliwie najsłynniejszego wyniku geometrii kombinatorycznej, w wymiarze 3 liczby wierzchołków, krawędzi i ścian polytopu są połączone wzorem Eulera (patrz artykuł Charakterystyka Eulera ):
Rozważmy zbiór z d + 2 punktów w przestrzeni afinicznej wymiar d .
Twierdzenie Radona stwierdza, że:
Twierdzenie ( Radon ) - A dopuszcza podział na dwie części A 1 , A 2, których wypukłe obwiednie Conv ( A 1 ) i Conv ( A 2 ) spotykają się.
Aby przedstawić twierdzenia Helly'ego i Carathéodory równolegle, wprowadzimy notację: dla każdego indeksu i mieszczącego się w przedziale od 1 do d + 2 oznaczamywypukła obwiednia punktów A innych niż punkt a i . W wymiarze 2 każde Δ i byłoby trójkątem (a byłyby cztery); w wymiarze 3 mielibyśmy do czynienia ze zbiorem pięciu czworościanów i tak dalej.
Poniższe dwa zdania są szczególnymi przypadkami najpowszechniejszych stwierdzeń twierdzeń Helly'ego i Carathéodory, ale które zawierają zasadniczo wszystkie informacje: jedno z nich łatwo odtworzy ogólne stwierdzenia, zaczynając od wersji przedstawionych poniżej.
Twierdzenie ( Helly ) - Jest wspólny punkt dla sympleksów d + 2 Δ i .
Twierdzenie ( Carathéodory ) - D + 2 simplices hemibursztynianu i pokrycie wypukłe Polytope obwiednię A .
Twierdzenia te są ze sobą ściśle powiązane: najpowszechniejszy dowód Helly jest oparty na Radonie, podczas gdy można łatwo udowodnić Carathéodory niezależnie, ale można też na przykład wydedukować Helly z Carathéodory lub odwrotnie.
Niezliczone warianty określają je lub uogólniają.