Uporządkowane ciało

W ogólnym Algebra An ciało uporządkowane są dane o przemiennym polu ( K +, X), obdarzone stosunku rzędu (zauważyć ≤ w artykule) zgodny ze strukturą pola.

W całym artykule naturalnie oznaczamy ≥ relację odwrotności rzędu ≤ oraz <i> ścisłe relacje porządkowe odpowiednio skojarzone z ≤ i ≥. Zwracamy również uwagę na 0 neutralny element dodawania i 1 element mnożenia. Uwaga zwykle xy produkt dwa elementy x i y od K . Wreszcie zauważyć X -1 odwrotności pierwiastka x niezerowe K .

Większość podanych wyników (tych, które nie obejmują pojęcia odwrotności) można rozciągnąć na pierścienie przemienne .

Definicje

Dokładniej, z poprzednimi zapisami mówimy, że relacja rzędu ≤ jest zgodna z budową ciała K, jeśli spełnione są dwa następujące warunki.

  1. Dodatek grupy ( K +) jest grupa uporządkowane relacją ≤ kolejności (to znaczy, że ten jest zgodny z dodatkiem).
  2. Mamy dla wszystkich elementów x i y pola takich, że x ≥ 0 i y ≥ 0, nierówność xy ≥ 0 (relacja porządku jest zgodna z mnożeniem).

Dla wygody, będziemy mówić dalej, że element x od K jest dodatni , jeśli mamy x ≥ 0, i że jest on ujemny , jeśli mamy x ≤ 0 (będziemy zauważyć, że poprzez antysymetrii relacji porządku ≤ 0 jest jedyny element ciała, który jest zarówno pozytywny, jak i negatywny).

Przykłady

Pola ℚ wymiernych i ℝ liczb rzeczywistych , którym przypisano zwykłą relację porządkową, są polami uporządkowanymi.

Nieruchomości

Najpierw mamy właściwości związane ze zgodnością dodatku z relacją kolejności (zobacz artykuł uporządkowanej grupy w celu ich demonstracji, z innymi zapisami).

Mamy też własności związane ze zgodnością mnożenia z relacją porządkową.

Można to łatwo wywnioskować z drugiego aksjomatu definicji zgodności, wykorzystując fakt, że element ujemny jest przeciwieństwem elementu pozytywnego, a przeciwieństwo elementu uzyskuje się poprzez jego pomnożenie (po lewej lub po prawej stronie) przeciwieństwem jednostki 1.

Całkowicie uporządkowane ciało

Ciało całkowicie uporządkowane nazywamy ciałem uporządkowanym, dla którego relacja kolejności jest całkowita . Na przykład pole ℝ liczb rzeczywistych, zaopatrzone w zwykłą relację porządku, jest ciałem całkowicie uporządkowanym, więc wszystkie jego podpola (podobnie jak pole ℚ liczb rzeczywistych) również (dla porządku indukowanego).

Ciało rzeczywiste (lub: formalnie rzeczywiste  (nie) ) nazywamy polem, w którym –1 nie jest sumą kwadratów. ( Charakterystyka takiego ciała wynosi zatem zero).

Każde całkowicie uporządkowane ciało jest formalnie prawdziwe

Rzeczywiście, w całkowicie uporządkowanym polu każdy kwadrat jest dodatni lub równy zero (zgodnie z regułą znaków), więc każda suma kwadratów również lub –1 jest ujemna, jako przeciwieństwo kwadratu 1.

Dlatego pole ℂ liczb zespolonych (gdzie –1 jest kwadratem i ) nie może mieć całkowicie uporządkowanej struktury pola . Z drugiej strony łatwo jest zdefiniować ℂ relację porządku, która jest albo całkowita, albo zgodna z jego strukturą ciała.

Przykłady

O polu K mówi się, że jest euklidesowe, jeśli jest formalnie rzeczywiste i jeśli w swojej multiplikatywnej grupie K * podgrupa kwadratów ma indeks 2. O polu K mówi się, że jest pitagorejskie, jeśli w K dowolna suma kwadratów jest kwadratowe (nie wystarcza do tego, że dla każdego elementu x w K , 1+ x 2 jest kwadratowy). Dla każdego pola K następujące właściwości są równoważne:

  1. K jest euklidesem;
  2. K jest pitagorejczykiem i na K istnieje unikalny, zgodny porządek całkowity;
  3. K jest formalnie rzeczywiste, ale żadne z jego kwadratowych rozszerzeń nie jest;
  4. –1 nie jest kwadratem w K, a K [ √ –1 ] jest kwadratowo zamknięte (tj. W tym rozszerzeniu każdy element jest kwadratem);
  5. K ma charakterystykę inną niż 2 i ma kwadratowe przedłużenie kwadratowo zamknięte.

Badanie ciał euklidesowych jest wstępem do badania zamkniętych ciał rzeczywistych , z którego wynika, że ​​poprzedni warunek konieczny, aby ciało mogło otrzymać zgodny porządek całkowity (że –1 nie jest sumą kwadratów) jest również wystarczający :

Ciało jest całkowicie (zgodne) uporządkowane (wtedy i tylko), jeśli jest formalnie rzeczywiste.

Uwagi i odniesienia

  1. Tego pojęcia nie należy mylić z pojęciem pierścienia euklidesowego .
  2. (w) TY Lam , Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami , AMS ,2005, 550  s. ( ISBN  978-0-8218-1095-8 , czytaj online ) , str.  234-235.
  3. Aby kwadratowe rozszerzenie K [ √ d ] formalnie rzeczywistego pola K nie było formalnie rzeczywiste, konieczne (i wystarczające) jest, aby w K , - d było sumą kwadratów: Lam 2005 , s.  233-234.

Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydania ]

Powiązane artykuły