W matematyce , a dokładniej w grupie teorii , jeśli H jest podgrupą z grupy G The Index podgrupy H w G jest liczba różnych egzemplarzy H że uzyskać przez pomnożenie przez pozostawiony przez element G , że to znaczy liczbę xH, gdy x przechodzi przez G (w rzeczywistości można obojętnie wybrać mnożenie po lewej lub po prawej stronie). W XH klasy tworzące przegrodęI lewy mnożenie w grupie przez danego elementu jest bijective produkt indeksu podgrupy H w G przez aby z H równa kolejności G , z których możemy wywnioskować, przez skończoności grupy , tw Lagrange'a .
Niech ( G , •) i grupa H podgrupa G . Związek x -1 y∈H jest stosunek równoważności (w x i y ), w G i odpowiednie Klasy równoważne części G w postaci XH , gdzie x biegnie G . Nazywamy tych części G na lewo cosets (elementy G ), po H lub modulo M .
Podobnie, związek yx -1 ∈H jest stosunek równoważności w G i odpowiednie Klasy równoważne części G w postaci Hx , gdzie x biegnie G . Nazywamy tych części G na prawo cosets (elementy G ), po H lub modulo M .
(Jest oczywiste, że klasy po lewej i po prawej stronie klasy elementów G modulo H pokrywają jeśli G jest przemienne. Bardziej ogólnie, że pokrywa się tylko wtedy, gdy H jest odróżnić podgrupy z G )
Mapa X↦X –1 jest odwrotnością zbioru klas po lewej stronie na zbiór klas po prawej, więc zbiór klas po lewej i zbiór klas po prawej mają tę samą liczność . Ten kardynał nazywany jest indeksem H w G i oznaczany jako ( G : H ), lub [ G : H ], lub znowu | G : H |.
Niech G grupa H podgrupa G i K podgrupie H , to jest podgrupą G zawarte w H . Udowadniamy formułę wskaźników :
Dla K trywialnego okazuje się, że dla dowolnej podgrupy H z grupy G ,
która jest wyraźnie bardziej bezpośrednio zauważyć, że klasy modulo H jest tak samo skuteczny do H , tak, że G jest rozłączne Spotkanie [ G : H ] „kopie” H .
Relacja (1) pokazuje, że indeks podgrupy dzieli kolejność grupy. W przypadku, gdy grupa jest skończona, jest to twierdzenie Lagrange'a .
W tym punkcie, oznaczymy przez G / H wszystkie lewe cosets z G modulo podgrupy H o G .
Jeśli H i K są dwiema podgrupami G, to
ponieważ aplikacja
jest iniekcyjny . W szczególności, jeśli [ G : H ] i [ G : K ] są skończone, [ G : H∩K ] jest również skończone (twierdzenie Poincarégo).
Jeśli H lub K jest normalne w G lub nawet tylko pod-normalne , [ G : K ] jest nie tylko górną granicą, ale wielokrotnością [ H : H∩K ]. Przy tym założeniu mamy zatem:
ale ta własność nie jest prawdziwa bez takiego założenia, ponieważ przykład pokazuje G = S 3 , H = {1, s }, K = {1, t }, gdzie s i t są dwiema różnymi transpozycjami .