Liczność (matematyka)
W matematyce , liczność to pojęcie rozmiaru dla zestawów . Gdy zbiór jest skończony , tj. Jeśli jego elementy można wyliczyć za pomocą skończonego ciągu, jego licznością jest długość tego ciągu, innymi słowy jest to liczba elementów zbioru. W szczególności liczność zbioru pustego wynosi zero .
Uogólnienie tego pojęcia na zbiory nieskończone opiera się na relacji ekwipotencji : o dwóch zbiorach mówi się, że są równoważne, jeśli istnieje bijekcja między jednym a drugim. Na przykład o nieskończonym zbiorze mówi się, że jest policzalny, jeśli jest w układzie bijekcyjnym ze zbiorem liczb naturalnych . Dzieje się tak w przypadku zbioru liczb całkowitych względnych lub liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych , zgodnie z argumentem przekątnym Cantora . Zbiór liczb rzeczywistych ma ściśle większą liczność, co oznacza, że występuje zastrzyk w jednym kierunku, ale nie w drugim. Twierdzenie Cantora uogólnia ten wynik, pokazując, że każdy zbiór jest ściśle mniej kardynalny we wszystkich swoich częściach .
Badanie liczebności w ogóle można pogłębić za pomocą definicji liczb kardynalnych .
Istnieje kilka klasycznych notacji do oznaczania kardynała zbioru, z operatorem karty , przedrostkiem pająka (#) , przy użyciu pionowych kresek po obu stronach lub jednego lub dwóch poziomych kresek powyżej.
Definicja
Zestaw uważa się za ograniczony , jeśli jest pusty lub, gdy jest to nie- zerowej naturalne całkowitą i skończoną sekwencję elementów , w którym każdy element występuje tylko raz. Innymi słowy, niepusty zbiór jest skończony, jeśli jest w układzie bijekcyjnym z przedziałem liczb całkowitych .
mi{\ displaystyle E} nie{\ displaystyle n}(x1,...,xnie){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}mi{\ displaystyle E}mi{\ displaystyle E}{1,...,nie}{\ Displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}
Podstawową właściwością prawidłowego zdefiniowania liczności zbioru skończonego jest niepowtarzalność odpowiadającej mu liczby całkowitej . Rzeczywiście, jeśli zbiór jest bijekcyjny z dwoma przedziałami liczb całkowitych i , to .
nie{\ displaystyle n}{1,...,nie}{\ Displaystyle \ {1, \ ldots, n \}}{1,...,p}{\ Displaystyle \ {1, \ ldots, p \}}nie=p{\ displaystyle n = p}
Nieruchomości
Niech będą dwoma skończonymi zbiorami odpowiednich kardynałów i .
mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F}k{\ displaystyle k}nie{\ displaystyle n}
- Jeśli i możesz zostać odrzucony, to .mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F}k=nie{\ displaystyle k = n}
Części zestawu
- Każdy podzbiór od jest skończona i z liczność poniżej .mi{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
- Wszelkie ścisłe podzbiór o ściśle mniej niż kardynał .mi{\ displaystyle E}k{\ displaystyle k}
- Jeśli jest podzbiorem, to moc jego uzupełnienia jest określona wzorem:
W{\ displaystyle A}mi{\ displaystyle E}VSwrre(mi∖W)=VSwrre(mi)-VSwrre(W).{\ Displaystyle \ mathrm {karta} (E \ setminus A) = \ mathrm {karta} (E) - \ mathrm {karta} (A).}
- Związek i przecięcie z dwóch części i z są związane za pomocą wzoru:
W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}mi{\ displaystyle E}VSwrre(W∪b)=VSwrre(W)+VSwrre(b)-VSwrre(W∩b).{\ Displaystyle \ mathrm {karta} (A \ puchar B) = \ mathrm {karta} (A) + \ mathrm {karta} (B) - \ mathrm {karta} (A \ nasadka B).}
Operacje na zbiorach
- Unia rozłączne od i jest skończony przez kardynalne sumy .mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F} k+nie{\ displaystyle k + n}
- Iloczyn kartezjański z i jest skończona kardynalne produktu .mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F} k×nie{\ displaystyle k \ razy n}
- Zestaw map z IN jest skończony i kardynalne moc (z konwencją , jeżeli oba zestawy są puste).mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F} niek{\ displaystyle n ^ {k}}00=1{\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}
- Zestaw części z jest skończony od kardynała .mi{\ displaystyle E}2k{\ displaystyle 2 ^ {k}}
- Zestaw zastrzyków z IN jest pusty, czy i liczności podane przez iloraz z silni inaczej.mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F}k>nie{\ displaystyle k> n} nie!/(nie-k)!{\ Displaystyle n! / (nk)!}
- W szczególności, zbiór permutacji o to kardynał .mi{\ displaystyle E}k!{\ displaystyle k!}
- Liczność zbioru surjections o w jest sumą następujących (która jest zerem ):
mi{\ displaystyle E}fa{\ displaystyle F}k<nie{\ Displaystyle k <n}∑ja=0nie(-1)janie!ja!(nie-ja)!(nie-ja)k.{\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ Frac {n!} {ja! (ni)!}} (ni) ^ {k}.}
Inne typowe konstrukcje ze zbiorów skończonych mają kardynały opisane za pomocą formuł jawnych.
Zbiór N naturalnych liczb całkowitych nie jest skończony, ponieważ odwzorowanie, które z każdą liczbą całkowitą wiąże następującą liczbę całkowitą, jest bijekcją z N do zbioru N * niezerowych liczb całkowitych, który jest ścisłym podzbiorem.
Poza policzalnymi
Wynikiem, na którym opiera się teoria liczb kardynalnych, jest twierdzenie Cantora, z którego wynika, że zbiór nigdy nie jest równoważny ze zbiorem jego części, a zatem istnieje kilka, a nawet nieskończoność różnych nieskończonych liczebności.
Uwagi i odniesienia
-
Strona 117 Matematyka Słownik Alain Bouvier, George i Michel François Le Lionnais , 5 th edition, 1996, Prasy Universitaires de France ( ISBN 978-2-13047821-8 ) .
-
Ta własność jest fałszywa w przypadku nieskończonych zbiorów.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">