Zastosowanie (matematyka)

W matematyce , aplikacja jest relacja między dwoma zestawami dla którego każdy element pierwszy (zwany zestaw startowy lub źródło ) jest związanych z pojedynczym elementem sekundę (zakończenie ustalono lub cel ). Pojęcie to konkuruje z pojęciem funkcji , chociaż ta ostatnia czasami określa bardziej szczegółowo aplikacje, których celem jest zbiór liczb, a czasami, przeciwnie, szerzej obejmuje relacje, z którymi jest powiązany co najwyżej każdy element zbioru początkowego. jeden element zespołu przybycia.

Aplikacja może mieć wartości nienumeryczne, takie jak ta, która kojarzy każdego ucznia w klasie z jego dniem urodzenia lub aplikacja, która kojarzy każdą kartę w zestawie 32 kart z jej kolorem .

Aplikacja jest więc obiektem wynikającym z teorii mnogości , zdefiniowanym przez jej graf i związanym z pojęciami obrazu i poprzednika . Może być iniekcyjny lub suriektywny, w zależności od wyjątkowości lub istnienia poprzednika dla każdego elementu zbioru nadejścia. Mapa posiadająca te dwie właściwości jest bijekcją , która następnie dopuszcza odwrotność mapy . Aplikacje można również składać lub ograniczać do podzbioru ich zbioru początkowego.

Poza kontekstem analizy termin ten jest określany m.in. w geometrii afinicznej , algebrze liniowej , topologii i teorii układów dynamicznych . Czasami jest zastępowany operatorem lub morfizmem , a nawet strzałką, zwłaszcza w teorii kategorii .

Funkcja i zastosowanie

Pojęcie funkcji jako korespondencji między dwoma typami obiektów jest stosunkowo stare. Jednakże pojawia się określenie na końcu XVII -tego wieku w pismach Leibnizem w 1694, jest wtedy funkcją związaną z geometrycznym krzywej Leibniz mówi i osi x, osi y lub promień krzywizny krzywej w punkt M jest funkcja punktu M . Równocześnie Newton mówi o płynności dla wielkości zależnych od zmiennej, którą nazywa czasem (przy jednoczesnym określeniu, że rolę odgrywaną przez czas może odgrywać inna wielkość). Zapis w postaci f nie pojawił się od razu. Jean Bernoulliego proponuje 1698 wywołać X. funkcję X , a następnie fx w 1718 Leibniza konstruuje oznaczenie pozwala pracować na wielu różnych funkcji: i są zatem dwie funkcje w zależności od x . Euler używa notacji fx w 1734 roku. Funkcje mają wtedy zawsze wartości liczbowe (rzeczywiste lub zespolone), a także mają właściwości ograniczające (połączone z równaniem algebraicznym, ciągłością Eulera, rozszerzalną w całym szeregu ...). $\ overline x | \ underline 1$ $\ overline x | \ underline 2$

Równocześnie w geometrii rozwija się pojęcie zastosowania dla określonych odpowiedników.

Pojęcie funkcji (lub zastosowania) zostało uogólnione najpierw na kilka zmiennych numerycznych, na zmienną, która jest krzywą ( Vito Volterra ), następnie Maurice Fréchet w 1904 r. I Eliakim Hastings Moore przyjmują argument w zbiorze arbitralnym, a Fréchet w 1909 r. wartość funkcji również.

Przez cały XX XX wieku w wielu pracach naukowych, warunki funkcjonowania i stosowania są synonimami. Czasami wprowadzane są pewne niuanse: termin funkcja jest używany częściej w przypadku, gdy zbiór przybycia jest cyfrowy, a czasami, gdy zestaw definicji nie jest równy zbiorem początkowym.

W latach pięćdziesiątych szkoła Bourbaki podjęła próbę precyzyjnego zdefiniowania tych dwóch pojęć. Tak więc w szkicu Księgi I, Rozdziału II Żywiołów z 1954 r., Możemy przeczytać następujące definicje:

Relację R ( x , y ) nazywamy relacją funkcjonalną typu (T × U), jeśli spełnia ona następujący warunek: niezależnie od x , istnieje najwyżej jeden y taki R ( x , y ). Do każdej relacji funkcjonalnej dołączamy nowy obiekt, który nazywamy funkcją;
Pole definicji funkcji f nazywamy zbiorem elementów x z E, dla których istnieje y takie, że R (x, y). Jest to część I z E . Mówimy, że f jest określona na E oraz z E .
Zamiast mówić o funkcji określonej na E i przy wartości F , mówimy o zastosowaniu E w F .

Nawet jeśli w ostatecznym brzmieniu Elementów z 1970 r. Funkcja jest zawsze określona w punkcie wyjścia, to rozróżnienie to powtarza się we francuskim szkolnictwie średnim I i II stopnia, kiedy za Komisją Lichnerowicza wdrażają nowe programy z 1968 r. Tak więc widzimy od szóstego , zilustrowanego diagramami strzałkowymi, następujące definicje:

relacje takie, że z każdego elementu zbioru początkowego jest co najwyżej jedna strzałka, nazywane są funkcjami;
relacje takie, że z każdego elementu zbioru początkowego pozostawia dokładnie jedną strzałkę, nazywane są odwzorowaniami.

W praktyce fakt, że wystarczy zredukować zbiór początkowy funkcji do zbioru definicji, aby przekształcić ją w aplikację, czyni to rozróżnienie mało użytecznym.

To rozróżnienie zaczyna zanikać z podręczników szkolnych dopiero w 1985 r. Wraz z przyjęciem nowych programów, ale wciąż istnieją nowe książki, w których to rozróżnienie występuje.

Definicja

Dlatego też zwykła definicja funkcji w matematyce jest ustalona i zasadniczo zakłada definicję pary i iloczynu kartezjańskiego . Aplikacja lub funkcja jest triplet m = ( E , F , G ) z binarnym stosunku G ⊂ E x F i który sprawdza, czy dla każdego x z E nie istnieje w unikalny Y z F, tak, że pary ( x , y ) należy do G . Dokładnie w tym przypadku mówi się , że mapa f G podana jako relacja binarna G ⊂ E × F jest dobrze zdefiniowana . Kolejność zbiorów trioli jest dowolna i znajdujemy również wariacje w zależności od utworów. Charakterystyczną właściwość można podzielić na dwie klauzule:

Istnienie . ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F ( x , y ) ∈ G ; Wyjątkowość . ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F ∀ y ' ∈ F ([( x , y ) ∈ G and ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Innymi słowy, oznacza to, że G przecina każdy podzbiór { x } × F w jednym punkcie, którego istnienie jest określone przez pierwszą klauzulę, a niepowtarzalność przez drugą. Ten punkt, element F , jest nazywany obrazem x na mapie f i oznaczony jako f ( x ). Aby wyraźnie odróżnić obraz elementu E , który jest elementem F , od obrazu f , który jest podzbiorem F , mówimy czasami w tym drugim przypadku o zestawie obrazów f .

Mówi się również, że f łączy x element f ( x ) lub że f wysyła x z f ( x ). Formy pasywne " x jest wysyłane przez f przez f ( x )", " f ( x ) jest powiązane z x przez f " są również używane.

Jeśli X , element E , spełnia f ( x ) = Y , mówimy, że x jest poprzednikiem z y . Element y z F może mieć więcej niż jeden poprzednik lub nie mieć go wcale.

Dla funkcji E w F, która z x wiąże f ( x ), zauważymy:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} f: & E & \ longrightarrow & F \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ koniec {macierz}}}

na przykład dla funkcji zmiennej rzeczywistej, która wiąże swój kwadrat z liczbą:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} f: & \ mathbb {R} & \ longrightarrow & \ mathbb {R} \\ & x & \ longmapsto & x ^ {2} \ koniec {matrix}}}

W poprzednim przykładzie użyliśmy struktury liczb rzeczywistych do zdefiniowania funkcji. W przypadku każdego zestawu E zawsze można określić tożsamość lub identyczną mapowania , która stowarzyszone z każdym elementem x z E element X się. Jej wykres jest przekątną iloczynu kartezjańskiego E × E , podzbioru określonego przez relację x = y .

Jeśli F nie jest pusty, to możemy skojarzyć z dowolnego elementu B z F , tak zwanej stałej mapie z E na F , która kojarzy się z dowolnego elementu E element b . Dlatego jego wykres to E × { b }.

Czasami używane są inne terminologie i zapisy. Funkcje zdefiniowane na zbiorze N naturalnych liczb całkowitych (lub jego części) są często nazywane sekwencjami , na przykład ciągami rzeczywistymi są funkcje N w zbiorze R liczb rzeczywistych. Następnie używamy notacji indeksu: ( u n ) n ∈ N oznacza sekwencję, zapisując ją w skrócie jako ( u n ), a u n oznacza obraz za pomocą tej sekwencji liczby całkowitej n .

Ten zapis jest przedłużony do rodzin , indeksowane przez I elementami zestawu F danych, które są z innej notacji i innej terminologii, funkcje I w F .

Zestaw aplikacji pomiędzy dwoma zestawami

Wszystkie aplikacje E w F jest często zauważyć F E . Jego kardynał zależy tylko od odpowiednich kardynałów E i F : | F E | = | F | | E | .

Operacje aplikacji

Ograniczenie albo $f$ aplikacji do $e$ w $e$ i pozwolićpodzbiór $E$ . Ograniczenie $F$ do $A$ , oznaczonyjest stosowanie $A$ do $F$ , że każdy element $jest$ z $A$ łączy element $F$ $($ $)$ z $F$ . Innymi słowy, jeśli oznaczymy przez $G$ wykres $f$ ,jest mapą $A$ w $F$ wykresu $G$ $\cap ($ $A$ $\times$ $F$ $)$ . ${\ displaystyle f_ {| A}}$ ${\ displaystyle f_ {| A}}$
Corestriction : corestriction jest analogiczna operacja na podzbiór zbioru przyjazdu, ale jeśli chcemy pozostać aplikacja, nie możemy ograniczać zestaw przyjazdu F przez f qu „to podzbiór F” z F zawierający zestaw obrazu f . Otrzymujemy wtedy aplikację, która ma ten sam zestaw początkowy i ten sam wykres, ale nie ten sam zestaw końcowy.
Rozszerzenie : niech f będą dwiema mapami od E do F grafu G , if ' od E' do F ' wykresu G' . Mówimy, że f ' jest przedłużeniem f, gdy:E ⊂ E ' i F ⊂ F' i G ⊂ G ' .(Aby zapoznać się z przypadkiem szczególnym w matematyce elementarnej , zobacz Zestaw definicji # Rozszerzenie ).
Kompozycja : Skład dwiema aplikacjami f owa g owopisana. To zastosowanie wokreślone, dla dowolnego elementu x opoprzez: $E_2$ $E_ {3}$ $E_1$ $E_2$ $f \ circ g$ $E_1$ $E_ {3}$ $E_1$ $f \ circ g (x) = f (g (x)).$ Jeśli wykres f to, a wykres g to , to jest to: $G_f$ $G_ {g}$ $f \ circ g$ $G_ {f \ circ g} = \ {(x, z) \ in E_1 \ times E_3 \ mid \ exist y \ in E_2, (x, y) \ in G_g \ wedge (y, z) \ in G_f \} .$

Iniektywność i suriektywność

Mówi się, że mapa f od E do F jest iniekcyjna , lub znowu jest iniekcją , gdy dowolny element zbioru przybycia f ma co najwyżej poprzednik w zbiorze początkowym przez f , co można zapisać:

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [f (x_ {1}) = f (x_ {2}) \ Rightarrow x_ {1} = x_ {2} \ right]

. lub przez contraposée :

\ forall x_ {1}, x_ {2} \ in E \ left [x_ {1} \ neq x_ {2} \ Rightarrow f (x_ {1}) \ neq f (x_ {2}) \ right]

. Związek o dwóch zastrzyków zastrzyk, i odwrotnie, jeśli na określonej funkcji , O jest wtrysk, a następnie to wtryskowego.

sol

sol

fa

fa

Mapowanie z w mówi się suriekcją lub ponownie jest surjection , gdy każdy element zestawu przybycia jest obraz o f co najmniej jednego elementu początkowego zestawu, która jest przypisana: $fa$ $mi$ $fa$ $\ dla wszystkich y \ w F, \ istnieje x \ w E, \ f (x) = y.$ Innymi słowy, jest suriektywny, jeśli jego zestaw obrazów jest całym zestawem docelowym. Złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją i odwrotnie, jeśli jest surjekcją, to jest surjąkcją. $fa$
$g \ circ f$ $sol$
Mówi się, że mapa f jest bijektywna , lub znowu jest bijekcją , kiedy ta mapa jest zarówno iniekcyjna, jak i suriektywna, to znaczy, że każdy element jej zbioru nadejścia ma poprzednik i tylko jeden przez f w zbiorze początkowym l ', który jest napisany: ${\ displaystyle \ forall y \ in F, \ istnieje! x \ in E, \ f (x) = y.}$ Złożenie dwóch bijekcji jest bijekcją, ale odwrotnie, jeśli związek dwóch map jest bijekcją, możemy tylko wywnioskować, że jedna jest zastrzykiem, a druga surową.

Wzajemne zastosowanie

Jeśli mapa f : E → F jest bijektywna, każdemu elementowi F jest przypisany unikalny poprzednik przez f w E , który istnieje, ponieważ f jest surjektywny i który jest unikalny, ponieważ f jest iniekcyjny. To dlatego określa mapa, którą nazywamy wzajemne mapę z f , i która w tym przypadku jest również bijection, zwany także wzajemny bijection z f .

Zauważamy to . Jej wykres jest symetryczny z wykresem funkcji f , tj. Jeśli G jest wykresem funkcji f , to wykres jest {( y , x ) | ( x , y ) ∈ G }. W przypadku, gdy E = F = R , zbiór liczb rzeczywistych, wykres w płaszczyźnie R ² jest symetryczny względem wykresu f względem pierwszej dwusiecznej . Zatem funkcja samych liczb rzeczywistych dodatnich, która z x wiąże x ² jest bijekcją, jej odwrotnością jest pierwiastek kwadratowy, a wykres jednej z nich jest wyprowadzany z drugiej przez symetrię względem linii równania y = x . $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$ $f ^ {- 1}$

W przypadku na przykład funkcję numeryczną, można mówić, gdy odwrotności pierwiastka A z F , ta może być zapisana na -1 . W tym przypadku oznacza odwrotność elementu . To jest funkcja odwrotna 1 / f (jeśli istnieje). Zapis jest zarezerwowany dla odwrotnego bijekcji f (jeśli istnieje). $f (x) ^ {{- 1}}$ $f (x)$ $f ^ {- 1}$

Zastosowanie F : PL → C jest za pomocą wstrzyknięć, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjection g : C → E wzajemny lewo od F , to znaczy, że g ∘ F jest tożsamość E . Gdy f jest iniekcyjne, wystarczy przyjąć za g aplikację, która z elementem obrazu f łączy swój poprzednik przez f i która jest określona arbitralnie na innych elementach. Ta funkcja nie jest unikalna, chyba że f jest również bijektywna. Odwrotność wynika bezpośrednio z faktu, że g jest mapą.
Zastosowanie F : PL → M jest na wtedy i tylko wtedy, gdy jest wtryskiwanie g : C → E wzajemny prawo F , to znaczy f ∘ g jest tożsamość F . Załóżmy, że f jest suriektywne, w przypadku, gdy zbiór obrazów f jest nieskończony, istnienie tego zastrzyku opiera się w całej ogólności na aksjomacie wyboru (podanym dla każdego surjekcji, jest nawet równoważny z aksjomatem wyboru). Stosując g rzeczywiście jest funkcją wyboru na wszystkich zestawów historia elementu F , wybiera dobrą historię dla każdego elementu F . Ta funkcja nie jest unikalna, chyba że f jest również bijektywna (przypadek, w którym poprzednik jest unikalny, aksjomat wyboru nie jest konieczny). Istnienie funkcji g wzajemnego prawej f dostarcza się bezpośrednio poprzedzające przez F dla każdego elementu F .

Dekompozycja kanoniczna

Nazywamy relację binarną kanonicznie związanego z mapą f na ℛ korespondencji określonej w E przez:

x jest w relacji z y wtedy i tylko wtedy, gdy x i y mają wspólny obraz przez f .

Relacja ta jest zawsze symetryczna i przechodnia ze względu na wyjątkowość obrazu, a także ze względu na swoje istnienie jest refleksyjna, jest więc relacją równoważności .

Następnie możemy zdefiniować zbiór ilorazów E / ℛ i odpowiadające mu kanoniczne surjekcje s , powiązane z mapą f . Ten surjection stowarzyszone z każdym elementem x z E tej klasie równoważności przez ℛ, który nie jest niczym innym niż f -1 ({ f ( x )}), przy czym zestaw poprzednikach f ( x ).

Rozpatrzmy korespondencji i o E / ℛ w F określa się jako:

A jest w relacji do y wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zbiorem poprzedników y przez f .

Ta korespondencja jest zastrzykiem, wtryskiem kanonicznym związanym ze zgłoszeniem f . Łatwo pokazujemy, że f = i ∘ s .

Konkluzja: Każde zastosowanie można w wyjątkowy sposób podzielić na wstrzyknięcie i wstrzyknięcie.

Ten rozkład jest rozkładem kanonicznym aplikacji. W tym rozkładzie:

wyrzut s jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f jest wtryskiem, tj. jeśli f −1 ∘ f = id E ;
wtrysk i jest bijection wtedy i tylko wtedy, gdy M jest surjection to znaczy, że jeżeli m ∘ F -1 = id F .

Teoria mnogości

Pojęcie funkcji nie jest prymitywne w teoriach zbiorów Zermelo czy Zermelo-Fraenkla i jest definiowane dzięki pojęciom pary i iloczynu kartezjańskiego , które też nie są prymitywne. Pojęcie to może rozwinąć się w teorii Zermelo (bez aksjomatu nieskończoności ), z aksjomatem rozszerzalności , aksjomatem pary , aksjomatem reunion , aksjomatem części zbioru i schematem aksjomatów pojmowania . Przy jednej okazji musieliśmy wykazać ogólnie rzecz biorąc, że istnieje prawostronna odwrotność funkcji suriektywnej, aksjomat wyboru .

W teorii mnogości często zdarza się, że funkcja jest utożsamiana z tym, co wcześniej nazywano jej wykresem. To znaczy, że funkcję definiuje się jako zbiór par weryfikujących właściwości istnienia i niepowtarzalność obrazu, co można łatwo zweryfikować, że tak naprawdę nie wprowadzają one do gry zbiorów początkowych i przybycia: przy tej definicji G jest funkcjonować, gdy jest to relacja, w sensie zbioru par, z niepowtarzalnością obrazu, a dokładniej:

∀ x ∀ y ∀ y ' ([( x , y ) ∈ G and ( x , y' ) ∈ G ] ⇒ y = y ' ).

Zbiór początkowy funkcji to zbiór pierwszych rzutów G , który jest zdefiniowany w zrozumieniu , podobnie jak obraz funkcji, który jest zbiorem drugich rzutów G (szczegóły w artykule o iloczynu kartezjańskim znajdują się w zależności od reprezentacja par). Nie ma już nieodłączną zestaw przybycia, tj f zależy od E do F się właściwością f : E jest zestaw pierwszych występów f i L 'ogólny obraz wszystkich drugich występów znajduje się w F . Iniekcyjność to właściwość, która zależy tylko od wykresu funkcji. Z drugiej strony, w tym kontekście, suriektywność lub bijektywność stają się własnością fi wybranego zbioru przybycia ( f jest suriektywne od E w F ).

Ktoś może być zainteresowany klas funkcjonalnych, które są pary klas spełniających dwie właściwości wymienione na początku akapitu, ale w klasie zamiast całego G . Schemat zastępczy aksjomatów , który uzupełnia teorię zbiorów Zermelo, aby dać teorię Zermelo-Fraenkla, stwierdza, że obraz zbioru przez klasę funkcjonalną jest zbiorem, a zatem ograniczenie klasy funkcjonalnej do zbioru jest funkcją (jak zestaw par).

Uwagi i odniesienia

Lucien Chambadal, Słownik współczesnej matematyki , artykuł "funkcje", Larousse, 1969.
Jacques Bouveresse , Jean Itard i Émile Sallé, Historia matematyki [ szczegóły wydań ], s. 33 .
„Funkcja (pojęcie)” , w Dictionary of mathematics - algebra, analysis, geometry , Paris, Encyclopædia Universalis and Albin Michel,1997, s. 359-360.
(de) Bartel Eckmann L. Van der Waerden Moderne Algebra, str. 6 w Google Books , tom I, 1930
W przypadku Rudina ( analiza rzeczywista i złożona , Rudin, Masson, 1978, s. 7), terminy funkcja, zastosowanie i transformacja są synonimami
Dla Roger Godement ( Mathematical Analysis I , Springer, 1998, str. 21), możemy powiedzieć obojętnie: „Niech f będzie funkcją zdefiniowaną na X z wartościami w Y” lub „Niech f będzie aplikacją X w Y”
Biura prasowe Nomenclature Boubaki , w archiwach stowarzyszenia, Archiwum 53
Drafting of Book I, Chapter II of the Elements Archive 53 , str. 25
Rozdział II , str. 26
Drafting of Book I, Chapter II of the Elements Archive 53 , str. 26
Bourbaki, Elementy matematyki: Teoria mnogości , Hermann, 1970, przedruk 2006, EII13 - Definicja 9
Cossart and Théron Collection, Mathematics , 6th grade , Bordas, 1969, str. 28
Sandie Ferrigno, Aurélie Muller-Gueudin, Didier Marx, Frédéric Bertrand, Myriam Maumy-Bertrand, Mathematics for engineering sciences, str. 18 w Google Books , Dunod, 2013
Alain Droguet, Algebra i analiza 1 rok - opcja ekonomiczna, str. 6 i 12 w Google Books , Bréal, 2003
Catherine Berdonneau, Françoise Cerquetti-Aberkane, Nauczanie matematyki w przedszkolu, str. 45 w Google Books Hachette Education, 2007
Wprowadzenie do teorii mnogości [ szczegóły wydań ], s. 40.
Jean-Louis Krivine , Teoria zbiorów [ szczegóły wydań ], s. 13 (związek funkcjonalny) i s. 17 (funkcja lub zastosowanie) lub Paul Halmos , Wprowadzenie do teorii mnogości [ szczegóły wydań ], s. 40 (wyd. 1970).

Powiązane artykuły