Teoria kategorii

Teoria kategorii bada struktury matematyczne i relacje. Do badania kategorii, bardzo abstrakcyjnych, przyczyniło się bogactwo cech wspólnych dla różnych klas związanych ze strukturami matematycznymi. Kategorie są używane w większości dziedzin matematyki oraz w niektórych obszarach informatyki teoretycznej oraz w matematyce fizyki. Tworzą jednoczącą koncepcję.

Historia

Teoria ta została stworzona przez Samuela Eilenberga i Saundersa Mac Lane'a w latach 1942-1945 w związku z topologią algebraiczną , a propagowana w latach 1960-1970 we Francji przez Alexandre'a Grothendiecka , który dokonał jej systematycznych badań. W następstwie prac Williama Lawvere , teoria kategorii jest używana od 1969 roku do definiowania logiki i teorii mnogości ; kategoria teoria może dlatego, jak teorii mnogości lub typu teorii , z którym ma ona podobieństwa, uznać za fundament matematyki .

Podstawowe elementy

Morfizmy

Oto przykład. Gr klasy z grupy obejmuje wszystkie obiekty o strukturze „grupowego”. Dokładniej, Gr obejmuje wszystkie zestawy G zaopatrzone w działanie wewnętrznego , który spełnia Axioms z asocjatywności , odwracalności i z elementu neutralnego . Niektóre twierdzenia można następnie udowodnić , dokonując logicznych dedukcji z tych aksjomatów. Na przykład dostarczają bezpośredniego dowodu, że element tożsamości grupy jest niepowtarzalny.

Zamiast badać obiekty (np. Grupy), które mają określoną strukturę, jak to zawsze robiły teorie matematyczne, teoria kategorii kładzie nacisk na morfizmy i procesy, które zachowują strukturę między dwoma obiektami. Wydaje się, że badając te morfizmy, jesteśmy w stanie dowiedzieć się więcej o budowie obiektów.

W naszym przykładzie są badane morfizmami morfizmami , że każdy wniosek grupy w grupie weryfikacji: . Badanie morfizmów grup dostarcza narzędzia do badania ogólnych właściwości grup i konsekwencji aksjomatów odnoszących się do grup. $fa$ ${\ Displaystyle (G, \ punktor)}$ ${\ Displaystyle (G ', \ gwiazda)}$ ${\ Displaystyle \ forall x, r \ w G, f (x \ punktor r) = f (x) \ gwiazda f (y)}$

Tak samo jest w wielu teoriach matematycznych, w których można zdefiniować klasę obiektów, a także poszczególne aplikacje między tymi obiektami weryfikując określone właściwości. Innym przykładem kategorii jest klasa przestrzeni wektorowych , a morfizmy są odwzorowaniami liniowymi . Ostatni przykład podaje klasa przestrzeni topologicznych , gdzie morfizmy są odwzorowaniami ciągłymi . Kategoria jest więc sformułowaniem aksjomatycznym, które wiąże struktury matematyczne z funkcjami, które je zachowują. Systematyczne badanie kategorii umożliwia udowodnienie ogólnych wyników z aksjomatów kategorii.

Funktory

Kategoria sama w sobie jest rodzajem struktury matematycznej. Jeśli mamy dwie kategorie i , czasami można zdefiniować zgodność między pierwszą i drugą kategorią, kojarząc każdy przedmiot (odpowiednio każdy morfizm) pierwszej kategorii z przedmiotem (odpowiednio morfizmem) drugiej, zachowując przy tym struktura kategorii. Takie odpowiedniki nazywane są funktorami . $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Jeśli ograniczymy się do małych kategorii (tj. Do kategorii, których klasy obiektów i morfizmy są zbiorami), definiujemy w ten sposób kategorię małych kategorii (w) Cat : jej przedmiotami są małe kategorie, a jego morfizmy to funktory.

Ta podstawowa idea powiązania jednej klasy obiektów z drugą pojawiła się po raz pierwszy w topologii algebraicznej : pewne złożone problemy topologiczne można przełożyć na pytania algebraiczne, które często są łatwiejsze do rozwiązania. W ten sposób możemy zdefiniować funktor z kategorii przestrzeni topologicznych w kategorii grup , który z przestrzenią topologiczną wiąże swoją grupę podstawową . Każda właściwość topologiczna pierwszej kategorii może być przetłumaczona przez właściwość algebraiczną w drugiej kategorii i odwrotnie.

Naturalne przemiany

Poprzez nowy wysiłek abstrakcji funktory są często „naturalnie połączone”. Dlatego definiujemy pojęcie transformacji naturalnej , czyli sposobu wysłania funktora na funktor. Jeśli funktor jest morfizmem morfizmów, to naturalna transformacja jest morfizmem morfizmów morfizmów. W ten sposób możemy badać wiele konstrukcji matematycznych. „Naturalność” to głębsza zasada, niż się wydaje na pierwszy rzut oka. Saunders MacLane , współtwórca teorii kategorii, powiedział: „Nie wymyśliłem kategorii, aby badać funktory; Wymyśliłem je, aby badać naturalne przemiany ” .

Na przykład istnieje izomorfizm między skończoną przestrzenią wektorową a jej przestrzenią dualną , ale izomorfizm ten nie jest „naturalny” w tym sensie, że jego definicja wymaga wybrania podstawy , od której ściśle zależy. Z drugiej strony istnieje naturalny izomorfizm między skończoną przestrzenią wektorową a jej przestrzenią binarną (podwójną do podwójnej), to znaczy w tym przypadku niezależną od wybranej bazy. Ten przykład jest historycznie pierwszym przykładem sformułowanym w przełomowym artykule Samuela Eilenberga i Saunders MacLane w 1945 roku.

Inny przykład: istnieje kilka sposobów łączenia przestrzeni topologicznych z teorią grup za pomocą różnych funktorów : homologii, kohomologii , homotopii … Badanie naturalnych przekształceń pozwala nam zbadać, w jaki sposób te funktory są ze sobą powiązane.

Definicje

Kategoria

Kategoria w języku teorii klas składa się z czterech elementów: $\ mathcal C$

klasa, której elementy nazywane są obiektami (obiektami kategorii); ${\ Displaystyle \ mathrm {ob} ({\ mathcal {C}})}$
klasa, której elementy nazywane są morfizmami lub strzałami (morfizmy lub strzały kategorii); ${\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}$
dwa „ zastosowania ” w (w sensie teorii klas, tj. ich „ wykresy ” mogą być klasami własnymi ), zwane źródłem i celem; f : A → B oznacza, że f jest morfizmem „od A do B ” (to znaczy źródła A i celu B ), a klasa wszystkich tych morfizmów f jest oznaczona ; ${\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {ob} ({\ mathcal {C}})}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (A, B)}$
morfizm dla każdego obiektu , zwany tożsamością ; $\ mathrm {id} _A: A \ rightarrow A$ $W$ $W$
kompozycja, która, z dowolną parą morfizmów i , łączy morfizm zwany składający się z i i taki, że: ∘{\ displaystyle \ circ} $\ circ$ fa:W→b{\ displaystyle f: A \ rightarrow B} $f: A \ rightarrow B$ sol:b→VS{\ displaystyle g: B \ rightarrow C} $g: B \ rightarrow C$ sol∘fa:W→VS{\ displaystyle g \ circ f: A \ rightarrow C} $g \ circ f: A \ rightarrow C$ fa{\ displaystyle f} $fa$ sol{\ displaystyle g} $sol$
- kompozycja jest łączne: dla wszystkich morfizmów , i , $f: A \ do B$ $g: B \ do C$ ${\ displaystyle h: C \ do D}$ ${\ Displaystyle (h \ Circ g) \ Circ f = h \ Circ (g \ Circ f)}$ ;
- tożsamości są neutralnymi elementami kompozycji: dla każdego morfizmu , $f: A \ rightarrow B$ $\ mathrm {id} _B \ circ f = f = f \ circ \ mathrm {id} _ {A}$ .

Kiedy kategoria jest aktualna, niektórzy podają jej jako nazwę skrót nazwy jej obiektów; tutaj będziemy postępować zgodnie z tą konwencją.

Niektórzy autorzy, na przykład DE Rydeheard i Burstall, definiują kategorię jako skierowany graf (a dokładniej multigraf). Wierzchołki wykresu to obiekty. Łuki to strzały. Podobnie czasami zdarza się, że całkowicie zapominamy o obiektach kategorii i interesują nas tylko strzałki, identyfikując przedmioty z ich tożsamościami strzałek.

Niektóre właściwości

O kategorii mówi się, że jest lokalnie mała, jeśli dla dowolnego obiektu A, B klasy morfizmów od A do B, tj. Jest zbiorem. Kategoria jest mała, jeśli klasa wszystkich morfizmów , tj. Jest zbiorem. Większość zwykłych kategorii - por. przykłady poniżej - są tylko lokalnie małe. $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathrm {Hom} \ big (A, B \ big)$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ ${\ displaystyle \ mathrm {mor} ({\ mathcal {C}})}$

Podkategoria o to kategoria, której obiekty są obiektami i których strzały są strzałki (ale niekoniecznie wszystkie strzałki) z dwóch obiektów w podkategorii. Gdy podkategorii od jest taka, że wszystkie strzały między dwoma przedmiotami są strzałki to podkategorii mówi się pełne . $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ ${\ mathcal {S}}$ $\ mathcal C$ $\ mathcal C$ ${\ mathcal {S}}$ ${\ mathcal {S}}$

Podwójna kategoria

Mając kategorię , definiujemy kategorię przeciwną lub podwójną , biorąc te same obiekty, ale odwracając kierunek strzałek. Jest odnotowany (lub ). Dokładniej: $Hom$ C $op$ ( A , B ) = $Hom$ C ( B , A ), a kompozycja dwóch przeciwległych strzałek jest przeciwieństwem ich kompozycji: f $op$ ∘ g $op$ = ( g ∘ f ) $op$ . Oczywiste jest, że kategoria podwójna kategorii podwójnej jest kategorią wyjściową . Ta dualizacja umożliwia symetryzację większości wypowiedzi. $\ mathcal C$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ rm {op}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ rm {o}}}$ ${\ Displaystyle ({\ mathcal {C}} ^ {\ rm {op}}) ^ {\ rm {op}} = {\ mathcal {C}}}$

Przykłady

Intuicyjnie obiekty w kategorii są często zestawami ze strukturą, a strzałki są często odwzorowaniami między zestawami, które zachowują strukturę. Poniższa tabela zawiera przykłady kategorii, które ilustrują tę intuicję.

Kategoria	Obiekty	Strzały
$Ens$ lub $Set$ category	zestawy	Aplikacje
$Najlepsza$ kategoria	przestrzenie topologiczne	ciągłe aplikacje
$Spełniona$ kategoria	przestrzenie metryczne	jednolicie ciągłe aplikacje
kategoria $My$	monoidy	morfizmy monoidalne
kategoria $Grp$	grupy	morfizmy grupowe
kategoria $Ab$	grupy abelowe	morfizmy grupowe
Kategoria $ACU$	jednolite pierścienie przemienne	morfizmy pierścieniowe
Kategoria $Ord$	zamówione zestawy	rozwijające się aplikacje

Przykłady w tabeli są kategoriami konkretnymi , tj. Kategoriami wyposażonymi w funktor wierny kategorii zbiorów (w niniejszych przypadkach jest to funktor zapominający , który pomija konstrukcje uznawane za zachowujące jedynie swój zbiór bazowy; np. zastosowanie funktora zapominającego do grupy (ℤ, +) daje zbiór ℤ). Każda mała kategoria jest konkretna, jak dwie następujące:

Dajemy sobie monoid M i definiujemy związaną z nim kategorię w następujący sposób:
- obiekty: tylko jeden
- strzałki: elementy monoidu, wszystkie zaczynają się od pojedynczego obiektu i wracają do niego;
- skład: dany przez prawo monoidu (tożsamość jest zatem strzałką związaną z punktem neutralnym M ).
Dajemy sobie zbiór E wyposażony w relację zwrotną i przechodnią R (innymi słowy, R jest relacją przedpremierową ) i definiujemy związaną z nim kategorię następująco:
- przedmioty: elementy całości;
- strzałki: dla wszystkich obiektów e i f istnieje strzałka od e do f wtedy i tylko wtedy, gdy eRf (w przeciwnym razie nie ma strzałki);
- kompozycja: złożenie dwóch strzałek jest jedyną strzałką, która łączy oba końce (relacja jest przechodnia); tożsamość jest jedyną strzałką, która łączy obiekt ze sobą (relacja jest zwrotna).

Ten przykład jest szczególnie interesujący w następującym przypadku: zbiór to zbiór otworów w przestrzeni topologicznej , a relacja to inkluzja; umożliwia to zdefiniowanie pojęć prefabrykatów i snopów za pomocą funktorów . To także pozwala nam na rozpatrzenie każdego zamówionego zestawu jako kategoria i wszelkie indukcyjne (resp. Projekcyjna systemu) jako kowariantna (wzgl. Kontrawariantny) funktora w tej kategorii.

Przykładem nieswoistej Kategoria: kategoria homotopii (w) htop , której obiekty są przestrzenie topologiczne i którego morfizmami są klasy homotopii z ciągłych zastosowań .

Biorąc pod uwagę dwie kategorie i , możemy zdefiniować kategorię produktów w następujący sposób: obiektami kategorii produktów są pary (A, B) złożone z przedmiotu A lub przedmiotu B ; morfizmy to pary ( f , g ) utworzone przez morfizm f z i morfizm g z . Skład tych par jest wykonywany komponent po komponencie. $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ razy {\ mathcal {D}}}$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$ $\ mathcal C$ $\ mathcal D$

Przykład komputera

Benjamin C. Pierce, s. 8 w Podstawowej teorii kategorii dla informatyków rozważa funkcjonalny język programowania , w którym typy to Bool (dla wartości logicznych, tj. Dla wartości prawdy), Int (dla liczb całkowitych), Real (dla liczb rzeczywistych) i Unit (typ z jednym elementem) . Operacje są zerowe: Int → Bool (które sprawdza, czy liczba całkowita jest równa zero), a nie: Bool → Bool (negacja), succInt: Int → Int (która zwraca następcę liczby całkowitej), succReal: Real → Real, (która zwraca następcę liczby rzeczywistej), toReal: Int → Real (co zamienia liczbę całkowitą na liczbę rzeczywistą). Stałe tego języka wynoszą zero: Int, true: Bool, false: Bool, unit: Unit. Następnie Pierce podaje przykład kategorii, w której obiekty to Bool, Int, Real i Unit, a strzałki to true, false, succInt, succReal, unit, iszero, not, toReal.

Stałe to strzałki, z których każda wiąże unikalny element Unit z wartością, którą reprezentuje.

Monomorfizmy, epimorfizmy i izomorfizmy

Definicje

Mówi się, że strzała jest monomorfizmem, gdy spełnia następującą właściwość: dla dowolnej pary strzał (a więc także dla wszystkiego ), jeśli , to . $f: A \ rightarrow \; b$ $g, h$ $E \ rightarrow \; W$ $mi$ $f \ circ g = f \ circ h$ $g = godz$

Mówi się, że strzała jest epimorfizmem, gdy spełnia następującą właściwość: dla dowolnej pary strzał (a zatem także dla wszystkiego ), tak , więc . $f: A \ rightarrow \; b$ $g, h$ $B \ rightarrow \; mi$ $mi$ $g \ circ f = h \ circ f$ $g = godz$

Pojęcia monomorfizmu i epimorfizmu są dwojakie: strzała jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest epimorfizmem w podwójnej kategorii.

Mówi się, że strzała jest izomorfizmem, jeśli istnieje strzała taka, że i . Pojęcie to jest samowystarczalne. $f: A \ rightarrow \; b$ $g: B \ rightarrow \; W$ $g \ circ f = I_A$ $f \ circ g = I_B$

Przykłady i kontrprzykłady

W kategorii zbiorów monomorfizmy to iniekcje , epimorfizmy to surjekcje, a izomorfizmy to bijekcje .
Ważny kontrprzykład w teorii kategorii: morfizm może być zarówno monomorfizmem, jak i epimorfizmem, nie będąc izomorfizmem; aby zobaczyć ten kontrprzykład, wystarczy umieścić się w kategorii jednolitych pierścieni przemiennych i wziąć pod uwagę (unikalną) strzałkę : jest to monomorfizm, ponieważ pochodzi z aplikacji iniekcyjnej, epimorfizm przez lokalizację , ale wyraźnie nie jest izomorfizm. $\ mathbb Z \ rightarrow \ mathbb Q$
Taki nieizomorficzny epimorfizm-monomorfizm znajdujemy również w kategorii przestrzeni topologicznych: każdy zastrzyk jest monomorfizmem, każdy surjekcja jest epimorfizmem, izomorfizmy są homeomorfizmami , ale są zarówno iniekcyjne, jak i suriektywne funkcje ciągłe, które nie są homeomorfizmami: np. tożsamość w zestawie wyposażonym w dwie różne topologie, jedną bardziej zgrubną od drugiej.
W isomorphisms w kategorii zamówionych zestawów są rosnące bijections których wzajemny bijection rośnie (ten warunek w sprawie wzajemnego bijekcji jest automatycznie weryfikowane w przypadku całkowicie zamawianych zestawów , ale nie w przypadku ogólnym).

Suma i iloczyn rodziny obiektów w teorii kategorii

Suma rodziny jest dane obiektu z i dla wszystkich z strzałką weryfikującego własność uniwersalną : $(X_i) _ {i \ in I}$ $X$ $\ mathcal C$ $ja$ $\ phi_i: X_i \ rightarrow X$

niezależnie od obiektu oraz strzałki z istnieje pojedyncza strzałka , jak na całym schemacie

Y

f_i: X_i \ rightarrow Y

\ mathcal C

f: X \ rightarrow Y

ja

jest przemienny , to znaczy tak, jest przemienny . $f_i = f \ circ \ phi_i$

Produkt z rodziny jest dane obiektu z i dla wszystkich z strzałką weryfikującego własność uniwersalną : $(X_i) _ {i \ in I}$ $X$ $\ mathcal C$ $ja$ $\ pi_i: X \ rightarrow X_i$

niezależnie od obiektu oraz strzałki z istnieje pojedyncza strzałka , jak na całym schemacie

Y

f_i: Y \ rightarrow X_i

\ mathcal C

f: Y \ rightarrow X

ja

jest przemienny , to znaczy tak, jest przemienny . $f_i = \ pi_i \ circ f$

Jeśli istnieją, sumy i iloczyny są niepowtarzalne, z wyjątkiem izomorfizmów.

Definicje te są permutowane poprzez odwrócenie strzałek na diagramach: suma (odpowiednio iloczyn) w jest iloczynem (odpowiednio sumą) w jej liczbie podwójnej. $\ mathcal C$

Kartezjański kategoria jest kategorią wyposażony w końcowej przedmiotu i produktu binarnym. Zamkniętym kategoria kartezjański jest kartezjański kategoria wyposażony w potęgowania .

Jako podstawa matematyki

William Lawvere jako pierwszy rozważał teorię kategorii jako potencjalną podstawę matematyki. W 1964 roku zaproponował aksjomatyzację teorii mnogości w języku kategorii. W 1966 roku opublikował kategoryczną teorię kategorii, w której można wyrazić wszystkie obiekty matematyczne i wykazać ich właściwości. Pierwsza wersja tej kategorii kategorii powstała w jego rozprawie doktorskiej z 1963 roku.

Dlatego teoria kategorii została zaproponowana jako podstawa matematyki w co najmniej dwóch różnych znaczeniach. W pierwszym sensie stanowiłoby to alternatywną aksjomatyzację dla pojęcia zbiorów. W porównaniu z aksjomatyzacją ZF , sformułowanie to nie stawia na pierwszym planie pojęcia bycia „elementem” (x ∊ X). To raczej pojęcie funkcji, wyrażone przez morfizmy kategorii, jest fundamentalne. Szczególnym przykładem toposów elementarnych okazała się kategoria zbiorów , rodzaj kategorii inspirowanej toposem Grothendiecka .

Drugi rodzaj zdania polega raczej na stwierdzeniu, że wszystkie ważne pojęcia matematyczne można wyrazić w języku kategorii. Podczas gdy pierwszy rodzaj podstawy jest logiczny i proponuje system aksjomatyczny, ten drugi typ jest raczej metodologiczny i oferuje sposób porównywania ze sobą różnych dziedzin matematyki przy użyciu wspólnego języka. Te dwa twierdzenia niekoniecznie są ze sobą sprzeczne, a kwestia podstaw matematyki może mieć kilka znaczeń.

Jednak wszystkie te twierdzenia o fundacjach odwołujących się do kategorii mają jedną wspólną cechę. Są częścią strukturalistycznej perspektywy matematyki. Wyrażenie to rozumie się jako oznaczające, że ważnymi właściwościami obiektów matematycznych są relacje, które istnieją między nimi, a nie właściwości właściwe dla samych obiektów. Dla strukturalistów obiekt matematyczny jest zatem całkowicie zdefiniowany przez miejsce, jakie zajmuje w strukturze matematycznej . Na przykład fakt, że liczba 3 jest zapisana symbolem „3”, nie jest własnością strukturalną, ale fakt, że jest między 2 a 4 w kolejności liczb naturalnych, jest taką własnością. Teoria kategorii jest szczególnie adekwatna do wyrażenia takiego fundamentu, ponieważ obiekty kategorii są definiowane tylko w ramach izomorfizmu. Oznacza to, że w ramach kategorii nie można rozróżnić dwóch izomorficznych obiektów, które mają zatem taką samą strukturę. Język kategorii wyraża zatem tylko właściwości strukturalne tych obiektów.

Jednak nie wszyscy strukturaliści opowiadają się za teorią kategorii jako podstawą.

Uwagi i odniesienia

(in) OF Rydehear, Burstall, Obliczeniowa teoria kategorii , Prentice Hall,1988, s. Rozdział 3, sekcja 3.1, definicja 2
Zobacz na przykład (w) Roy L. Crole , Kategorie typów , UPC ,1993, 335 str. ( ISBN 978-0-521-45701-9 , czytaj online ) , str. 61. Zwróć uwagę, że Mac Lane nazywa „metakategorią” to, co nazywamy tutaj „kategorią”, że nazywa „kategorię”, co jest powszechnie nazywane „małą kategorią”, a nazwę „małej kategorii” rezerwuje dla pojęcia jeszcze bardziej restrykcyjnego.
(w) Benjamin C. Pierce Podstawowa teoria kategorii dla informatyków: Podstawy serii obliczeniowych , The MIT Press ,1991, s. 5
Michel Zisman, Elementary algebraic topology , Armand Colin, 1972, s. 10 .
(w) William Lawvere, „ Elementarna teoria kategorii zbiorów ” , Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA ,15 grudnia 1964, s. 1506–1511 ( czytaj online )
(w) Tom Leinster , „ Rethinking Set Theory ” , American Mathematical Monthly ,Maj 2014, s. 403-415 ( czytaj online )
(w) William Lawvere, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra ,1966, „Kategoria kategorii jako podstawa matematyki” , s. 1-20
(w) William Lawvere, " Functorial Semantics of Algebraic Theories " , Reprints in Theory and Applications of Categories ,2004, s. 1-121 ( czytaj online )
(w) JL Bell, „ Teoria kategorii i podstawy matematyki ” , The British Journal for the Philosophy of Science, tom. 32, nr 4 ,Grudzień 1981, s. 349-358 ( czytaj online )
(en) Colin McLarty, „ Exploring categorical strukturism ” , Philosophia Mathematica (3) 12 ,2004, s. 37-53
(en) Jean-Pierre Marquis, „ Teoria kategorii i podstawy matematyki: wykopaliska filozoficzne ” , Synthesis (103) ,1995, s. 421-447
(w) Stewart Shapiro, „ Podstawy matematyki: metafizyka, epistemologia, struktura ” , Kwartalnik filozoficzny (1950-), t. 54, Nr 214 ,styczeń 2004, s. 16-37 ( czytaj online )
(w) Colin McLarty, „ Liczby mogą być po prostu takie, jakie mają ” , Nous, t. 27 nr 4 ,Grudzień 1993, s. 487-498 ( czytaj online )
(w) Julian Cole, „ Strukturalizm matematyczny dzisiaj ” , Philosophy Compass 5/8 ,2010, s. 689–699
(w) Steve Awodey, " Struktura w matematyce i logice: perspektywa kategorialna " , Philosophia Mathematica (3) 4 ,1996, s. 209-237
(w) Michael Resnick, Matematyka jako nauka o wzorach , Oxford University Press ,1997
(w) Stewart Shapiro, Filozofia matematyki: struktura i ontologia , Oxford University Press ,1997

Zobacz też

Bibliografia

Praca podstawowa: (en) Saunders Mac Lane , Kategorie dla pracującego matematyka [ szczegóły wydania ]

Książki specjalistyczne i monografie

Po francusku :

Boileau, A. & Joyal, A., 1981, „La Logique des topos”, Journal of Symbolic Logic, 46 (1): 6–16.
Dieudonné, J. & Grothendieck, A., 1960 [1971], Elements of Algebraic Geometry, Berlin: Springer-Verlag.
Grothendieck, A., 1957, „O niektórych punktach algebry homologicznej”, Tohoku Mathematics Journal, 9: 119–221.
Grothendieck, A. i in., Algebraic Geometry Seminar, Vol. 1-7, Berlin: Springer-Verlag.

Po angielsku :

Adamek, J. i in., 1990, Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats, New York: Wiley.
Adamek, J. et al., 1994, Locally Presentable and Accessible Categories, Cambridge: Cambridge University Press.
Arzi-Gonczaworski, Z., 1999, „Perceive This as That - Analogies, Artificial Perception, and Category Theory”, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1): 215–252.
Awodey, S., 1996, „Structure in Mathematics and Logic: A Categorical Perspective”, Philosophia Mathematica, 3: 209–237.
Awodey, S., 2004, „An Answer to Hellman's Question: Czy teoria kategorii zapewnia ramy dla strukturalizmu matematycznego”, Philosophia Mathematica, 12: 54–64.
Awodey, S., 2006, Teoria kategorii, Oxford: Clarendon Press.
Awodey, S., 2007, „Relating First-Order Set Theories and Elementary Toposes”, The Bulletin of Symbolic, 13 (3): 340–358.
Awodey, S., 2008, „A Brief Introduction to Algebraic Set Theory”, The Bulletin of Symbolic, 14 (3): 281–298.
Awodey, S. & Butz, C., 2000, „Topological Completeness for Higher Order Logic”, Journal of Symbolic Logic, 65 (3): 1168–1182.
Awodey, S. & Reck, E. R., 2002, „Completeness and Categoricity I. Nineteen-Century Axiomatics to Twentieth-Century Metalogic”, History and Philosophy of Logic, 23 (1): 1–30.
Awodey, S. & Reck, E. R., 2002, „Completeness and Categoricity II. XX-wieczna metalogika do semantyki XXI wieku ”, History and Philosophy of Logic, 23 (2): 77–94.
Awodey, S. & Warren, M., 2009, „Homotopy theoretic Models of Identity Types”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 146 (1): 45–55.
Baez J., 1997, „Wprowadzenie do n-kategorii”, Teoria kategorii i informatyka, Notatki do wykładów z informatyki (tom 1290), Berlin: Springer-Verlag, 1–33.
Baez, J. & Dolan, J., 1998a, „Higher-Dimensional Algebra III. n-Categories and the Algebra of Opetopes ”, Advances in Mathematics, 135: 145–206.
Baez, J. & Dolan, J., 1998b, „Categorification”, Higher Category Theory (Contemporary Mathematics, Tom 230), Ezra Getzler (de) i Michaił Kapranow (red.), Providence: AMS, 1–36.
Baez, J. & Dolan, J., 2001, „From Finite Sets to Feynman Diagrams”, Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond, Berlin: Springer, 29–50.
Baianu, IC, 1987, „Modele komputerowe i teoria automatów w biologii i medycynie”, w: Witten, Matthew, Eds. Modelowanie matematyczne, tom. 7, 1986, rozdział 11, Pergamon Press, Ltd., 1513–1577.
Barr, M. & Wells, C., 1985, Toposes, Triples and Theories, New York: Springer-Verlag.
Barr, M. & Wells, C., 1999, Teoria kategorii dla informatyki, Montreal: CRM.
Batanin, M., 1998, „Monoidal Globular Categories as a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories”, Advances in Mathematics, 136: 39–103.
Bell, J. L., 1981, „Category Theory and the Foundations of Mathematics”, British Journal for the Philosophy of Science, 32: 349–358.
Bell, J. L., 1982, „Categories, Toposes and Sets”, Synthese, 51 (3): 293–337.
Bell, J. L., 1986, „From Absolute to Local Mathematics”, Synthese, 69 (3): 409–426.
Bell, J. L., 1988, „Infinitesimals”, Synthese, 75 (3): 285–315.
Bell, J. L., 1988, Toposes and Local Set Theories: An Introduction, Oxford: Oxford University Press.
Bell, J. L., 1995, „Infinitesimals and the Continuum”, Mathematical Intelligencer, 17 (2): 55–57.
Bell, J. L., 1998, A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge: Cambridge University Press.
Bell, J. L., 2001, „The Continuum in Smooth Infinitesimal Analysis”, Reuniting the Antipodes - Constructive and Nonstandard Views on the Continuum (Biblioteka Synthese, tom 306), Dordrecht: Kluwer, 19–24.
Birkoff, G. & Mac Lane, S., 1999, Algebra, 3. wydanie, Providence: AMS.
Blass, A., 1984, „Interakcja między teorią kategorii a teorią mnogości”, w: Matematyczne zastosowania teorii kategorii (tom 30), Providence: AMS, 5–29.
Blass, A. & Scedrov, A., 1983, „Classifying Topoi and Finite Forcing”, Journal of Pure and Applied Algebra , 28: 111–140.
Blass, A. & Scedrov, A., 1989, Freyd's Model for the Independence of the Axiom of Choice, Providence: AMS.
Blass, A. & Scedrov, A., 1992, „Complete Topoi Representing Models of Set Theory”, Annals of Pure and Applied Logic, 57 (1): 1–26.
Blute, R. & Scott, P., 2004, „Category Theory for Linear Logician”, w Linear Logic in Computer Science, T. Ehrhard, P. Ruet, JY. Girard, P. Scott, red., Cambridge: Cambridge University Press, 1–52.
Borceux, F., 1994, Handbook of Categorical Algebra, 3 tomy, Cambridge: Cambridge University Press.
Bunge, M., 1974, „Topos Theory and Souslin's Hypothesis”, Journal of Pure and Applied Algebra, 4: 159–187.
Bunge, M., 1984, „Toposy w logice i logika w topozach”, Topoi, 3 (1): 13–22.
Carter, J., 2008, „Kategorie dla matematyka pracującego: czynić niemożliwym możliwym”, Synthese, 162 (1): 1–13.
Cheng, E. & Lauda, A., 2004, Higher-Dimensional Categories: ilustrowany przewodnik, dostępny pod adresem : http://cheng.staff.shef.ac.uk/guidebook/index.html
Cockett, J. R. B. & Seely, R. A. G., 2001, „Finite Sum-product Logic”, Theory and Applications of Categories (electronic), 8: 63–99.
Couture, J. & Lambek, J., 1991, „Philosophical Reflections on the Foundations of Mathematics”, Erkenntnis, 34 (2): 187–209.
Couture, J. & Lambek, J., 1992, „Erratum:” Philosophical Reflections on the Foundations of Mathematics ””, Erkenntnis, 36 (1): 134.
Crole, R. L., 1994, Kategorie typów, Cambridge: Cambridge University Press.
Ehresmann, A. & Vanbremeersch, J.-P., 2007, Memory Evolutive Systems: Hierarchy, Emergence, Cognition, Amsterdam: Elsevier
Ehresmann, A. C. & Vanbremeersch, JP., 1987, „Hierarchical Evolutive Systems: a Mathematical Model for Complex Systems”, * Bulletin of Mathematical Biology, 49 (1): 13–50.
Eilenberg, S. & Cartan, H., 1956, Homological Algebra, Princeton: Princeton University Press.
Eilenberg, S. & Mac Lane, S., 1942, „Group Extensions and Homology”, Annals of Mathematics, 43: 757–831.
Eilenberg, S. & Mac Lane, S., 1945, „General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: 231–294.
Eilenberg, S. & Steenrod, N., 1952, Foundations of Algebraic Topology, Princeton: Princeton University Press.
Ellerman, D., 1988, „Category Theory and Concrete Universals”, Erkenntnis, 28: 409–429.
Feferman, S., 1977, „Categorical Foundations and Foundations of Category Theory”, Logic, Foundations of Mathematics and Computability, R. Butts (red.), Reidel, 149–169.
Feferman, S., 2004, „Typowa dwuznaczność: próbować mieć ciastko i je zjeść”, Sto lat Russell's Paradox, G. Link (red.), Berlin: De Gruyter, 135–151.
Freyd, P., 1964, Kategorie abelowe. Wprowadzenie do teorii funktorów, Nowy Jork: Harper & Row.
Freyd, P., 1965, „Teorie funktorów i modeli”. Teorie modeli, Amsterdam: Holandia Północna , 107–120.
Freyd, P., 1972, „Aspects of Topoi”, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 7: 1–76.
Freyd, P., 1980, „The Axiom of Choice”, Journal of Pure and Applied Algebra, 19: 103–125.
Freyd, P., 1987, „Choice and Well-Ordering”, Annals of Pure and Applied Logic, 35 (2): 149–166.
Freyd, P., 1990, Kategorie, Alegorie, Amsterdam: Holandia Północna.
Freyd, P., 2002, „Cartesian Logic”, Theoretical Computer Science, 278 (1–2): 3–21.
Freyd, P., Friedman, H. & Scedrov, A., 1987, „Lindembaum Algebras of Intuitionistic Theories and Free Categories”, Annals of Pure and Applied Logic, 35 (2): 167–172.
Galli, A. & Reyes, G. & Sagastume, M., 2000, „Completeness Theorems via the Double Dual Functor”, Studia Logical, 64 (1): 61–81.
Ghilardi, S., 1989, „Presheaf Semantics and Independence Results for some Non-classical first-order logics”, Archive for Mathematical Logic, 29 (2): 125–136.
Ghilardi, S. & Zawadowski, M., 2002, Sheaves, Games & Model Completions: A Categorical Approach to Nonclassical Propositional Logics, Dordrecht: Kluwer.
Goldblatt, R., 1979, Topoi: The Categorical Analysis of Logic, Studies in logic and the foundations of mathematics, Amsterdam: Elsevier.
Hatcher, W. S., 1982, The Logical Foundations of Mathematics, Oxford: Pergamon Press.
Healy, M. J., 2000, „Category Theory Applied to Neural Modeling and Graphical Representations”, Proceedings of the IEEE-INNS-ENNS International Joint Conference on Neural Networks: IJCNN200, Como, vol. 3, M. Gori, SI. Amari, C. L. Giles, V. Piuri, red., IEEE Computer Science Press, 35–40.
Healy, M. J. i Caudell, T. P., 2006, „Ontologies and Worlds in Category Theory: Implications for Neural Systems”, Axiomathes, 16 (1–2): 165–214.
Hellman, G., 2003, „Czy teoria kategorii dostarcza ram dla strukturalizmu matematycznego?”, Philosophia Mathematica, 11 (2): 129–157.
Hellman, G., 2006, „Mathematical Plurism: the case of smooth infinitesimal analysis”, Journal of Philosophical Logic, 35 (6): 621–651.
Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2000, „On Weak Higher-Dimensions Categories I”, Journal of Pure and Applied Algebra, 154 (1–3): 221–246.
Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2001, „On Weak Higher-Dimensions Categories 2”, Journal of Pure and Applied Algebra, 157 (2–3): 247–277.
Hermida, C. & Makkai, M. & Power, J., 2002, „On Weak Higher-Dimensions Categories 3”, Journal of Pure and Applied Algebra, 166 (1–2): 83–104.
Hyland, J. M. E. & Robinson, E. P. i Rosolini, G., 1990, „The Discrete Objects in the Effective Topos”, Proceedings of the London Mathematical Society (3), 60 (1): 1–36.
Hyland, J. M. E., 1982, „The Effective Topos”, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (tom 110), Amsterdam: North Holland, 165–216.
Hyland, J. M. E., 1988, „A Small Complete Category”, Annals of Pure and Applied Logic, 40 (2): 135–165.
Hyland, J. M. E., 1991, „First Steps in Synthetic Domain Theory”, Category Theory (Como 1990) (Lecture Notes in Mathematics, Tom 1488), Berlin: Springer, 131–156.
Hyland, J. M. E., 2002, „Proof Theory in the Abstract”, Annals of Pure and Applied Logic, 114 (1–3): 43–78.
Jacobs, B., 1999, Logika kategorialna i teoria typów, Amsterdam: Holandia Północna.
Johnstone, P. T., 1977, Topos Theory, New York: Academic Press.
Johnstone, P. T., 1979a, „Conditions Related to De Morgan's Law”, Applications of Sheaves (Lecture Notes in Mathematics, Tom 753), Berlin: Springer, 479–491.
Johnstone, P. T., 1979b, „Another Condition Equivalent to De Morgan's Law”, Communications in Algebra, 7 (12): 1309–1312.
Johnstone, P. T., 1981, „Tychonoff's Theorem without the Axiom of Choice”, Fundamenta Mathematicae, 113 (1): 21–35.
Johnstone, P. T., 1982, Stone Spaces, Cambridge: Cambridge University Press.
Johnstone, P. T., 1985, „How General is a Generalized Space?”, Aspects of Topology, Cambridge: Cambridge University Press, 77–111.
Johnstone, P. T., 2001, „Elements of the History of Locale Theory”, Handbook of the History of General Topology, t. 3, * Dordrecht: Kluwer, 835–851.
Johnstone, P. T., 2002a, Szkice słonia: kompendium teorii toposu. Lot. 1 (Oxford Logic Guides, tom 43), Oxford: Oxford University Press.
Joyal, A. & Moerdijk, I., 1995, Algebraic Set Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
Kan, D. M., 1958, „Assistant Functors”, Transactions of the American Mathematical Society, 87: 294–329.
Kock, A., 2006, Synthetic Differential Geometry (London Mathematical Society Lecture Note Series, tom 51), Cambridge: Cambridge University Press, 2 d ed.
Krömer, R., 2007, Tool and Objects: A History and Philosophy of Category Theory, Bazylea: Birkhäuser.
La Palme Reyes, M., John Macnamara, Gonzalo E. Reyes i Houman Zolfaghari, 1994, „The non-Boolean Logic of Natural Language Negation”, Philosophia Mathematica, 2 (1): 45–68.
La Palme Reyes, M., John Macnamara, Gonzalo E. Reyes i Houman Zolfaghari, 1999, „Count Nouns, Mass Nouns, and their Transformations: a Unified Category-theoretic Semantics”, Language, Logic and Concepts, Cambridge: MIT Press 427–452.
Lambek, J., 1968, „Deductive Systems and Categories I. Syntactic Calculus and Residuated Categories”, Mathematical Systems Theory, 2: 287–318.
Lambek, J., 1969, „Systemy dedukcyjne i kategorie II. Konstrukcje standardowe i kategorie zamknięte ”, Teoria kategorii, Teoria homologii i ich zastosowania, I, Berlin: Springer, 76–122.
Lambek, J., 1972, „Systemy dedukcyjne i kategorie III. Kartezjańskie kategorie zamknięte, intuicja - rachunek zdań i logika kombinacyjna ”, toposy, geometria algebraiczna i logika (Notatki do wykładów z matematyki, tom 274), Berlin: Springer, 57–82.
Lambek, J., 1982, „The Influence of Heraclitus on Modern Mathematics”, Scientific Philosophy Today, J. Agassi i RS Cohen, red., Dordrecht, Reidel, 111–122.
Lambek, J., 1986, „Kartezjańskie kategorie zamknięte i typowane rachunki lambda”, Kombinatory i języki programowania funkcjonalnego (notatki z wykładów z informatyki, tom 242), Berlin: Springer, str. 136–175.
Lambek, J., 1989a, „On Some Connections Between Logic and Category Theory”, Studia Logica, 48 (3): 269–278.
Lambek, J., 1989b, „On the snop of Possible Worlds”, Topologia kategoryczna i jej związek z analizą, algebra i kombinatoryka, Teaneck: World Scientific Publishing, 36–53.
Lambek, J., 1993, „Logic without Structural Rules”, Substructural Logics (Studies in Logic and Computation, tom 2), Oxford: Oxford University Press, 179–206.
Lambek, J., 1994a, „Some Aspects of Categorical Logic”, Logic, Methodology and Philosophy of Science IX (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, tom 134), Amsterdam: North Holland, 69–89.
Lambek, J., 1994b, „Are the Traditional Philosophies of Mathematics Really Incompatible?”, Mathematical Intelligencer, 16 (1): 56–62.
Lambek, J., 1994c, „Co to jest system dedukcyjny?”, Co to jest system logiczny? (Studies in Logic and Computation, tom 4), Oxford: Oxford University Press, 141–159.
Lambek, J., 2004, „Jaki jest świat matematyki? Provinces of Logic Determined ”, Annals of Pure and Applied Logic, 126: 1–3, 149–158.
Lambek, J. & Scott, PJ, 1981, „Intuitionistic Type Theory and Foundations”, Journal of Philosophical Logic, 10 (1): 101–115.
Lambek, J. & Scott, PJ, 1983, „New Proofs of Some Intuitionistic Principles”, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 29 (6): 493–504.
Lambek, J. & Scott, PJ, 1986, Wprowadzenie do logiki kategorialnej wyższego rzędu, Cambridge: Cambridge University Press.
Landry, E., 1999, „Teoria kategorii: język matematyki”, Filozofia nauki, 66 (3) (suplement): S14 - S27.
Landry, E., 2001, „Logicism, Structuralism and Objectivity”, Topoi, 20 (1): 79–95.
Landry, E., 2007, „Shared Structure not must be Shared Set-structure”, Synthese, 158 (1): 1–17.
Landry, E. & Marquis, J.-P., 2005, „Kategorie w kontekście: historyczne, fundamentalne i filozoficzne”, Philosophia Mathematica, 13: 1–43.
Lawvere, F. W., 1963, „Functorial Semantics of Algebraic Theories”, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 50: 869–872.
Lawvere, F. W., 1964, „An Elementary Theory of the Category of Sets”, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 52: 1506–1511.
Lawvere, F. W., 1965, „Teorie algebraiczne, kategorie algebraiczne i funktory algebraiczne”, Teoria modeli, Amsterdam: Holandia Północna, 413–418.
Lawvere, F. W., 1966, „The Category of Categories as a Foundation for Mathematics”, Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla, New York: Springer-Verlag, 1–21.
Lawvere, F. W., 1969a, „Diagonal Arguments and Cartesian Closed Categories”, Category Theory, Homology Theory and their Applications II, Berlin: Springer, 134–145.
Lawvere, F. W., 1969b, „Adjointness in Foundations”, Dialectica, 23: 281–295.
Lawvere, F. W., 1970, „Równość w doktrynach hiper i schemacie rozumienia jako funktor adjoint”, Zastosowania algebry kategorialnej, Opatrzność: AMS, 1–14.
Lawvere, F. W., 1971, „Quantifiers and Sheaves”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom 1, Paryż: Gauthier-Villars, 329–334.
Lawvere, F. W., 1972, „Introduction”, Toposes, Algebraic Geometry and Logic, Lecture Notes in Mathematics, 274, Springer-Verlag, 1–12.
Lawvere, F. W., 1975, „Continuously Variable Sets: Algebraic Geometry = Geometric Logic”, Proceedings of the Logic Colloquium Bristol 1973, Amsterdam: North Holland, 135–153.
Lawvere, F. W., 1976, „Variable Quantities and Variable Structures in Topoi”, Algebra, Topology, and Category Theory, New York: Academic Press, 101–131.
Lawvere, F. W., 1992, „Kategorie przestrzeni i ilości”, Przestrzeń matematyki, Podstawy komunikacji i poznania, Berlin: De Gruyter, 14–30.
Lawvere, F. W., 1994a, „Cohesive Toposes and Cantor's lauter Ensein”, Philosophia Mathematica, 2 (1): 5–15.
Lawvere, F. W., 1994b, „Tools for the Advancement of Objective Logic: Closed Categories and Toposes”, The Logical Foundations of Cognition (Vancouver Studies in Cognitive Science, tom 4), Oxford: Oxford University Press, 43–56.
Lawvere, F. W., 2000, „Komentarze na temat rozwoju teorii toposu”, Rozwój matematyki 1950–2000, Bazylea: Birkhäuser, 715–734.
Lawvere, F. W., 2002, „Categorical Algebra for Continuum Micro Physics”, Journal of Pure and Applied Algebra, 175 (1–3): 267–287.
Lawvere, F. W., 2003, „Podstawy i zastosowania: aksjomatyzacja i edukacja. Nowe programy i otwarte problemy w podstawach matematyki ”, Bulletin of Symbolic Logic, 9 (2): 213–224.
Lawvere, F. W. & Rosebrugh, R., 2003, Sets for Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Lawvere, F. W. & Schanuel, S., 1997, Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge: Cambridge University Press.
Leinster, T., 2002, „Przegląd definicji n-kategorii”, Teoria i zastosowania kategorii, (elektroniczny), 10: 1–70.
Lurie, J., 2009, Teoria wyższego toposu, Princeton: Princeton University Press.
Mac Lane, S., 1950, „Dualities for Groups”, Bulletin of the American Mathematical Society, 56: 485–516.
Mac Lane, S., 1969, „Podstawy kategorii i zbiorów”, Teoria kategorii, Teoria homologii i ich zastosowania II, Berlin: Springer, 146–164.
Mac Lane, S., 1969, „One Universe as a Foundation for Category Theory”, Reports of the Midwest Category Seminar III, Berlin: Springer, 192–200.
Mac Lane, S., 1971, „Algebra kategorialna i podstawy teorii mnogości”, Aksjomatyczna teoria mnogości, Providence: AMS, 231–240.
Mac Lane, S., 1975, „Zbiory, toposy i logika wewnętrzna w kategoriach”, Studia z logiki i podstaw matematyki (tomy 80), Amsterdam: Holandia Północna, 119–134.
Mac Lane, S., 1981, „Mathematical Models: a Sketch for the Philosophy of Mathematics”, American Mathematical Monthly, 88 (7): 462–472.
Mac Lane, S., 1986, Mathematics, Form and Function, New York: Springer.
Mac Lane, S., 1988, „Concepts and Categories in Perspective”, A Century of Mathematics in America, część I, Providence: AMS, 323–365.
Mac Lane, S., 1989, „The Development of Mathematical Ideas by Collision: the Case of Categories and Topos Theory”, Categorical Topology and its Relation to Analysis, Algebra and Combinatorics, Teaneck: World Scientific, 1–9.
Mac Lane, S., 1996, „Structure in Mathematics. Strukturalizm matematyczny ”, Philosophia Mathematica, 4 (2): 174–183.
Mac Lane, S., 1997, „Categorical Foundations of the Protean Character of Mathematics”, Philosophy of Mathematics Today, Dordrecht: Kluwer, 117–122.
Mac Lane, S., 1998, Categories for the Working Mathematician, 2nd edition, New York: Springer-Verlag.
Mac Lane, S. & Moerdijk, I., 1992, Sheaves in Geometry and Logic, New York: Springer-Verlag.
MacNamara, J. & Reyes, G., (red.), 1994, The Logical Foundation of Cognition, Oxford: Oxford University Press.
Makkai, M., 1987, „Stone Duality for First-Order Logic”, Advances in Mathematics, 65 (2): 97–170.
Makkai, M., 1988, „Strong Conceptual Completeness for First Order Logic”, Annals of Pure and Applied Logic, 40: 167–215.
Makkai, M., 1997a, „Generalized Sketches as a Framework for Completeness Theorems I”, Journal of Pure and Applied Algebra, 115 (1): 49–79.
Makkai, M., 1997b, „Generalized Sketches as a Framework for Completeness Theorems II”, Journal of Pure and Applied Algebra, 115 (2): 179–212.
Makkai, M., 1997c, „Generalized Sketches as a Framework for Completeness Theorems III”, Journal of Pure and Applied Algebra, 115 (3): 241–274.
Makkai, M., 1998, „Towards a Categorical Foundation of Mathematics”, Lecture Notes in Logic (tom 11), Berlin: Springer, 153–190.
Makkai, M., 1999, „On Structuralism in Mathematics”, Language, Logic and Concepts, Cambridge: MIT Press, 43–66.
Makkai, M. & Paré, R., 1989, Dostępne kategorie: podstawy teorii modeli kategorialnych, Współczesna matematyka 104, Opatrzność: AMS.
Makkai, M. & Reyes, G., 1977, Logika kategoryczna pierwszego rzędu, Springer Lecture Notes in Mathematics 611, New York: Springer.
Makkei, M. & Reyes, G., 1995, „Completeness Results for Intuitionistic and Modal Logic in a Categorical Setting”, Annals of Pure and Applied Logic, 72 (1): 25–101.
Marquis, J.-P., 1993, „Russell's Logicism and Categorical Logicism”, Russell and Analytic Philosophy, AD Irvine & GA Wedekind, (red.), Toronto, University of Toronto Press, 293–324.
Marquis, J.-P., 1995, „Category Theory and the Foundations of Mathematics: Philosophical Excavations”, Synthese, 103: 421–447.
Marquis, J.-P., 2000, „Three Kinds of Universals in Mathematics?”, In Logical Consequence: Rival Approaches and New Studies in Exact Philosophy: Logic, Mathematics and Science, tom. II, B. Brown & J. Woods (red.), Oxford: Hermes, 191–212.
Marquis, J.-P., 2006, „Kategorie, zbiory i natura bytów matematycznych”, w: The Age of Alternative Logics. Oceniając dzisiejszą filozofię logiki i matematyki, J. van Benthem, G. Heinzmann, Ph. Nabonnand, M. Rebuschi, H. Visser (red.), Springer, 181–192.
Marquis, J.-P., 2009, Z geometrycznego punktu widzenia: studium historii i filozofii teorii kategorii, Berlin: Springer.
Marquis, J.-P. & Reyes, G., ukaże się, „The History of Categorical Logic: 1963–1977”, Handbook of the History of Logic, t. 6, D. Gabbay & J. Woods, red., Amsterdam: Elsevier.
McLarty, C., 1986, „Left Exact Logic”, Journal of Pure and Applied Algebra, 41 (1): 63–66.
McLarty, C., 1990, „Uses and Abuses of the History of Topos Theory”, British Journal for the Philosophy of Science, 41: 351–375.
McLarty, C., 1991, „Axiomatizing a Category of Categories”, Journal of Symbolic Logic, 56 (4): 1243–1260.
McLarty, C., 1992, Podstawowe kategorie, Podstawowe toposy, Oxford: Oxford University Press.
McLarty, C., 1993, „Liczby mogą być po prostu tym, co muszą”, Noûs, 27: 487–498.
McLarty, C., 1994, „Teoria kategorii w czasie rzeczywistym”, Philosophia Mathematica, 2 (1): 36–44.
McLarty, C., 2004, „Exploring Categorical Structuralism”, Philosophia Mathematica, 12: 37–53.
McLarty, C., 2005, „Uczenie się na podstawie pytań o podstawach kategorialnych”, Philosophia Mathematica, 13 (1): 44–60.
McLarty, C., 2006, „Topologia teorii mnogości Emmy Noether: od Dedekind do powstania funktorów”, The Architecture of Modern * * Mathematics, JJ Gray & J. Ferreiros, Oxford: Oxford University Press, 187–208.
Moerdijk, I., 1984, „Heine-Borel not imply the Fan Theorem”, Journal of Symbolic Logic, 49 (2): 514–519.
Moerdijk, I., 1995a, „A Model for Intuitionistic Non-standard Arithmetic”, Annals of Pure and Applied Logic, 73 (1): 37–51.
Moerdijk, I., 1998, „Sets, Topoi and Intuitionism”, Philosophia Mathematica, 6 (2): 169–177.
Moerdijk, I. & Palmgren, E., 1997, „Minimal Models of Heyting Arithmetic”, Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1448–1460.
Moerdijk, I. & Palmgren, E., 2002, „Teorie typów, topozy i konstruktywna teoria mnogości: predykatywne aspekty AST”, Annals of Pure and Applied Logic, 114 (1–3): 155–201.
Moerdijk, I. & Reyes, G., 1991, Models for Smooth Infinitesimal Analysis, New York: Springer-Verlag.
Pareigis, B., 1970, Categories and Functors, New York: Academic Press.
Pedicchio, M. C. & Tholen, W., 2004, Categorical Foundations, Cambridge: Cambridge University Press.
Peirce, B., 1991, Basic Category Theory for Computer Scientists, Cambridge: MIT Press.
Pitts, A. M. & Taylor, P., 1989, „A Note of Russell's Paradox in Locally Cartesian Closed Categories”, Studia Logica, 48 (3): 377–387.
Pitts, A. M., 1987, „Interpolation and Conceptual Completeness for Pretoposes via Category Theory”, Mathematical Logic and Theoretical Computer Science (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, tom 106), Nowy Jork: Dekker, 301–327.
Pitts, A. M., 1989, „Conceptual Completeness for First-order Intuitionistic Logic: an Application of Categorical Logic”, Annals of Pure and Applied Logic, 41 (1): 33–81.
Pitts, A. M., 1992, „On an Interpretation of Second-order Quantification in First-order Propositional Intuitionistic Logic”, Journal of Symbolic Logic, 57 (1): 33–52.
Pitts, A. M., 2000, „Categorical Logic”, Handbook of Logic in Computer Science, tom 5, Oxford: Oxford University Press, 39–128.
Plotkin, B., 2000, „Algebra, kategorie i bazy danych”, Podręcznik algebry, t. 2, Amsterdam: Elsevier, 79–148.
Porter, T., 2004, „Interpreted Systems and Kripke Models for Multiagent Systems from a Categorical Perspective”, Theoretical Computer Science, 323 (1–3): 235–266.
Reyes, G., 1991, „A Topos-theoretic Approach to Reference and Modality”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 32 (3): 359–391.
Reyes, G. & Zawadowski, M., 1993, „Formal Systems for Modal Operators on Locales”, Studia Logica, 52 (4): 595–613.
Reyes, G. & Zolfaghari, H., 1991, „Topos-theoretic Approaches to Modality”, Category Theory (Como 1990) (Lecture Notes in Mathematics, Tom 1488), Berlin: Springer, 359–378.
Reyes, G. & Zolfaghari, H., 1996, „Bi-Heyting Algebras, Toposes and Modalities”, Journal of Philosophical Logic, 25 (1): 25–43.
Reyes, G., 1974, „From Sheaves to Logic”, w: Studies in Algebraic Logic, A. Daigneault, red., Providence: AMS.
Rodabaugh, S. E. i Klement, E. P., eds., Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets (Trends in Logic, tom 20), Dordrecht: Kluwer.
Scedrov A., 1984, Forcing and Classifying Topoi, Providence: AMS.
Scott, PJ, 2000, „Some Aspects of Categories in Computer Science”, Handbook of Algebra, tom. 2, Amsterdam: Holandia Północna, 3–77.
Seely, R. A. G., 1984, „Locally Cartesian Closed Categories and Type Theory”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Mathematical Society, 95 (1): 33–48.
Shapiro, S., 2005, „Categories, Structures and the Frege-Hilbert Controversy: the Status of Metamathematics”, Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77.
Sica, G., ed., 2006, What is Category Theory?, Firenze: Polimetrica.
Taylor, P., 1996, „Intuitionistic sets and Ordinals”, Journal of Symbolic Logic, 61: 705–744.
Taylor, P., 1999, Practical Foundations of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Tierney, M., 1972, „Sheaf Theory and the Continuum Hypothesis”, Toposes, Algebraic Geometry and Logic, FW Lawvere (red.), Springer Lecture Notes in Mathematics 274, 13–42.
Van Oosten, J., 2002, „Realizability: a Historical Essay”, Mathematical Structures in Computer Science, 12 (3): 239–263.
Van Oosten, J., 2008, Realizability: an Introduction to its Categorical Side (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, tom 152), Amsterdam: Elsevier.
Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984a, „Sheaf Models for Choice Sequences”, Annals of Pure and Applied Logic, 27 (1): 63–107.
Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984b, „On Choice Sequences specified by Spreads”, Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 908–916.
Van der Hoeven, G. & Moerdijk, I., 1984c, „Constructing Choice Sequences for Lawless Sequences of Neighborhood Functions”, Models and Sets (Notatki do wykładów z matematyki, tom 1103), Berlin: Springer, 207–234.
Wood, RJ, 2004, „Ordered Sets via Adjunctions”, Categorical Foundations, MC Pedicchio & W. Tholen, red., Cambridge: Cambridge University Press.
Yanofski, N., 2003, „A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points”, The Bulletin of Symbolic Logic, 9 (3): 362–386.

Linki zewnętrzne

(en) Teoria kategorii , na stronie McGill University (Kanada)
(en) Jiří Adámek, Horst Herrlich i George E. Strecker, Kategorie abstrakcyjne i konkretne. Radość kotów