Kategoria przestrzeni topologicznych
W matematyce , kategoria przestrzeni topologicznych jest konstrukcją, która odpowiada za abstrakcyjnie ogólnych właściwości obserwowane w badaniu przestrzeni topologicznych . Nie jest to jedyna kategoria, której przedmiotem są przestrzenie topologiczne, a jej ogólne właściwości są zbyt słabe; motywuje to do poszukiwania „lepszych” kategorii przestrzeni. To jest przykład kategorii topologicznej.
Definicja
Kategoria przestrzeni topologicznych jest Top kategoria zdefiniowane następująco:
- Obiekty to przestrzenie topologiczne ;
- W morfizmami są ciągłe mapy pomiędzy tymi pomieszczeniami, kompozycja będąc zwykle skład funkcji i tożsamość jest funkcja tożsamości .
Wzbogacenie
Nie jest zapominalski funktor od początku w kategorii zestawów ignorowania topologii :
Ten funktor tworzy dodatkową trójkę
gdzie D nadaje się zestaw rozpatrywanego w dyskretnych topologii i że nadaje się z topologią grubego . Te dwa funktory tworzą pełne osadzenie Set in Top .
Właściwości kategorialne
- Top to konkretna kategoria ;
- Top jest kompletny i całkowicie kompletny (en) ;
- Top nie jest kategorią wstępną;
- Góra nie jest zamkniętą kartezjańską , dlatego nie jest toposem .
Obiekty
- Zbiór pusty jest początkowy obiekt od początku ;
- Singleton jest ostateczna obiekt od początku ;
- Top nie ma obiektu zerowego;
- Top nie ma obiektu wykładniczego ;
Morfizmy
- W monomorfizm z góry są injective ciągłe mapy;
- Ekstremalne monomorfizmy są regularne i odpowiadają osadzeniom ;
- W epimorfizm z góry są suriekcją ciągłe mapy;
- Ekstremalne epimorfizmy są regularne i odpowiadają mapom ilorazowym;
- W isomorphisms z góry są homeomorfizmy ;
- Top nie dopuszcza zerowego morfizmu.
Limity
- Produkt w Top odpowiada iloczynu kartezjańskiego zaopatrzonego w topologii produktu .
- Korektor na początku jest zbiorem korektor wyposażony w indukowanej topologii .
- Współ-korektor w Top jest ustawionym współ-korektorem wyposażonym w ilorazową topologię .
- Granica indukcyjny w Top odpowiada ustawionej granicy obdarzonego końcowego topologii .
- Rzutowe granica w Top odpowiada ustawionej granicy obdarzonego początkowej topologii .
Zobacz też
Uwagi
- Widok (w) „ Wygodna kategoria przestrzeni topologicznych ” na NLAB (w) .
Bibliografia
- (en) Saunders Mac Lane , Categories for the Working Mathematician [ szczegóły wydania ]
- N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ szczegóły wydań ]