Homeomorfizm

W topologii , A homeomorfizm jest zastosowanie bijective ciągły , do topologii powierzchni do drugiej, odwrotna bijection ciągły. W tym przypadku mówi się, że dwie przestrzenie topologiczne są homeomorficzne .

Pojęcie homeomorfizmu jest prawo pomysł, aby powiedzieć, że dwie przestrzenie topologiczne są „takie same” postrzegane inaczej. To jest powód, dlaczego homeomorfizmy są isomorphisms z kategorii przestrzeni topologicznych .

Nieruchomości

Ciągły bijekcja jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest otwarta lub zamknięta (wtedy jest jedno i drugie).
Niech K będzie zwartą przestrzenią topologiczną , E oddzielną przestrzenią topologiczną , a f: K → E ciągłym bijekcją. Wtedy f jest homeomorfizmem. W szczególności E jest zwartą.Rzeczywiście, każde zamknięte F z K jest zwarte; a E rozdziela obraz F o f jest niewielki, a tym bardziej zamknięte E . Dlatego f jest zamkniętym ciągłym bijekcją, tj. Homeomorfizmem w poprzednim punkcie.
Ciągły bijekcja nie zawsze jest homeomorfizmem (zobacz artykuł Porównanie topologii ). Na przykład aplikacja ${\ Displaystyle f: \ lewo [0,2 \ pi \ prawo [\ do S ^ {1}, ~ t \ mapsto (\ cos t, \ sin t)}$ jest ciągłym bijekcją, ale jej odwrotność nie jest ciągła w $(1, 0)$ . W rzeczywistości nie istnieje żaden homeomorfizm pomiędzy koła $S 1$ i części z ℝ (o argumentach więzi lub prosty powiązanie ).

Powiązane definicje

Mapa f : X → Y jest lokalnym homeomorfizmem (in), jeśli każdy punkt X należy do otwartego V tak, że f ( V ) jest otwarte w Y i że f daje, przez ograniczenie , homeomorfizm V na f ( V ). Taka aplikacja jest ciągła i otwarta.

Przykłady

Każde pokrycie jest lokalnym homeomorfizmem.
Dla każdego otwartego X z Y , włączenie X → Y jest lokalnym homeomorfizmem.
Każdy związek X → Z lokalnych homeomorfizmów X → Y i Y → Z jest homeomorfizmem lokalnym.
Każde rozłączne połączenie ∐ i ∈ I X i → Y lokalnych homeomorfizmów X i → Y jest homeomorfizmem lokalnym.
Każdy iloraz X / ~ → Y lokalnego homeomorfizmu X → Y przez zgodną i otwartą relację równoważności ~ jest lokalnym homeomorfizmem. (por. „ rzeczywista prosta z podwójnym punktem ”.)
Każdy lokalny diffeomorfizm między odmianami jest lokalnym homeomorfizmem.

Właściwość topologiczna to własność niezmienna przez homeomorfizmy.

Przykłady

Każdy diffeomorfizm jest homeomorfizmem.
Sfera Riemanna pozbawiona bieguna północnego jest homeomorficzny do płaszczyzny: homeomorfizmem jest tu stereographic projekcja .
Torus o wymiarze 1 , a koło jednostki (lub innego koła o niezerowej odległości) są homeomorficzny.

Odniesienie

Jacques Dixmier , General Topology , Paryż, PUF ,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, 164 str. ( ISBN 2-13-036647-3 , OCLC 417477300 ) , paragrafy 2.5 s. 31 i 4.2.16 s. 55.

Zobacz też

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

Homeomorfizm samolotu na kwadracie : animacja w GeoGebra z ćwiczeniem