Własność lokalna

O pewnej własności matematycznej mówimy , że jest ona lokalnie weryfikowana w punkcie przestrzeni topologicznej, jeśli istnieje podstawowy system sąsiedztw tego punktu, w którym ta własność jest prawdziwa.

O pewnej własności matematycznej mówimy, że jest ona weryfikowana lokalnie, jeśli jest weryfikowana lokalnie w dowolnym punkcie rozważanej przestrzeni topologicznej.

Pojęcie to występuje we wszystkich obszarach matematyki, które używają topologii , zwłaszcza w analizie .

Często wystarczy, że właściwość jest prawdziwa dla sąsiedztwa punktu, aby była prawdziwa lokalnie w tym miejscu, na przykład:

• Mówimy, że funkcja określona na przestrzeni topologicznej przyznaje w punkcie, z pomocą lokalnego maksimum , jeśli istnieje otoczenie od takich, które jest największą wartość na  ; fa:X→R{\ displaystyle \ f: X \ do \ mathbb {R}} X{\ displaystyle \ X} w{\ displaystyle \ a} X{\ displaystyle \ X} V{\ displaystyle \ V} w{\ displaystyle \ a} fa(w){\ displaystyle \ f (a)} fa{\ displaystyle \ f} V{\ displaystyle \ V}
• Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest lokalnie zwarta, jeśli jest oddzielna i jeśli każdy jej punkt ma zwarte sąsiedztwo .

Jednak jest to generalnie błędne, na przykład:

• Nie możemy powiedzieć, że funkcja jest lokalnie nieograniczona w punkcie pod pretekstem, że jest nieograniczona (czyli w sąsiedztwie rozważanego punktu); x↦1x{\ displaystyle \ x \ mapsto {\ frac {1} {x}}} x=1{\ displaystyle \ x = 1} ]0,2[{\ displaystyle \] 0,2 [}
• Istnieją połączone przestrzenie, które nie są lokalnie połączone w punkcie, można na przykład przyjąć przyczepność wykresu , w i punktu . Jednak cała przestrzeń jest połączonym sąsiedztwem tego punktu. x↦grzech⁡1x,x>0{\ Displaystyle \ x \ mapsto \ sin {\ Frac {1} {x}}, x> 0} R2{\ displaystyle \ \ mathbb {R} ^ {2}} (0,1){\ Displaystyle \ (0,1)}

To wyrażenie jest również zaangażowane w teorię grup  : mówi się, że grupa lokalnie weryfikuje właściwość, jeśli wszystkie jej podgrupy kończą sprawdzanie. Na przykład grupa jest lokalnie nilpotentna  (en), jeśli wszystkie jej ostatecznie wygenerowane podgrupy są nilpotentne  ; jest lokalnie skończona  (in), jeśli wszystkie jej skończenie generowane podgrupy są skończone .

Zobacz też

• Lokalnie kompaktowa przestrzeń
• Przestrzeń lokalnie powiązana
• Przestrzeń lokalnie połączona łukami
• Lokalnie wydzielona przestrzeń
• Lokalny homeomorfizm , diffeomorfizm
• Lokalnie ograniczona rodzina części
• Lokalnie skończony pomiar