Dyfeomorfizm

W matematyce , A dyfeomorfizmu jest Izomorfizm w zwykły kategorii rozdzielaczy różniczkowych  : jest różniczkowalną bijection od jednego rozdzielacza do drugiej, których wzajemny bijection jest różniczkowalną.

Dyfeomorfizm między otworami ℝ n

Są:

Mówimy, że f jest dyfeomorfizmem, jeśli są prawdziwe trzy następujące właściwości:

  1. f jest bijektywna  ;
  2. f jest różniczkowalna na U  ;
  3. jego odwrotność jest różniczkowalna na V .

Jeśli istnieje takie f (gdzie U i V nie są puste), to E i F są izomorficzne , a więc mają ten sam wymiar .

Można zauważyć, że założenia są nieco zbędne. W istocie, zgodnie z twierdzeniem niezmienności domeny jeżeli U jest niepusty otworzeniu ℝ n i F  : U → ℝ m w ciągłej iniekcji , a w przypadku m ≤ n , a m = n , C ( U ) jest otwarty, a f jest homeomorfizmem między U a f ( U ).

Dla 1 ≤ k ≤ ∞, C k -dyfeomorfizm jest funkcją klasy C k , bijektywną, i której przeciwieństwo jest również klasy C k .

Dyfeomorfizm między odmianami

Jak między otworami ℝ n ,

Lokalny diffeomorfizm

Definicja

Lokalny dyfeomorfizmu  (PL) jest mapą f  : M → N od jednego rozdzielacza do siebie tak, że dla każdego punktu m o M istnieje otwarte otoczenie U o m w M , tak że F ( u ) jest otwarty w N , a ograniczenie f , z U na f ( U ), jest dyfeomorfizmem.

Charakteryzacja

Jeśli f  : M → N jest lokalnym dyfeomorfizmu następnie, dla każdego punktu m o M , na liniową mapę , T m f  : T m M → T f ( m ) N- (różnicowy F w punkcie m ) stanowi Izomorfizm (implikuje że M i N mają ten sam wymiar i ilości, w lokalnych współrzędnych do stwierdzenia, że jakobian o f w m jest różna od zera, a kolejny, że części liniowej afinicznych przybliżeń różnych składników f są liniowo niezależne ). Zgodnie z twierdzeniem o lokalnej inwersji , odwrotność jest prawdziwa, gdy tylko f należy do klasy C 1 .

Przejście od lokalnego do globalnego

Lokalny diffeomorfizm jest (globalnym) dyfeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijektywny. W przypadku funkcji numerycznych między przedziałami , twierdzenie o bijekcji zapewnia, że ​​każdy lokalny C k -diffeomorfizm z jednego rzeczywistego przedziału do drugiego jest (globalnym) C k -dyfeomorfizmem. Ten elementarny wynik uogólnia się na wyższe wymiary i rozmaitości w następującej postaci:

Twierdzenie  -  Jeśli rozmaitość M jest połączona i jeśli rozmaitość N jest połączona i po prostu połączona , to każdy właściwy lokalny dyfeomorfizm f  : M → N jest dyfeomorfizmem.

Rzeczywiście, każdy lokalny dyfeomorfizm jest otwartą mapą i każda ciągła i właściwa mapa jednej rozmaitości w drugą jest zamknięta . Dzięki połączeniu N , te dwie właściwości zapewniają, że f jest powłoką . Przez prostą łączność N , to pokrycie można trywializować, a zatem przez łączność M , f jest dyfeomorfizmem.

Hipoteza prostej łączności jest kluczowa. Na przykład mapa z ↦ z 2 , samego C *, jest lokalnym C ∞ -dyfeomorfizmem (jego jakobian w z jest równe 4 | z | 2, więc nigdy nie jest zerem), ale nie jest iniekcyjny (to jest 2- Powłoka).

Szczególny przypadek K = N = ℝ n i uogólnienie do przestrzeni Banacha są znane pod nazwą z Hadamarda - Lévy twierdzenia .

Przykłady

Grupa dyfeomorfizmów

Grupa dyfeomorfizmu z różnych M klasa C k jest grupa C k -difféomorphismes z M w M . Oznaczamy to Diff k ( M ) lub Diff ( M ), gdy k jest niejawne. Jest „duży” w tym sensie, że nie jest lokalnie zwarty (z wyjątkiem przypadku, gdy M ma wymiar 0).

Topologie

Grupa dyfeomorfizmów ma dwie naturalne topologie , „słabą” i „silną”.

Słaba topologia na grupie Dyfeomorfizm jest „  zwarty otwarty Topologia  ” w sensie zbieżności na wymieniony zagęszczony funkcji i jego pochodne, aż do rzędu k . Jest metryzowalny (o Ď-zwartości w M ).

Grupa dyfeomorfizmów, obdarzona słabą topologią, jest lokalnie homeomorficzna w przestrzeni pól wektorowych klasy C k , poprzez mapy wykładnicze dla dowolnych lokalnych metryk riemannowskich . Jeśli k jest skończone, a M zwarte, to ta przestrzeń pól wektorowych jest Banacha, a grupa dyfeomorfizmów to rozmaitość Banacha . Jeśli k  = ∞ lub jeśli rozmaitość jest tylko σ-zwarta, to przestrzeń pól wektorowych i grupa dyfeomorfizmów to tylko Fréchet .

Gdy rozmaitość jest zwarta , silna topologia w grupie dyfeomorfizmów pokrywa się ze słabą. Kiedy tak nie jest, forte odpowiada za „nieskończone” zachowanie funkcji i nie jest już mierzalne, ale nadal pochodzi od Baire'a .

Przykłady i podgrupy

Przechodniość

Dla kolektora połączona M grupa dyfeomorfizmu działa przechodni w M . Działa nawet przejściowo na różnorodność konfiguracji C n M dla dowolnej liczby naturalnej n i, jeśli wymiar M wynosi co najmniej 2, na różnorodność konfiguracji F n M  : działanie na M jest „wielokrotnie przechodnie”.

Rozszerzenia

W 1926 roku Tibor Radó zapytał, czy harmoniczna kontynuacja jakiegokolwiek homeomorfizmu (lub dyfeomorfizmu) w obrębie kręgu jednostkowego jest otwartym dyfeomorfizmem dysku. Elegancki dowód dostarczył wkrótce potem Hellmuth Kneser, a zupełnie inny dowód odkrył w 1945 roku Gustave Choquet , który najwyraźniej nie wiedział, że to twierdzenie było już znane.

Grupa Diff + ( S 1 ) zorientowanych dyfeomorfizmów koła (tj. Fs, które zachowują orientację) jest połączona łukami , ponieważ powstają one w zorientowanych dyfeomorfizmach g ℝ takich, że g ( x + 1) = g ( x ) + 1 i że tworzą one zbiór wypukły . Ścieżka gładka od f tożsamości, stała w okolicach 1, stanowi kolejny sposób na przedłużenie f w dyfeomorfizmu na dysku otwartej jednostki (jest to szczególny przypadek sztuczki Alexander  (en) ). Ponadto, grupa Dyfeomorfizm okręgu ma homotopy typu z ortogonalnym grupy O 2 .

Odpowiedni problem przedłużenia hipersfery S n- 1 był szeroko badany w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX wieku, zwłaszcza przez René Thoma , Johna Milnora i Stephena Smale'a . Przeszkoda jest ograniczony grupa przemienna Γ n , w „  grupa skręconych kulek  ”, definiuje się jako iloraz z gatunku 0 Diff + ( S N -1 ) - Wartość grupa przemienna połączonych elementów grupy zorientowanymi Dyfeomorfizm - podrzędnych - grupa komponentów zawierających ograniczenia dyfeomorfizmów kuli B n .

Łączność

Grupa klas mapowania  (en) π 0 Diff + ( M ) orientowalnej rozmaitości M jest generalnie nietrywialna . Jeśli M jest powierzchnią , ta grupa ma skończoną prezentację , generowaną przez skręty Dehna  (en) . Max Dehn i Jakob Nielsen udowodnił, że utożsamia się z grupą zewnętrznych automorfizmy z podstawowej grupy powierzchni.

William Thurston udoskonalił tę analizę, klasyfikując elementy grupy klas mapowania  (en) na trzy typy: te odpowiadające dyfeomorfizmowi okresowemu , równoważne dyfeomorfizmowi pozostawiające niezmiennik prostej krzywej zamkniętej i równoważne diffeomorfizmowi pseudo-Anosowa  ( w) . W przypadku torusa S 1 x S 1 = ℝ 2 / ℤ 2 The grupa klasy mapowanie jest po prostu modułowy zespół SL (2 ℤ) i redukuje się do klasyfikacji w przypadku eliptycznego parabolicznym i loxodromic przemian MöBIUS . Thurston realizowany przez tę klasyfikację zauważyć, że grupa klasa mapowanie działał w sposób naturalny na zwartego w przestrzeni Teichmüller  ( fr )  ; Na tak powiększonej przestrzeni, homeomorficznej do zamkniętej kuli, można zastosować twierdzenie o punkcie stałym Brouwera .

Smale przypuszczał, że dla gładkiej, orientowalnej, zwartej i pozbawionej granic rozmaitości M , π 0 Diff + ( M ) jest grupą prostą . Michaël Herman przedstawił szczególny przypadek iloczynu kręgów, a Thurston - przypadek ogólny.

Homeomorfizm i dyfeomorfizm

Łatwo (patrz sekcja „Przykłady” powyżej ) wykazać gładki homeomorfizm, który nie jest dyfeomorfizmem, ale trudniej jest znaleźć gładkie rozmaitości, które są homeomorficzne bez diffeomorfizmu. Istnieje tylko wymiar większy lub równy 4.

Pierwszym przykładem jest egzotyczne kuli z Milnora kolektor wymiarowe 7 homeomorficzny ale diffeomorphic do 7 kuli standard. W rzeczywistości istnieje (do zorientowanego dyfeomorfizmu) 28 rozmaitości homeomorficznych w 7-sferze (każda jest całkowitą przestrzenią wiązki 3- sferowej na 4-sferze).

Przypadek rozmaitości 4  ( cal ) jest bardziej patologiczny. We wczesnych latach 80-tych, łącząc wyniki Simona Donaldsona i Michaela Freedmana , które zostały odkryte ℝ 4 egzotyczne  (nie)  : Istnieje niezliczona rodzina otwartych ℝ 4 , wszystkie homeomorficzne do ℝ 4, ale dwa na dwa nie-diffeomorficzne i istnieje również niepoliczalna rodzina rozmaitości homeomorficznych na deux 4 , dwa na dwa nie-diffeomorficzne, z których żadna nie jest diffeomorficzna z jedną otwartą ℝ 4 .

Uwagi i odniesienia

( fr ) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego "  Diffeomorphism  " ( zobacz listę autorów ) .
  1. J. Lafontaine, „  Construction of diffeomorphism  ” ( dodatek internetowy do: Jacques Lafontaine, Wprowadzenie do odmian różnicowych ,2010[ szczegóły wydania ]).
  2. twierdzenie Ehresmann uogólnia ten wynik.
  3. Lafontaine 2010 , s.  83 w Książkach Google .
  4. "  Twierdzenie Hadamarda-Lévy'ego  " (opracowanie lekcji agregacji matematyki ) na dyna.maths.free.fr.
  5. .
  6. (w) Melvyn S. Berger, Nieliniowość i analiza funkcjonalna odczytów to nieliniowe problemy analizy matematycznej , New York, Academic Press,1977( ISBN  978-0-12-090350-4 , czytaj online ) , str.  222.
  7. Lafontaine 2010 , s.  21 w Książkach Google .
  8. Lafontaine 2010 , s.  22 w Książkach Google .
  9. (w) Morris W. Hirsch , Differential Topology [ wydania detaliczne ].
  10. (w) JA Leslie, „  struktura różnicowa była dla grupy diffeomorfizmów  ” , Topology , vol.  6, N O  21967, s.  263-271 ( DOI  10.1016 / 0040-9383 (67) 90038-9 ).
  11. (w) Augustine Banyaga  (w) , Struktura klasycznych grup dyfeomorfizmu , Kluwer Academic, al.  "Mathematics i jej zastosowania" ( N O  400),1997( ISBN  0-7923-4475-8 ) , str.  29.
  12. Max Dehn , WBR Lickorish  (de) , Allen Hatcher .
  13. (w) S. Smale, „diffeomorfizmy 2-sfery”, w Proc. Gorzki. Matematyka. Soc. , lot. 10, 1959, s.  621-626 .

Zobacz też

Powiązane artykuły

Bibliografia

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">