Produkt pół-bezpośredni

W grupie teorii The pół bezpośrednim produktem umożliwia zdefiniowanie grupy G dwóch grup H i K , i uogólnia pojęcie bezpośredniego produktu dwóch grup.

Produkt wewnętrzny półpośredni

Grupa G jest wewnętrznym pół-bezpośrednim iloczynem normalnej podgrupy H przez podgrupę K wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jedna z poniższych równoważnych definicji:

• H.∩K.={1} i sol=H.K.{\ displaystyle H \ cap K = \ {1 \} {\ text {i}} G = HK}(innymi słowy, H i K są uzupełnieniami w G );
• ∀sol∈sol,∃!(godz,k)∈H.×K.,sol=godzk{\ Displaystyle \ forall g \ w G \ istnieje! (h, k) \ w H \ razy K, g = hk}(każdy element G jest zapisywany jako niepowtarzalny iloczyn elementu H i elementu K );
• ograniczenie do K z kanonicznych surjection jest Izomorfizm pomiędzy i  ; sol→sol/H.{\ displaystyle G \ do G / H}K.{\ displaystyle K}sol/H.{\ displaystyle G / H}
• kanoniczna surjection jest podzielona przez morfizmu takimi tym .sol→sol/H.→1{\ Displaystyle G \ do G / H \ do 1} s{\ displaystyle s}s(sol/H.)=K.{\ Displaystyle s (G / H) = K}

Rozkład pierwiastków G jako iloczynu pierwiastka H i elementu K jest w pewien sposób zgodny z prawem składu grupy. Albo rzeczywiście

sol1=godz1k1 i sol2=godz2k2 {\ displaystyle g_ {1} = h_ {1} k_ {1} {\ text {i}} g_ {2} = h_ {2} k_ {2} \}

w ten sposób rozłożyły się dwa elementy G. Mamy :

sol1sol2=godz1k1godz2k2=(godz1k1godz2k1-1)(k1k2) {\ Displaystyle g_ {1} g_ {2} = h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {2} = (h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1) }) (k_ {1} k_ {2}) \}

rozkłada się w element o H (tu użyć, że H Normal), oraz element o K . godz1k1godz2k1-1{\ Displaystyle h_ {1} k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}}k1k2{\ displaystyle k_ {1} k_ {2}}

W tym przypadku grupa K działa przez sprzężenie na H , a zatem grupa G jest izomorficzna z zewnętrznym iloczynem pół-bezpośrednim, tj. Z grupą określoną przez iloczyn kartezjański H przez K objęty prawem:

(godz1,k1)(godz2,k2)=(godz1(k1godz2k1-1),k1k2){\ Displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} (k_ {1} h_ {2} k_ {1} ^ {- 1}) , k_ {1} k_ {2})}

Do wszystkiego aplikacja k∈K.{\ displaystyle k \ in K}

fa(k):H.→H.:godz↦kgodzk-1{\ displaystyle \ quad f (k): H \ do H: h \ mapsto khk ^ {- 1}}

jest automorfizmem z H . Dodatkowo aplikacja

fa:K.→Wut(H.):k↦fa(k){\ Displaystyle f: K \ do Aut (H): k \ mapsto f (k)}

jest morfizmem grup.

Produkt zewnętrzny pół-bezpośredni

W związku z tym jesteśmy zmuszeni określić następującą, bardziej ogólną definicję. Dwie grupy, i i morfizmem z w grupie automorfizmów , biorąc pod uwagę, można zdefiniować zewnętrzne pół-bezpośredni produkt o i po jako iloczyn kartezjański z i wyposażony w prawo grupę: H.{\ displaystyle H}K.{\ displaystyle K}fa{\ displaystyle f}K.{\ displaystyle K}Wut(H.){\ displaystyle {\ rm {Aut}} (H)}H.{\ displaystyle H}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}K.{\ displaystyle K}fa{\ displaystyle f}H.{\ displaystyle H}K.{\ displaystyle K}

(godz1,k1)(godz2,k2)=(godz1fa(k1)(godz2),k1k2) {\ Displaystyle (h_ {1}, k_ {1}) (h_ {2}, k_ {2}) = (h_ {1} f (k_ {1}) (h_ {2}), k_ {1} k_ {2}) ~}

gdzie odwrotna elementu jest . (godz,k){\ Displaystyle \ lewo (h, k \ prawej)}(fa(k-1)(godz-1), k-1){\ Displaystyle \ lewo (f (k ^ {- 1}) (h ^ {- 1}), \ k ^ {- 1} \ prawej)}

Możemy wprowadzić do przez wstrzyknięcie kanonicznej i wstrzyknąć do przez wstrzyknięcie kanonicznej . Następnie sprawdza się, czy jest to iloczyn wewnętrzny pół-bezpośredni par w znaczeniu podanym na początku artykułu. Weryfikujemy również, że automorfizm jest automorfizmem koniugacyjnym według . Zauważamy H.{\ displaystyle H}sol{\ displaystyle G} godz ↦ (godz,miK.){\ Displaystyle h \ \ mapsto \ (h, e_ {K})}K.{\ displaystyle K}sol{\ displaystyle G} k ↦ (miH.,k){\ Displaystyle k \ \ mapsto \ (e_ {H}, k)}sol{\ displaystyle G}H.{\ displaystyle H}K.{\ displaystyle K}fa(k){\ displaystyle f (k)}k{\ displaystyle k}

sol=H.⋊faK.{\ displaystyle G = H \ rtimes _ {f} K}lub po prostu .sol=H.×faK.{\ displaystyle G = H \ times _ {f} K}

Przypadek, w którym jest trywialny morfizm grupowy (tj. ) Odpowiada iloczynowi bezpośrednim . fa{\ displaystyle f}fa(k1)(godz2)=godz2{\ displaystyle f (k_ {1}) (h_ {2}) = h_ {2}}

Niech H, H 1 , K, K 1 będą grupami, f a morfizmem od H do Aut (K), f 1 a morfizmem od H 1 do Aut (K 1 ). Wtedy f i f 1 można postrzegać odpowiednio jako akcje (po lewej) H na K i H 1 na K 1 przez automorfizmy . Jeśli te działania są prawie równoważne (podobnie jak działania automorfizmów), produkty półpośrednie

H.⋊faK.{\ displaystyle H \ rtimes _ {f} K} i H.1⋊fa1K.1{\ displaystyle H_ {1} \ rtimes _ {f_ {1}} K_ {1}}

są grupami izomorficznymi.

Przykłady

• Grupa dwuścienna D 2 n jest pół-bezpośrednim iloczynem cyklicznej grupy C n rzędu n przez cykliczną grupę C 2 rzędu 2 , gdzie jednostka C 2 działa na C n jako identyczne odwzorowanie i inny element C 2 działa na C n przez inwersję. Ściślej, morfizmem od C 2 w Aut ( C n ) jest określony przez:fa{\ displaystyle f}jeśli i wtedyVSnie=⟨x⟩{\ displaystyle C_ {n} = \ langle x \ rangle}VS2=⟨y⟩{\ displaystyle C_ {2} = \ langle y \ rangle}∀k∈{0;1;2;...;nie-1},fa(1)(xk)=xk,fa(y)(xk)=x-k.{\ Displaystyle \ forall k \ in \ {0; 1; 2; \ kropki; n-1 \}, f (1) (x ^ {k}) = x ^ {k}, f (y) (x ^ {k}) = x ^ {- k}.}Geometrycznie grupa C n jest generowana przez obrót, a grupa C 2 przez odbicie.
• Grupa afiniczna jest pół-bezpośrednim iloczynem grupy addytywnej utworzonej z przestrzeni wektorowej E leżącej pod przestrzenią afiniczną (izomorficzną z grupą translacji ) przez liniową grupę tej przestrzeni wektorowej. Jeśli identyfikację miejsca afinicznych z jego miejsca wektora E , element F z grupy afinicznej ma postać gdzie jest elementem grupy liniowe i u wektorem E . f jest zatem określone przez dane pary . Połączenie map afinicznych da w rezultacie następujące prawo grupowe:fa(v)=u+φ(v){\ Displaystyle f (v) = u + \ varphi (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}(u,φ){\ displaystyle (u, \ varphi)}

(u,φ)(v,ψ): =(u+φ(v),φ∘ψ).{\ Displaystyle (u, \ varphi) (v, \ psi): = (u + \ varphi (v), \ varphi \ circ \ psi).}

• W szczególności grupa izometrii afinicznych jest iloczynem pół-bezpośrednim grupy translacji przez grupę izometrii pozostawiających niezmiennik danego punktu.
• Grupa symetryczna jest pół-bezpośrednim iloczynem grupy naprzemiennie z grupą wygenerowaną przez transpozycję.
• Grupę liniową w przemiennej pierścienia R jest pół-bezpośrednim produktem panelu liniowa (endomorfizm wyznacznik 1) z grupą R x odwracalnych składników R .
• Holomorph grupa G może być zdefiniowana jako pół-bezpośredni produkt G przez Aut ( G ) (grupa automorfizmem G ) w porównaniu do naturalnego działania Aut ( G ) o G .

Grupa pochodna

Grupa pochodna D ( G ) pół-bezpośredniego produktu G = H ⋊ K jest równa podgrupie (D ( H ) [ H , K ]) ⋊ D ( K ).

Rzeczywiście, D ( G ) jest podgrupą wygenerowaną przez sumę trzech podgrup D ( H ), [ H , K ] (zawartych w H ) i D ( K ), a zbiór daje D ( H ) [ H , K ] jest podgrupą H , stabilną przez działanie K, a zatem przez podgrupę D ( K ).

Powiązane artykuły

• Rozszerzenie grup
• Holomorficzna grupa
• Produkt korony
• Produkt Zappa-Szép  (en)

Uwagi i odniesienia

Uwagi

1. Zobacz (w) Michael Aschbacher , Teoria grup skończonych , UPC ,2000, 2 II  wyd. ( 1 st  ed. 1993), 304  str. ( ISBN  978-0-521-78675-1 , czytaj online ) , str.  30oświadczenie 10.3.
2. Zobacz Aschbacher 2000 , str.  141.
3. (w) Daciberg Lima Gonçalves i John GUASCHI, „  Niższa centralna seria i wyprowadzona z grup oplotów kuli  ” , przeł. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol.  361,2009, s.  3375-3399 ( czytaj online )(Twierdzenie 3.3), arXiv : matematyka / 0603701 (Twierdzenie 29).

Bibliografia

• Daniel Perrin , Kurs algebry , Éditions Ellipses ,1996, 207  str. ( ISBN  978-2-7298-5552-9 ) , str.  21-24
• (en) Saunders Mac Lane i Garrett Birkhoff , Algebra , Macmillan Publishers ,1999, 3 e  ed. , 626  s. ( ISBN  978-0-8284-0330-6 , czytaj online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">