Automorfizm wewnętrzny

Wnętrze automorfizmem jest matematyczne pojęcie stosowane w grupie teorii .

Niech G grupę Änd g element G . Automorfizmem wewnętrznym związanym z g , oznaczonym ι g , nazywamy automorfizmem G zdefiniowanym przez:

{\ displaystyle \ forall x \ in G \ quad \ iota _ {g} (x) = gxg ^ {- 1}.}

Dla grupy abelowej automorfizmy wewnętrzne są trywialne. Bardziej ogólnie, zestaw automorfizmy wnętrza G stanowi normalną podgrupę z grupy automorfizmy z G , a to podgrupa jest izomorficzny grupy iloraz z G przez jej centrum . Izomorfizm jest indukowana przez działanie przez sprzęganie z G na siebie.

Definicje

Automorfizm wewnętrzny

Niech G będzie grupą. Zastosowaniem formy jest automorfizm wewnętrzny Gιsol:sol→sol,x↦solxsol-1{\ Displaystyle \ iota _ {g}: G \ do G, x \ mapsto gxg ^ {- 1}} ${\ Displaystyle \ iota _ {g}: G \ do G, x \ mapsto gxg ^ {- 1}}$ dla pewnego elementu g z G (mówimy wtedy o automorfizmie wewnętrznym związanym z g ).
Każdy automorfizm wewnętrzny G jest automorfizmem grupy G , tj.
- morfizmem od G do G : ${\ Displaystyle \ forall x, r \ in G \ quad \ iota _ {g} (x) \ iota _ {g} (y) = (gxg ^ {- 1}) (gyg ^ {- 1}) = gxyg ^ {- 1} = \ iota _ {g} (xy)}$
- bijective : do wzajemnego bijection z ι g znaczy ι g -1 , gdyż ${\ displaystyle \ iota _ {g} \ circ \ iota _ {h} = \ iota _ {gh} \ quad {\ text {(samochód}} \ forall x \ in G \ quad g (hxh ^ {- 1}) ) g ^ {- 1} = (gh) x (gh) ^ {- 1})}$ i jako element neutralny należy do środkowej Z ( G ) z G , związany z nim wewnętrzny automorfizmem jest tożsamość (ogólniej zestaw stałych punktów od ι g jest dokładnie centrujące w g ).
Mówi się, że dwa elementy G lub dwie podgrupy obrazów G siebie nawzajem przez automorfizm wewnętrzny są sprzężone .

Uwaga: Jeśli G jest wyposażony w struktury więcej ( grupa topologiczna , Lie grup , algebraiczna grupy ) wewnętrzny automorfizmy zawsze isomorphisms struktur uwzględnione.

Normalna podgrupa

Podgrupa H o G mówi się normalne lub odróżnić w G , gdy jest ogólnie stabilny przez wszystkie wewnętrzne automorfizmy. To sprowadza się do stwierdzenia, że jest to jego jedyny koniugat.

Grupa automorfizmów wewnętrznych

Aplikacja jest morfizmem z grup G z grupy Aut ( G ) z automorfizmy G . Obraz jest dokładnie zbiorem automorfizmów wewnętrznych G , który jest zatem podgrupą Aut ( G ), oznaczoną Int ( G ). Zgodnie z twierdzeniem o izomorfizmie , morfizm suriektywny wywołuje izomorfizm: ${\ displaystyle \ iota: g \ mapsto \ iota _ {g}}$ ${\ Displaystyle \ iota: G \ rightarrow \ mathrm {Int} (G)}$

{\ Displaystyle G / Z (G) \ rightarrow \ mathrm {Int} (G)}

Jeśli jest automorfizmem G i jeśli g jest elementem G , to: $\ phi$

{\ Displaystyle \ forall x \ w G \ quad \ phi \ iota _ {g} \ phi ^ {- 1} (x) = \ phi \ lewo [g \ phi ^ {- 1} (x) g ^ { -1} \ right] = \ phi (g) x \ phi (g) ^ {- 1}}

Skąd

{\ Displaystyle \ phi \ iota _ {g} \ phi ^ {- 1} = \ iota _ {\ phi (g)}.}

Sprzężenie automorfizmu wewnętrznego przez automorfizm jest zatem automorfizmem wewnętrznym. Dlatego Int ( G ) jest normalną podgrupą Aut ( G ).

Podsumowując, mamy zatem dwie dokładne sekwencje :

{\ displaystyle 1 \ rightarrow Z (G) \ rightarrow G \ rightarrow \ mathrm {Int} (G) \ rightarrow 1}

{\ Displaystyle 1 \ rightarrow \ mathrm {Int} (G) \ rightarrow \ mathrm {Aut} (G) \ rightarrow \ mathrm {Aut} (G) / \ mathrm {Int} (G) \ rightarrow 1.}

Iloraz Aut ( G ) przez Int ( G ) jest oznaczony jako Out ( G ); są automorfizmy Outside of G .

Grupa automorfizmów z podgrupy normalnej

W notacji powyżej, jeżeli H jest normalną podgrupa G , podczas gdy wewnętrzna automorfizmem G jest ograniczony do automorfizmem H . Skąd morfizm grup może być surogatywny . Oczekuje się Surjectivity aby ustalić grupę Automorfizmy H . ${\ Displaystyle \ mathrm {Int} (G) \ rightarrow \ mathrm {Aut} (H)}$

Kompozycja nadaje morfizmem , którego rdzeń jest centrujące z H . $\odrobina$ ${\ Displaystyle G \ rightarrow \ mathrm {Aut} (H)}$

Etui na pierścionki

Automorfizmem z unital pierścienia mówi się wewnątrz, jeżeli ma postać x ↦ UxU -1 jakiegoś urządzenia U pierścienia.

Historia

Fakt, że grupa automorfizmów wewnętrznych grupy G jest normalną podgrupą grupy automorfizmów G, stwierdził i zademonstrował Otto Hölder w 1895 r.

Uwagi i odniesienia

(de) O. Hölder , „ Bildung zusammengesetzter Gruppen ” , Mathematische Annalen , vol. 46,1895, s. 326 ( czytaj online ). (Odniesienie podane przez (en) W. Burnside , Theory of Groups of Finite Order ,1911, 2 II wyd., przedruk Dover, 2004, s. 84.)