Wtrysk (matematyka)

Mapę f mówi się, że za pomocą wstrzyknięć czy jest iniekcja , jeżeli każdy element w swoim zestawie przybycia ma co najwyżej o poprzednik przez F , co jest równoznaczne ze stwierdzeniem, że dwa różne elementy zawarte w zbiorze wyjściowym nie mogą mieć takiego samego obrazu przez F .

Gdy początkowe i końcowe zbiory f są równe rzeczywistej linii ℝ, f jest iniektywne wtedy i tylko wtedy, gdy jego wykres przecina dowolną linię poziomą w co najwyżej jednym punkcie.

Jeśli aplikacja iniekcyjna jest również surjektywna , mówi się , że jest bijektywna .

Formalna definicja

Odwzorowanie f  : X → Y jest iniektywne, jeśli dla wszystkich y ∈ Y , istnieje co najwyżej jeden x ∈ X taki, że f ( x ) = y , co jest napisane:

∀x∈x∀x'∈x(F(x)=F(x')⇒x=x'){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

Powyższa implikacja jest równoznaczna z jej przeciwieństwem  :

∀x∈x∀x'∈x(x≠x'⇒F(x)≠F(x')){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Konkretny przykład

Weźmy przykład ośrodka wypoczynkowego, w którym grupa turystów ma zostać zakwaterowana w hotelu. Każdy sposób rozmieszczenia tych turystów w pokojach hotelu może być reprezentowany przez zastosowanie zbioru turystów X do wszystkich pokoi Y (każdy turysta jest powiązany z pokojem).

• Hotelarzowi zależy na tym, aby aplikacja była surjektywna , to znaczy, że każdy pokój jest zajęty . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy jest co najmniej tyle turystów, ile jest pokoi.
• Turyści chcą, aby aplikacja była iniekcyjna, to znaczy, że każdy z nich ma osobny pokój . Jest to możliwe tylko wtedy, gdy liczba turystów nie przekracza liczby pokoi.
• Te ograniczenia są kompatybilne tylko wtedy, gdy liczba turystów jest równa liczbie pokoi. W takim przypadku możliwe będzie rozmieszczenie turystów tak, aby w każdym pokoju był tylko jeden i aby wszystkie pokoje były zajęte: aplikacja będzie wtedy zarówno iniektywna, jak i surjektywna; powiemy, że jest bijektywna .

Przykłady i kontrprzykłady

Rozważmy odwzorowanie f  : ℝ → ℝ zdefiniowane przez f ( x ) = 2 x  + 1. To odwzorowanie jest iniektywne (a nawet bijektywne), ponieważ dla wszystkich dowolnych liczb rzeczywistych x i x ′ , jeśli 2 x  + 1 = 2 x ′  + 1 potem 2 x  = 2 x ′ , czyli x  =  x ′ .

Z drugiej strony, odwzorowanie g  : ℝ → ℝ zdefiniowane przez g ( x ) = x 2 nie jest iniektywne, ponieważ (na przykład) g (1) = 1 = g (−1).

Z drugiej strony, jeśli zdefiniujemy odwzorowanie h  : ℝ +  → ℝ tą samą relacją co g , ale ze zbiorem definicji ograniczonym do zbioru dodatnich liczb rzeczywistych , to odwzorowanie h jest iniektywne. Jednym z wyjaśnień jest to, że dla danych liczb rzeczywistych dodatnich x i x ′ , jeśli x 2  =  x ′ 2 , wtedy | x | = | x ′ |, więc x  = x ′ .

Nieruchomości

• Niech f aplikacji X w Y .
  • f jest injektywny (jeśli i) tylko wtedy, gdy X jest zbiorem pustym lub jeśli istnieje odwzorowanie g  :  Y  →  X takie, że g ∘ f jest równe identyczności odwzorowania na X , tj. wtedy i tylko wtedy, gdy X jest puste lub f jest odwracalne .
  • f jest iniektywna, jeśli (i tylko jeśli) jest uproszczona w lewo , tj. że dla wszystkich odwzorowań g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h pociąga za sobą g  = h . Innymi słowy, injective mapy są właśnie te monomorfizm z kategorii zbiorów .
  • Dla dowolnej mapy g od Y do Z  :
    1. jeśli odwzorowanie złożone g ∘ f jest iniektywne, to f jest iniektywne;
    2. jeśli f i g są iniektywne, to g ∘ f jest iniektywne;
    3. jeśli f jest surjektywna i jeśli g ∘ f jest iniekcyjna, to g jest iniekcyjna.
  • Następujące cztery właściwości są równoważne:
    • f jest iniektywna;
    • Dowolna część z X jest obraz odwrotny jego bezpośrednim obrazu  : f -1 ( f ( )) =  ;
    • dla części A i B o X mamy F (  ∩  B ) = f ( ) ∩  f ( B );
    • dla każdej części A do X , bezpośrednie obraz komplementarną z A są zaliczane do bezpośredniego obrazu A , tj f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Każdy mapę H  :  Z  →  Y mogą być rozłożone w h  = F ∘ g dla odpowiedniego iniekcji F i surjection g . Ta dekompozycja jest unikalna z wyjątkiem pojedynczego izomorfizmu i f może być wybrane jako równe wstrzyknięciu kanonicznego obrazu h ( Z ) h , do zbioru przybycia Y z h .
• Jeśli f  :  X  →  Y jest injektywny, to Y ma co najmniej tyle elementów, co X , w sensie kardynałów .
• Jeśli oznaczymy przez E ≤ F własność „istnieje wstrzyknięcie zbioru E do zbioru F  ”, to ≤ jest „  preorderem  ” (w szerokim znaczeniu, tj. na właściwej klasie : wszystkich zbiorów), co indukuje „  porządek  ” w klasie kardynałów. Zwrotność i Przechodniość przetworzono w poprzednich przykładach, a antysymetrii jest przedmiotem twierdzenia Cantora-Bernstein . Fakt , że ten porządek jest całkowity , to znaczy , że dla dwóch zbiorów E i F , mamy co najmniej jedną z relacji E ≤ F lub F ≤ E , dowodzimy za pomocą lematu Zorna , c ' jest twierdzeniem o porównywalności kardynalnej . Wynik ten jest nawet równoważny aksjomatowi wyboru .
• Morfizmem z grupy X w grupę Y to za pomocą wstrzyknięć czy i tylko wtedy, gdy rdzeń jest zmniejszona do sub trywialne grupy z grup X .

Fabuła

Termin „wstrzykiwanie” został ukuty przez MacLane'a w 1950 roku, podczas gdy przymiotnik „injective” pojawił się dwa lata później, w 1952 roku, w Foundations of Algebraic Topology autorstwa Eilenberga i Steenroda .

Uwagi i referencje

1. Zobacz na przykład poprawione ćwiczenia z rozdziału "Injection, surjection, bijection" na Wikiversity .
2. (w) Jeff Miller „  Najwcześniejsze znane zastosowania niektórych słów matematyki (I)  ” .