Piłka (topologia)

W topologii , A piłka jest szczególny rodzaj sąsiedztwa w przestrzeni metrycznej . Nazwa słusznie przywołuje solidną piłkę w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej, ale idea jest uogólnione między innymi do pomieszczeń o większym (lub mniejszym) wymiarze lub z nieprzestrzegania euklidesowej normą . W takim przypadku piłka nie może być „okrągła” w zwykłym znaczeniu tego słowa.

Ogólna definicja

W zwykłej przestrzeni, jak w każdej przestrzeni metrycznej  : (mi,re){\ displaystyle (E, d)}

• zamknięty kula o środku w punkcie i rzeczywistego promienia jest zbiór punktów, których odległość jest mniejsza niż lub równa  :P.{\ displaystyle P}r{\ displaystyle r \,}b′(P.,r){\ Displaystyle B '(P, r)}P.{\ displaystyle P}r{\ displaystyle r}

b′(P.,r): ={M∈mi∣re(M,P.)≤r}{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} '(P, r): = \ lewo \ {M \ w E \, \ mid \, d (M, P) \ równoważnik r \ prawo \}}

• odpowiadające otwarty piłka jest zbiór punktów, których odległość jest ściśle poniżej  :b(P.,r){\ Displaystyle B (P, r) \,}P.{\ displaystyle P}r{\ displaystyle r}

b(P.,r): ={M∈mi∣re(M,P.)<r}{\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (P, r): = \ lewo \ {M \ w E \, \ środkowy \, d (M, P) <r \ prawo \}}

W znormalizowanej przestrzeni wektorowej , otwarta kula jednostkowa jest otwartą kulą wyśrodkowaną w początku io promieniu 1 (podobnie, zamknięta kula jednostkowa jest zamkniętą kulą ). b(0,1){\ Displaystyle B (0,1)}b′(0,1){\ Displaystyle B '(0,1)}

Kule płaszczyzny euklidesowej nazywane są również dyskami .

Uwaga: definicję kul można rozszerzyć na przestrzenie pseudometryczne, które uogólniają pojęcie przestrzeni metrycznej.

Przykłady w przestrzeni dwuwymiarowej

W przestrzeni dwuwymiarowej , dla poniższych trzech standardów, odpowiednie kule o promieniu 1 mają różne kształty. R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

• standardowy 1  :‖x‖1=|x1|+|x2|{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {1} = | x_ {1} | + | x_ {2} |}
• euklidesowa normą  :‖x‖2=|x1|2+|x2|2{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2}}}}
• "infinite" standard  :‖x‖∞=max(|x1|,|x2|).{\ Displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | _ {\ infty} = \ max \ lewo (| x_ {1} |, | x_ {2} | \ prawej).}

Nieruchomości

• Otwarta kula jest zawsze otwartą przestrzenią metryczną, w której jest zdefiniowana. Podobnie, kula zamknięta jest zawsze zamknięta .
• Otwarta kula o ściśle dodatnim promieniu ma niepuste wnętrze (ponieważ to wnętrze jest samą kulą).
• Wszystkie kule w przestrzeni metrycznej są częściami ograniczonymi .
• W znormalizowanej przestrzeni wektorowej wszystkie otwarte (lub zamknięte) kule o ściśle dodatnich promieniach są podobne pod względem przesunięcia i homoteki, a każda kula jest symetryczna względem swojego środka.
• W prawdziwej znormalizowanej przestrzeni wektorowej kulki są wypukłe .
• W rzeczywistej znormalizowanej przestrzeni wektorowej wnętrze zamkniętej piłki jest otwartą piłką o tym samym środku i tym samym promieniu, a przyczepność niepustej otwartej piłki jest odpowiadającą jej zamkniętą kulą (stąd granica d 'a nie pusta kula jest odpowiednią kulą ). W każdej przestrzeni metrycznej mamy tylko:

b(P.,r)¯⊂b′(P.,r)¯=b′(P.,r)mitInt⁡(b′(P.,r))⊃Int⁡(b(P.,r))=b(P.,r).{\ Displaystyle {\ overline {B (P, r)}} \ podzbiór {\ overline {B '(P, r)}} = B' (P, r) \ qquad {\ rm {i}} \ qquad \ operatorname {Int} (B '(P, r)) \ supset \ operatorname {Int} (B (P, r)) = B (P, r).}

Przykłady egzotycznych piłek

• W rzeczywistej trójwymiarowej przestrzeni, w której znajduje się nieskończona norma , kule mają kształt sześcienny o powierzchniach prostopadłych do osi.
• W oddzielnej przestrzeni (z dyskretną odległością) każda część (w szczególności każda otwarta kula i każda zamknięta kula) jest otwarta-zamknięta .
• W przestrzeni utworzonej z ultrametric odległości (jak pierścień Z p o s -adic liczb całkowitych lub miejsca N N sekwencji liczb całkowitych ), kulki są otwarte, zamknięte, każdy punkt kulka jest centralnie, a jeśli dwie kule spotykają , jeden jest zawarty w drugim.

posługiwać się

• Część przestrzeni metrycznej jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się w kuli.
• Część przestrzeni metrycznej jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest to spotkanie zawartych w niej otwartych piłek.
• W oddzielnej przestrzeni metrycznej (na przykład przestrzeni euklidesowej ) wszystko otwarte jest policzalnym połączeniem otwartych piłek .
• Kule (otwarte lub zamknięte) o tym samym środku i ściśle dodatnich promieniach tworzą podstawowy system sąsiedztwa tego centrum. Ograniczając się do serii dowolnie małych promieni, otrzymujemy nawet policzalny podstawowy system sąsiedztw.
• Twierdzenie Riesza o zwartości stwierdza, że ​​rzeczywista przestrzeń wektorowa jest znormalizowana o skończonych wymiarach wtedy i tylko wtedy, gdy jej zamknięta kula jednostkowa jest zwarta .

Powiązany artykuł

Kula