Oddzielna przestrzeń

W matematyce , a dokładniej w topologii , przestrzeń rozłączna jest przestrzenią topologiczną zawierającą gęsty i co najwyżej policzalny podzbiór , to znaczy zawierający skończony lub policzalny zbiór punktów, których adhezja jest równa 1 całej przestrzeni topologicznej.

Połącz z policzalnymi przestrzeniami bazowymi

• Każda policzalna przestrzeń podstawowa jest rozłączna. Odwrotna sytuacja jest fałszywa, ale:
• Każda dająca się oddzielić przestrzeń pseudometrizowalna ma policzalną podstawę.
  Wiele wspólnych przestrzeni jest tego typu. Hipotezę rozdzielności można znaleźć obficie w wynikach analizy funkcjonalnej .
• Każda podprzestrzeń oddzielnej przestrzeni pseudometrycznej jest nadal możliwa do wyodrębnienia (założenie pseudometrisability jest niezbędne: patrz § „Właściwości” poniżej).
  Wynika to z powyższego, wiedząc, że każda podprzestrzeń przestrzeni z policzalną podstawą jest nadal policzalną podstawą. Ale możliwe jest bezpośrednie wykazanie bez użycia równoważności, dla przestrzeni pseudometrizowalnej, między rozdzielalnością a istnieniem policzalnej podstawy.

• Każda przestrzeń z policzalną podstawą jest rozłączna: niech policzalna podstawa otworów , które można bez utraty ogólności przyjąć jako niepuste. Przez wybranie punktu w każdym otrzymujemy gęstą część przeliczalna.
• Każda dająca się oddzielić przestrzeń pseudometrizowalna ma policzalną podstawę: niech A będzie gęstą policzalną częścią, wtedy pseudobule B ( a , 1 / n ), gdy a przechodzi przez A i n przechodzi *, tworzą policzalną podstawę otworów.
• Każdy podprzestrzeń rozłącznie pseudométrisable przestrzeni jest jeszcze oddzielić bezpośredni dowód:
  Niech ( x , d ), dającą się wyodrębnić pseudometric przestrzeni i pozwolić podprzestrzeni X . Będziemy budować gęstą sekwencję w A . Wybór ( x n ) n ∈ℕ * gęsta sekwencja X . Dla dowolnej liczby całkowitej n > 0 ustal punkt a n z A spełniający d ( x n , a n ) <d ( x n , A ) + 1 / n . Niech a będzie punktem A i niech ε> 0. Przy gęstości ( x n ) n ∈ℕ * istnieje liczba całkowita n > 3 / ε taka, że d ( a , x n ) <ε / 3. Mamy więc (przez konstrukcję ciągu ( a n )) d ( x n , a n ) <ε / 3 + 1 / n <2ε / 3, a zatem (przez nierówność trójkątną) d ( a , a n ) <ε. Sekwencja ( n ) jest więc gęsty A .
  
  

Przykłady

• Zbiór ℝ liczb rzeczywistych , posiadający swoją zwykłą topologię, jest rozłączny, ponieważ ℚ (policzalne) jest tam gęsty.
• Dla 1 ≤ p <∞ , przestrzeń L p (ℝ) funkcji, których potęga p jest całkowita, jest rozłączalna. Z drugiej strony, przestrzeń L ∞ (ℝ) funkcji zasadniczo ograniczonych nie jest. Mamy taką samą dychotomię dla przestrzeni ciągów ℓ p i ℓ ∞ .
• Linia Sorgenfrey jest rozłączna, ale nie jest policzalna, dlatego nie można jej pseudometrizować (jest to jednak policzalna baza dzielnic ).

Nieruchomości

• Przestrzeń liniowo-topologiczna na ℝ lub ℂ jest rozłączne wtedy i tylko wtedy, jeśli zawiera przeliczalna rodzina wektorów generujących gęstej podprzestrzeni .
• Dowolną przestrzeń pseudometryczną prekompaktową lub Lindelöfa (w szczególności każdą zwartą przestrzeń metryczną ) można rozdzielić. Rzeczywiście, w obu przypadkach, dla dowolnej liczby całkowitej n > 0, możemy pokryć przestrzeń otwartymi kulkami o promieniu 1 / n i środku należącym do zbioru C n co najwyżej policzalne. Zjednoczenie C n stanowi wówczas gęstą policzalną część.
• Znormalizowana przestrzeń wektor jest rozłączne wtedy i tylko wtedy kula jednostkowa jej Dual IS * -weakly metryzowalny .
• Dla każdej zwartej przestrzeni X algebra C ( X ) funkcji ciągłych od X do ℝ, wyposażona w normę zbieżności jednostajnej, jest rozłączalna (lub, co daje to samo: z policzalną podstawą ) wtedy i tylko wtedy, gdy X jest metryzowalny . (Na przykład: ℓ ∞ = C (βℕ) nie można rozdzielić). Wnioskujemy, że każdy ciągły obraz oddzielony Y od zwartej przestrzeni metrycznej X jest metrizowalny, ponieważ C ( Y ) ⊂ C ( X ).
• Każda dająca się oddzielić przestrzeń metryczna jest izometryczna do podprzestrzeni C ([0, 1]).
• Każdy produkt z oddzielnych przestrzeni indeksowanych przez zestaw o co najwyżej energii kontinuum ℭ jest rozłączne (to zwłaszcza przypadku κ = ℵ₀ z Hewitt - Marczewski -Pondiczery tw). Kluczowym krokiem, aby to udowodnić, jest sprawdzenie, czy ℕ ℝ można rozdzielić. W szczególności ℝ ℝ można rozdzielić.
• Jeśli κ> ℭ, iloczyn κ oddzielonych spacji, z których każda zawiera co najmniej dwa punkty, nigdy nie jest rozłączny.
• W przestrzeni, którą można rozdzielić, każdą otwartą można rozdzielić, ale nie wszystkie części w ogóle: w płaszczyźnie Sorgenfrey antydiagonalna jest nierozłącznie zamknięta ; podobnie oddzielna płaszczyzna Moore'a zawiera nierozerwalną, zamkniętą linię. Gorzej: każda przestrzeń topologiczna jest podprzestrzenią separowalną o tej samej liczności .
• Rozdzielność jest oczywiście zachowana przez ciągłe obrazy (w przeciwieństwie do właściwości bazowania na policzalnej podstawie, która nie jest nawet stabilna przez iloraz ).
• Każda oddzielna przestrzeń ma „ policzalny łańcuch  ”, to znaczy każda rodzina niepustych otworów rozdzielonych  dwa na dwa jest co najwyżej policzalna.
• Przestrzeń metryczną można rozdzielić, jeśli (i tylko wtedy, gdy, zgodnie z poprzednim punktem), jakakolwiek rodzina składająca się z dwóch na dwie rozłączne kule o tym samym ściśle dodatnim promieniu jest co najwyżej policzalna.

Kardynalność

Oddzielna przestrzeń z policzalnymi bazami sąsiedztw (na przykład: przestrzeń metryzowalna) i oddzielna ma co najwyżej moc kontinuum ℭ: patrz „  Funkcje kardynalne w topologii  ”. Mówiąc bardziej ogólnie, kardynał oddzielonej przestrzeni rozłączalnej sekwencyjnie , to znaczy sekwencyjne zamykanie części co najwyżej policzalnej - w szczególności kardynała oddzielnej przestrzeni oddzielnej Frécheta-Urysohna - jest co najwyżej plusem. Z łatwością nawet pokazujemy, że każda wydzielona przestrzeń, która jest sekwencyjnym zamknięciem części kardynała co najwyżej ℭ, nadal jest co najwyżej kardynała ℭ.

Oddzielna i możliwa do rozdzielenia przestrzeń ma liczność mniejszą lub równą 2 ℭ . W ten sposób odkrywamy (jako szczególny przypadek κ> widziany powyżej ), że jeśli 2 κ > 2 and (i a fortiori, jeśli κ ≥ 2 ℭ ), iloczyn κ oddzielonych przestrzeni, z których każda zawiera co najmniej dwa punkty, nigdy nie jest rozłączny. Ograniczenie 2 ℭ jest osiągane, na przykład, przez rozdzielną zwartą {0, 1} ℭ , która nie ma zatem policzalnych baz sąsiedztw (w rzeczywistości nie jest nawet sekwencyjna , ponieważ jest policzalnie zwarta, ale nie sekwencyjnie zwarta ).

Uwagi i odniesienia

1. (w) Horst Herrlich , Axiom of Choice , Springer ,2006( czytaj online ) , s.  20.
2. Zobacz twierdzenie Banacha-Mazura .
3. Jeśli κ jest nieskończoną liczbą kardynalną , każdy iloczyn najwyżej 2 przestrzeni κ gęstości powiększonych o κ ma nadal gęstość zwiększoną o κ. Zob. Na przykład François Guénard i Gilbert Lelièvre, Complements d'études: Topologie, pierwsza część , t.  1, ENS Fontenay ed.,1985( czytaj online ) , s.  40dla demonstracji i (nie) "  Twierdzenie Hewitta-Marczewskiego-Pondiczery'ego  " w PlanetMath dla odniesień do trzech oryginalnych artykułów.
4. W tym celu możemy na przykład zauważyć, że skończone kombinacje liniowe, ze współczynnikami całkowitymi, wskaźników rozłącznych przedziałów otwartych dwa na dwa i wymiernych końców, tworzą gęstą policzalną część lub znowu - por. (en) WW Comfort, „  Krótki dowód twierdzenia Marczewskiego o rozdzielalności  ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol.  76,1969, s.  1041-1042 ( JSTOR  2317135 )- użyj rozdzielalności C ([0,1]) , co daje ℝ [0,1] = ℝ ℝ .
5. (w) „  Produkt oddzielnych przestrzeni  ” na blogu Dana Ma o topologii .
6. Konstrukcja, która dodaje co najwyżej policzalną nieskończoność punktów, jest podana w (en) Wacław Sierpiński , General Topology , University of Toronto Press,1952, s.  49.
7. Na przykład, zobacz (w) „  Topological Spaces with Omega Calibre 1  ” na blogu Dana Ma o topologii lub poprawioną lekcję „Topologia ogólna” na Wikiversity .
8. (w) Kenneth Kunen and Jerry E. Vaughan, Handbook of Set-Theoretic Topology , Elsevier,2014( czytaj online ) , s.  3.
9. (w) Albert Wilansky, „  Jak to jest oddzielna przestrzeń?  » , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol.  79, n o  7,1972, s.  764-765 ( JSTOR  2316270 ).
10. (w) Franklin D. Tall, „  Jak wygląda rozdzielna przestrzeń? To zależy od twojej teorii mnogości!  » , Proc. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol.  46,1974, s.  310-314 ( JSTOR  2039917 ).
11. (w) Angelo Bella Maddalena Bonanzinga i Michaił Matweev, „  Sekwencyjne + separowalne vs. separowalne Sekwencyjne przeglądy i kolejną zmianą jest selektywna separacja  ” , Cent. Eur. J. Math. , vol.  11 N O  3,2013, s.  530-538 ( DOI  10.2478 / s11533-012-0140-5 ).
12. Guénard i Lelièvre 1985 , str.  41.

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Polska przestrzeń
• Uniwersalna przestrzeń Urysohna  (w)

Link zewnętrzny

(pl) „  Dlaczego nazwa„ oddzielna ”przestrzeń?  » , W MathOverflow