Analiza funkcjonalna jest gałąź matematyki , a zwłaszcza z analizą , które bada przestrzeni funkcyjnych . Ma swoje historyczne korzenie w badaniu transformacji, takich jak transformacja Fouriera, oraz w badaniu równań różniczkowych lub całkowo-różniczkowych .
Termin funkcjonalny bierze swój początek w kontekście rachunku wariacyjnego , na oznaczenie funkcji, których argumentami są funkcje. Jego użycie zostało uogólnione na nowe dziedziny przez włoskiego matematyka i fizyka Vito Volterrę . Polski matematyk Stefan Banach jest często uważany za twórcę nowoczesnej analizy funkcjonalnej.
Podstawowymi przestrzeniami analizy funkcjonalnej są w pełni znormalizowane przestrzenie wektorowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych . Takie przestrzenie nazywane są przestrzeniami Banacha . Przestrzenie Hilberta są ważnym przypadkiem specjalnym, w którym norma jest wyprowadzana z iloczynu skalarnego . Te ostatnie odgrywają na przykład ważną rolę w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej . Analiza funkcjonalna może być również przeprowadzona w bardziej ogólnych ramach , takich jak topologiczne przestrzenie wektorowe , takie jak przestrzenie Frécheta .
Ważnymi przedmiotami badań w analizie funkcjonalnej są ciągłe operatory liniowe zdefiniowane w przestrzeniach Banacha i Hilberta . To naturalnie prowadzi do definicji C * -algebr .
Przestrzenie Hilberta może być całkowicie sklasyfikowane: istnieje unikalna przestrzeń Hilberta aż do izomorfizmu dla każdego kardynała na podstawie Hilberta . Skończone wymiarowe przestrzenie Hilberta są w pełni znane w algebrze liniowej , a rozdzielne przestrzenie Hilberta są izomorficzne z przestrzenią ciągów ℓ 2 . Oddzielność jest ważna dla zastosowań, analiza funkcjonalna przestrzeni Hilberta zajmuje się głównie tą przestrzenią i jej morfizmami. Jednym z otwartych problemów analizy funkcjonalnej jest udowodnienie, że każdy operator ograniczony do rozdzielnej przestrzeni Hilberta ma zamkniętą, nietrywialną stabilną podprzestrzeń. Ten problem niezmiennej podprzestrzeni (en) został już rozwiązany w wielu specjalnych przypadkach.
Przestrzenie Banacha są znacznie trudniejsze do zbadania niż przestrzenie Hilberta. Na przykład nie ma jednej definicji tego, co mogłoby stanowić podstawę.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej p ≥ 1, przykładem przestrzeni Banacha jest zbiór wszystkich mierzalnych funkcji w rozumieniu Lebesgue'a, którego potęga p -ta wartości bezwzględnej ma całkę skończoną (patrz przestrzenie L p ).
W przestrzeniach Banacha większość badań dotyczy dualności topologicznej : przestrzeni wszystkich ciągłych form liniowych . Podobnie jak w algebrze liniowej, bidual (podwójny do dualności) nie zawsze jest izomorficzny z pierwotną przestrzenią, ale zawsze występuje naturalny iniekcyjny morfizm przestrzeni w jej byku.
Pojęcie pochodnej zostaje rozszerzone na dowolne funkcje między przestrzeniami Banacha poprzez pojęcie różniczki ; Różniczka Frécheta funkcji w pewnym punkcie jest, jeśli istnieje, pewną ciągłą mapą liniową.
Jednym z triumfów analizy funkcjonalnej było wykazanie, że atom wodoru jest stabilny.