Podwójna topologia

W matematyce , a dokładniej w analizie The topologii podwójnego jest podprzestrzeń z algebraiczna podwójna składa się z ciągłych postaci liniowych .

Definicja

Niech E będzie przestrzeń liniowo-topologiczna nad ℝ pola lub ℂ.

Topologiczna podwójnego E ' o E jest podprzestrzeń wektora E * (algebraiczną podwójnego z E ) utworzone z ciągłych postaci liniowych .

Jeśli przestrzeń ma skończony wymiar , topologiczna dualność pokrywa się z algebraiczną dualnością, ponieważ w tym przypadku każda forma liniowa jest ciągła.

Ale w ogólnym przypadku włączenie dualności topologicznej do dualności algebraicznej jest ścisłe.

Przykład

Niech D będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową funkcji wyprowadzanych z przedziału [0, 1] w ℝ, wyposażonych w normę zbieżności jednostajnej .

‖fa‖=łykx∈[0,1]|fa(x)|.{\ Displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ in [0,1]} | f (x) |.}

Niech p będzie formą liniową na D zdefiniowaną przez

p(fa)=fa′(0).{\ Displaystyle p (f) = f '(0).}

Niech też będzie ciąg funkcji D zdefiniowany przez . Łatwo to zobaczyć (fanie)nie>0{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n> 0}}fanie(x)=x(1-x)nie{\ Displaystyle f_ {n} (x) = x (1-x) ^ {n}}

limnie→∞‖fanie‖=0{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ | f_ {n} \ | = 0}

(funkcja jest dodatnia i maksymalna dla x = 1 / ( n + 1)). fanie{\ displaystyle f_ {n}}

Ale dla wszystkich n to powinno zmierzać do p (0) = 0, jeśli p byłyby ciągłe. p(fanie)=1{\ displaystyle p (f_ {n}) = 1}p(fanie){\ displaystyle p (f_ {n})}

Podwójne topologie

W niektórych przypadkach możemy kanonicznie zdefiniować różne topologie w układzie dualnym.

Niska podwójna topologia

Do dowolnego wektora o możemy dopasować mapę z w ℝ zdefiniowany przez . Ta aplikacja jest pół-norma na . Lokalnie wypukła topologia przestrzeni zdefiniowana przez tę rodzinę półnormy nazywana jest słabą topologią dualną. Jest to najmniej dokładna topologia powodująca ciągłość odwzorowań f↦f ( v ). v{\ displaystyle v}mi{\ displaystyle E}pv{\ displaystyle p_ {czas}}mi′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}pv(fa)=|fa(v)|{\ Displaystyle p_ {v} (f) = | f (v) |}pv{\ displaystyle p_ {czas}}mi′{\ displaystyle \ scriptstyle E ^ {\ prime}}

Konstrukcyjnie ta topologia na E ' jest oddzielna .

Silna topologia w podwójnej znormalizowanej przestrzeni

Jeśli E jest znormalizowaną przestrzenią wektorową , możemy zdefiniować podwójną normę ║. ║ „ na E” wg

‖fa‖′=łykv∈mi,v≠0|fa(v)|‖v‖.{\ displaystyle \ | f \ | ^ {\ prime} = \ sup _ {v \ in E, v \ neq 0} {\ Frac {| f (v) |} {\ | v \ |}}.}

(Jest to szczególny przypadek standardu operatora ).

E ' wyposażony w tym standardzie jest nazywany mocny podwójny z E . Jest to przestrzeń Banacha (por. Propozycja 4 § „Kompletność” artykułu „Znormalizowana przestrzeń wektorowa” ).

Należy zauważyć, że nawet w skończonym wymiarze znormalizowane przestrzenie E i E ' , które są algebraicznie izomorficzne, nie są ogólnie izometryczne. Na przykład, na ℝ n , normy i są podwójne względem siebie, ale nie są izometryczne, gdy tylko n ≥ 3. ∑ja=1nie|xja|{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ zielony x_ {i} \ zielony}łyk1≤ja≤nie|xja|{\ Displaystyle \ sup _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik n} \ vert x_ {i} \ vert}

Twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego stwierdza, że zamknięta kula jednostkowa silnej dualności w przestrzeni Banacha jest * -słabo zwarta .

Następnie wnioskujemy z twierdzenia Kerina-Milmana, że jeśli kula jednostkowa w przestrzeni Banacha E nie ma punktu ekstremalnego (na przykład jeśli E = L 1 ([0, 1]) lub E = c 0 , to przestrzeń ciągów zerowych limit), to E nie jest dwoistością żadnej przestrzeni.

Przestrzeń ℓ 1 jest podwójny o c 0 i wielu innych miejscach, w tym , że zbieżnych sekwencji  (i) , lub bardziej powszechnie , funkcje ciągłe na policzalnych wypraski.

Gdzie H jest przestrzeń wstępnego Hilberta , jest izometrycznym półliniowych (tj ℝ liniowa) kanonicznej J o H w H ' : Dla każdego elementu v o H , j ( V ) jest ciągły liniowy kształt określony przez:

∀w∈H.,jot(v)(w)=⟨v,w⟩.{\ Displaystyle \ forall w \ w H, j (v) (w) = \ langle v, w \ rangle.}

Udowadniamy, dzięki twierdzeniu Riesza o reprezentacji , podstawową własność:

Jeśli H jest przestrzenią Hilberta , wstrzyknięcie j z H do H 'jest suriektywne .

Wnioskujemy (por. § „Struktura dualności” w artykule „Przestrzeń prehilbertowska” ):

Dla każdej przestrzeni przedhilbertowskiej H, wtrysk j z H do H 'jest gęsty obrazu .

Podczas gdy czysto algebraiczne pojęcie byczki nie przedstawia dwuznaczności, jest zupełnie inaczej w przypadku pojęć topologicznych. Rzeczywiście, zgodnie z topologią zachowaną w układzie dualnym, zestaw ciągłych form liniowych na tym dualnym może być mniej więcej duży.

Resztka przestrzeni Banacha i refleksyjność

W przypadku znormalizowanej przestrzeni wektorowej E , to, co ogólnie nazywa się bidualnym, zaznaczone E '' , jest dualnością silnego dualu.

Istnieje naturalne zastosowanie E w jego części, aplikacji ewaluacyjnej

jot:mi→mi″∀x∈mi,∀ℓ∈mi′,jot(x)(ℓ)=ℓ(x){\ displaystyle J: E \ rightarrow E '' \ qquad \ forall x \ in E, \, \ forall \ ell \ in E ', \, J (x) (\ ell) = \ ell (x)}

co stanowi wtrysk izometryczny zgodnie z twierdzeniem Hahna-Banacha . Kiedy J jest bijekcją, mówi się , że przestrzeń E jest refleksyjna .

Przykłady: patrz „  Własności przestrzeni ciągów ℓ p  ” i „  Dwoistość przestrzeni L p  ”.

Twierdzenie Goldstine'a . Dla każdej prawdziwej znormalizowanej przestrzeni wektorowej E , kulka jednostkowa E '' jest adhezją dla topologii σ ( E '' , E ' ) (topologia słaba - * na E' ' ) obrazu J jednostki kulowej E .

Uwagi i odniesienia

1. Można to również nazwać normą polarną w związku z rozwojem artykułu na temat skrajni wypukłości . Norma jest rzeczywiście miernikiem, którego skrajnia biegunowa jest niczym innym jak podwójnym standardem.
2. (w :) D. Freeman , E. Odell i Th. Schlumprecht , „  Uniwersalność ℓ 1 jako podwójnej przestrzeni  ” , Math. Annalen. , vol.  351 n o  1,2011, s.  149-186 ( czytaj online [PDF] ).
3. (in) Dale E. Alspach , „  A ℓ 1 predual qui nie jest izometryczny do stosunku C (α)  ” , arXiv ,1992( czytaj online ).
4. Bardziej systematyczne badanie, patrz Gilles Godefroy , „  Przestrzeń Banacha, istnienie i wyjątkowość pewnych predualników  ”, Ann. Inst. Fourier , tom.  28,1978, s.  87-105 ( czytaj online ).
5. W złożonym przypadku dwa konwencje współistnieją (patrz sekcja kształt sesquilinear kompleksu ) iloczynu skalarnego ⟨ V , W ⟩ liniowej względem v i półliniowych względem wagowych , a w wyrobach prehilbert przestrzeni i powierzchnia Hilberta lub odwrotnie , tak jak tutaj iw artykule Twierdzenie Riesza o reprezentacji . Definicja aplikacji j naturalnie różni się w zależności od wybranej konwencji.
6. N. Bourbaki , Elements of mathematics, książka III: General topology [ szczegóły wydań ], rozdz. 4, § 5, prop. 5

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Liniowe zastosowanie nieciągłe  (cal)
• Podwójna topologiczna przestrzeń wektorowa

Bibliografia

Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">