Przestrzeń w apartamencie ℓ str

W matematyce The przestrzeń ℓ P jest przykładem przestrzeni wektorowej , składa się z sekwencji z rzeczywistych lub złożonych wartości i która ma na 1 ≤ p ≤ ∞ , A przestrzeń Banacha struktury .

Motywacja

Rozważmy rzeczywisty wektor przestrzeń ℝ n , czyli przestrzeń n- krotek z liczb rzeczywistych .

Euklidesowa norma wektora jest równa: x=(x1,x2,...,xnie){\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n})}

‖x‖=(x12+x22+⋯+xnie2)1/2{\ Displaystyle \ | x \ | = \ lewo (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ kropki + x_ {n} ^ {2} \ prawo) ^ {1/2} }.

Ale dla dowolnej liczby rzeczywistej p ≥ 1 możemy zdefiniować inną normę na ℝ n , zwaną p -norm, stawiając:

‖x‖p=(|x1|p+|x2|p+⋯+|xnie|p)1/p{\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ lewo (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ kropki + | x_ {n} | ^ {p } \ right) ^ {1 / p}}

dla dowolnego wektora . x=(x1,x2,...,xnie){\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n})}

Dla wszystkich p ≥ 1, ℝ n wyposażonych w p -norm jest zatem znormalizowaną przestrzenią wektorową . Ponieważ jest to wymiar skończony , jest on kompletny dla tego standardu.

Przestrzeń ℓ str

P -norm może być przedłużony do wektorów posiadających przeliczalna nieskończoność elementów, co pozwala na określenie miejsca £ -l p (także zauważyć ℓ P ( ℕ ), ponieważ można określić w ten sam sposób £ -l p ( x ) dla każdego skończone lub nieskończone zestaw X , przypadek, w którym X ma n elementów odpowiadających poprzednim paragrafowi).

Dokładniej, ℓ p będzie podprzestrzenią wektorową przestrzeni nieskończonych szeregów liczb rzeczywistych lub zespolonych, których suma jest określona przez:

(x0,x1,...,xnie,xnie+1,...)+(y0,y1,...,ynie,ynie+1,...)=(x0+y0,x1+y1,...,xnie+ynie,xnie+1+ynie+1,...){\ Displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ kropki) + (y_ {0}, y_ {1}, \ kropki, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ dots) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ dots, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ kropki)}

i pomnożenie przez skalar przez:

λ(x0,x1,...,xnie,xnie+1,...)=(λx0,λx1,...,λxnie,λxnie+1,...).{\ Displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ kropki) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ dots).}

Definiujemy p -norm ciągu  : x=(x0,x1,...,xnie,xnie+1,...){\ Displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ kropki, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ kropki)}

‖x‖p=(|x0|p+|x1|p+⋯+|xnie|p+|xnie+1|p+...)1/p∈[0,+∞].{\ Displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ lewo (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ kropki + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ dots \ right) ^ {1 / p} \ in [0, + \ infty].}

Szereg po prawej stronie nie zawsze jest zbieżny: na przykład ciąg (1, 1, 1,…) ma nieskończoną wartość p -norm dla dowolnego p <∞ .

Przestrzeń ℓ p jest zdefiniowana jako zbiór nieskończonych sekwencji liczb rzeczywistych lub zespolonych, których p -norm jest skończony.

Definiujemy również „normę ∞  ” jako:

‖x‖∞=łyk(|x0|,|x1|,...,|xnie|,|xnie+1|,...){\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ kropki, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ dots)}

a odpowiadająca jej przestrzeń wektorowa ℓ ∞ jest przestrzenią ograniczonych ciągów .

Nieruchomości

• Dla dowolnego zbioru X , przestrzeń ℓ ∞ ( X ) funkcji ograniczonych na X (z wartościami rzeczywistymi lub zespolonymi) to Banach , tj. Każdy jednolity ciąg Cauchy'ego funkcji ograniczony na X zbiega się jednostajnie (do ograniczonej funkcji). Podobnie, dla 1 ≤ p ≤ ∞ , ℓ p (ℕ) jest Banacha. (Są to dwa szczególne przypadki twierdzenia Riesza-Fischera , które dotyczy wszystkich przestrzeni L p .)
• W £ -l ∞ , niezwykłe podprzestrzeń jest przestrzeń C o zbieżnych sekwencji . Jest zamknięty (a więc kompletny ), ponieważ jakakolwiek jednolita granica zbieżnych ciągów jest zbieżna; albo znowu: c jest kompletne (a więc zamknięte w ℓ ∞ ), ponieważ izometrycznie izomorficzne z (kompletną) przestrzenią ciągłych map (a więc ) ograniczoną do zwartego [0, ω] = ℕ∪ {+ ∞} , zagęszczony d 'Alexandrov od dyskretnego ℕ .
• Dla 1 < p < ∞ , przestrzeń ciągu ℓ p jest zwrotna . Jego podwójna to przestrzeń ℓ q , gdzie 1 / p + 1 / q = 1;
• W ℓ ∞ podprzestrzeń c 0 ciągów o zerowym limicie nie jest zwrotna: jej dualność to ℓ 1, a dualność ℓ 1 to ℓ ∞ . Dlatego ℓ 1 i ℓ ∞ również nie odbijają.
• Dla wszystkich r < ∞ i wszystkich x ∈ £ -l R MAP p ↦ ║ x ║ P jest zmniejszenie w [ R + ∞ [ . Rzeczywiście, jeśli p ≥ q ≥ r mamy | x k | / ║ x ║ q ≤ 1 dla dowolnego indeksu k , więc|xk|p/‖x‖qp≤|xk|q/‖x‖qq ;{\ Displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}sumując tę ​​nierówność na k , wnioskujemy, że ║ x ║ p ≤ ║ x ║ q . Funkcja p ↦ ║ x ║ p jest również ciągła przez [ r , + ∞] . W szczególności :‖x‖∞=limp→+∞‖x‖p.{\ Displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ do + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}

Uwagi i odniesienia

1. Georges Skandalis , General Topology , Masson.
2. (w) "  The L ∞ -norm wynosi limitu na str -norms  " na math.stackexchange .

Powiązane artykuły

• Baza Schaudera
• Przestrzeń L p
• Podsumowująca rodzina

Linki zewnętrzne

• Dokumentacja urzędowa  :
  • Biblioteka Narodowa Francji ( dane )
  • System dokumentacji uczelni
  • Biblioteka Kongresu
  • Gemeinsame Normdatei