Podsumowująca rodzina

Pojęcie rodziny sumowalnej ma na celu rozszerzenie obliczeń sum na przypadek nieskończonej liczby wyrazów. W przeciwieństwie do pojęcia szeregu nie zakładamy, że wyrazy są podawane w postaci uporządkowanego ciągu, ale w postaci rodziny indeksowanej przez dowolny zbiór . Chodzi zatem o możliwość określenia sumy w sposób globalny, bez określania kolejności postępów. Dlatego sumowanie jest bardziej wymagające niż zbieżność szeregów i ma dodatkowe właściwości.

W szczególności podsumowalność zapewnia przydatne ramy do badania serii podwójnych .

Wstępny przykład

Harmoniczne zmiennego serii , stanowi ogólny termin (-1) n / n do n ściśle dodatnia, zbieżny do $ln (2)$ , podczas gdy uzyskuje się przez zmianę kolejności warunki sekwencji tak, aby suma warunki dwukrotnie szybciej, nawet, że nieparzyste zbiegają się do $-ln (2) / 2$ .

Chcemy wprowadzić definicję sumy, która wyklucza tego typu sytuacje i zapewnia, że sumowanie da ten sam wynik niezależnie od wybranej kolejności.

Definicja

Aby mówić o rodzinie sumarycznej, potrzebujemy już sumy, czyli przemiennej operacji grupowej . Wówczas, ponieważ liczba składników w rodzinie jest nieskończona, suma zostanie określona jako granica sum skończonych; dlatego konieczne jest posiadanie topologii, aby mówić o granicy. Dlatego najbardziej ogólną strukturą dla rodzin sumowalnych jest przemienna grupa topologiczna . W dalszej części tego artykułu ograniczymy się do bardziej typowych ram ℝ - znormalizowanej przestrzeni wektorowej .

Definicja - Rozważamy rzeczywistą przestrzeń wektorową E wyposażoną w normę ║ ∙ ║. Niech $( u ı ) ı \in I$ rodziny wektorów o E . Mówi się, że ta rodzina jest sumowalna, gdy istnieje wektor S z E taki, że

{\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ istnieje J _ {\ varepsilon} {\ tekst {skończone}} \ podzbiór I \ quad \ forall J {\ tekst {skończone}} \ podzbiór I \ quad \ lewo (J \ supset J _ {\ varepsilon} \ Rightarrow \ left \ | \ sum _ {i \ in J} u_ {i} -S \ right \ | \ leq \ varepsilon \ right).}

Wektor S nazywa się ilość rodu

( u i ) i \in I

. Jest on zdefiniowany tylko przez powyższą właściwość i odnotowany

{\ Displaystyle S = \ suma _ {i \ in I} u_ {i}.}

Innymi słowy, J ε zawiera już wszystkie ważne terminy w sumie do wektora S ; dodanie dowolnej skończonej liczby wyrazów do J ε nie zmienia już wartości sumy, aż do ε. Sumowanie rodzin wektorów przypomina przejście do granicy coraz większych zbiorów skończonych. (W rzeczywistości jest to granica następująca po filtrze lub granica uogólnionej sekwencji ).

Nieruchomości

Oczywiście, jeśli rodzina przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości niezerowych ( prawie zero rodziny ), można ją zsumować i znajdujemy zwykłą wartość sumy.
W definicji sumowania wskaźników nie ma porządku. Zatem jeśli σ jest permutacją zbioru I , to rodziny $( u i ) i \in I$ i $( u σ ( i ) ) i \in I$ są tej samej natury, a jeśli są sumowalne, mają tę samą sumę. Ta własność jest uogólnieniem przemienności sum skończonych.
Jeśli rodzina jest sumowalna, to dla wszystkich ε> 0 jest skończona, ponieważ jest zawarta w J ε . Wynika z tego, że zbiór indeksów wektorów niezerowych jest co najwyżej policzalny , jako policzalna suma skończonych zbiorów: ${\ Displaystyle \ lewo \ {i \ in ja \ mid \ Vert u_ {i} \ Vert> 2 \ varepsilon \ prawo \}}$ ${\ Displaystyle \ {i \ in ja \ mid u_ {i} \ neq 0 \} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ lewo \ {i \ in ja \ lewo | \ Zielony u_ {i} \ Zielony> {\ frac {1} {n}} \ right. \ Right \}.}$ Dlatego teoria rodzin sumowanych sprowadza się do teorii szeregów. Dokładniej :

Twierdzenie - Rodzina wektorów jest sumowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów jej niezerowych składników jest co najwyżej policzalny i jeśli odpowiadające im wyrazy tworzą przemiennie zbieżny szereg . Suma dowolnej permutacji w szeregu jest wtedy równa sumie rodziny.

Jeśli rodzina $( u i ) i \in I$ jest sumowalna, zbiór jej skończonych sum jest ograniczony . ${\ Displaystyle \ lewo \ {\ lewo. \ suma _ {i \ w J} u_ {i} \ w prawo | J {\ tekst {zakończone}} \ podzbiór I \ w prawo \}}$
Zestaw summable rodzin E indeksowane przez tego samego zestawu I stanowi podprzestrzeni wektorowych z E I i mapy, które kojarzy jej sumy w rodzinie jest liniowy .
Rodzina z wartościami w iloczynu skończonym znormalizowanych przestrzeni wektorowych jest sumowana wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z jej składników jest sumowalny, a składniki sumy są wówczas sumami składników.

Przykłady

Przypadek pozytywnych faktów

Rodzina liczb rzeczywistych dodatnich jest sumowana wtedy, gdy (i tylko wtedy) zwiększa się zbiór jej sum skończonych, przy czym suma rodziny jest wówczas po prostu górną granicą ℝ tego zbioru.

W związku z tym :

rodzina dodatnich liczb rzeczywistych jest sumowana wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów jej składników niezerowych jest co najwyżej policzalny i jeśli „odpowiedni” szereg jest zbieżny;
suma dwóch rodzin dodatnich liczb rzeczywistych (indeksowanych przez ten sam zbiór I ) daje się zsumować wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich jest.

Przypadek ℝ n

Z każdą rodziną liczb rzeczywistych $u$ możemy skojarzyć jej dodatnie części $u +$ i ujemne $u -$ : wartość bezwzględna $| u |$ jest sumą tych dwóch rodzin liczb rzeczywistych dodatnich, a $u$ jest ich różnicą. Tak więc, jeśli $| u |$ jest summable następnie $U +$ i $u -$ są summable , więc - o liniowości - $U$ jest summable.

Odwrotna jest również to, zgodnie z twierdzeniem przegrupowania Riemanna , co zapewnia, że wszelkie commutatively serii zbieżna liczb rzeczywistych jest całkowicie zbieżne . Ta równoważność rozciąga się na gotowy produkt do ℝ n . Możemy zatem zredukować badanie rodziny wektorów ℝ n z arbitralną normą do n rodzin liczb rzeczywistych lub rodziny liczb rzeczywistych dodatnich:

Twierdzenie - rodzina $( u i ) i \in I$ wektorów ℝ n jest summable wtedy i tylko wtedy, gdy jego N składniki, co jest równoznaczne z summability rodziny standardów $(║ u ı ║) ı \in I$ .

Co więcej, podobnie jak w ℝ + , nadal mamy w ℝ (a więc również w ℝ n ): rodzina jest sumowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej skończonych sum jest ograniczony.

Szczególny przypadek kompleksów

W ℂ ≃ ℝ 2 składowymi są części rzeczywiste i urojone, a preferowaną normą jest moduł .

Niech α będzie prawdziwe. Rodziny (1 / ( s 2 + Q 2 ) α ), gdzie ( p , q ) przedstawiono zestaw nie- zerowych par w stosunku liczb jest summable wtedy i tylko wtedy, α> 1.
Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdej ściśle dodatniej liczby całkowitej N , rodzina (1 / ( p 1 2 +… + p N 2 ) α ), gdzie ( p 1 ,…, p N ) opisuje zbiór niezerowych N -pół d 'względne liczby całkowite są sumowane wtedy i tylko wtedy, gdy α> N / 2 (przez porównanie szeregowo-całkowe ). Jeśli α jest złożone, warunek sumowania wynosi zatem Re (α) > N / 2.
Niech N jest liczbą całkowitą, a z 1 , ..., z n będą zespoły modułów mniejszy od 1, to rodzina ( z 1 K 1 , ..., z n K n ), gdzie każdy wykładnik k i opisane ℕ jest summable ( jak produkt z geometrycznym ).

Łączność

Powyżej liniowość przyznaje, jako szczególny przypadek następujące uogólnienie skojarzeń skończonych sum: jeśli dwie rodziny $v$ i $w$ są summable następnie ich związek rozłączne $u$ jest również summable , a suma $U jest$ otrzymany przez dodanie tych $v$ i $w$ .

W nie- pełnej przestrzeni Normed wektora , odwrotna jest fałszywe. Rzeczywiście wiemy, że w takiej przestrzeni istnieją ciągi $( v n ) n \inℕ$ takie, że suma norm $║ v n ║$ jest skończona, ale szereg wektorów nie jest zbieżny. Rodzina $U$ składa się z takich sekwencji $V$ , a jego przeciwległy następnie summable (z zerowym), ale podrodzina $V$ o $u$ nie.

Dlatego musimy dodać hipotezę sumowania podrodzin. W rezultacie mamy nawet bardziej ogólną odwrotność, ponieważ dotyczy ona również nieskończonego podziału :

Niech ( I T ) T ∈ T punktację I . Jeśli rodzina ( u i ) i ∈ I jest sumowalna do sumy S i jeśli każda podrodzina ( u i ) i ∈ I t jest sumowalna do sumy S t , to rodzina ( S t ) t ∈ T jest sumowalna o sumie S .

Analogiczne uogólnienie sensu bezpośredniego jest trywialnie fałszywe w ℝ, ale prawdziwe w ℝ + , tj. Jeśli każdy ( u i ) i ∈ I t jest rodziną dodatnich liczb rzeczywistych o skończonej sumie S t i jeśli ( S t ) t ∈ T jest sumowalne wtedy ( u i ) i ∈ ja jest.

Podsumowujące rodziny w przestrzeni Banacha

Kryterium Cauchy'ego w przestrzeniach Banacha

Kryterium Cauchy'ego jest generalnie warunkiem koniecznym sumowania, ale w ramach przestrzeni Banacha zapewnia warunek konieczny i dostateczny, z którego wynikają niezwykłe właściwości związane z sumowalnością.

Rodzina $( u i ) i \in I$ spełnia kryterium Cauchy'ego, gdy

{\ Displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ istnieje J _ {\ varepsilon} {\ tekst {skończone}} \ podzbiór I \ quad \ forall K {\ tekst {skończone}} \ podzbiór I \ quad \ lewo (K \ cap J _ {\ varepsilon} = \ varnothing \ Rightarrow \ left \ | \ sum _ {k \ in K} u_ {k} \ right \ | <\ varepsilon \ right).}

W ujęciu obrazowym J ε zawiera prawie całą sumę, ponieważ z tym, co jest gdzie indziej, nie możemy przekroczyć ε.

Rodzina jest Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej niezerowych składników jest co najwyżej policzalny i jeśli „” odpowiadający mu szereg, jak również wszystkie jego permutacje, spełniają zwykłe kryterium Cauchy'ego .

W konsekwencji każda sumowalna rodzina spełnia kryterium Cauchy'ego, a gdy E jest kompletne, odwrotność jest prawdą. (To pokazuje, że w przestrzeni Banacha można zsumować każdą podrodzinę rodziny sumarycznej).

Przykład : w przestrzeń £ -l P ( I ) , gdzie I oznacza dowolny zestaw, dla każdej rodziny (λ I ) i ∈ I z skalarnych z p- ty summablemocyrodzina (λ i δ I ) i ∈ I jest summable, ponieważ sprawdza kryterium Cauchy'ego i że przestrzeń jest kompletna.

Absolutna podsumowalność

Rodzina ( u i ) i ∈ I uważa się za absolutnie summable - lub normalnie summable - jeśli rodzina dodatnich liczb rzeczywistych (║ U i ║) i ∈ I jest summable, innymi słowy, jeśli zestaw wskaźników i z nie- zero u i jest co najwyżej policzalne i jeśli „odpowiedni” szereg jest absolutnie zbieżny .

Z kryterium Cauchy'ego lub po prostu analogicznego wniosku dla szeregu wnioskujemy następujący wniosek:

Wniosek - w przestrzeni Banacha każda absolutnie sumowalna rodzina jest sumowalna i spełnia rozszerzoną trójkątną nierówność

{\ Displaystyle \ lewo \ | \ suma _ {i \ in I} u_ {i} \ prawo \ | \ równoważnik \ suma _ {i \ in I} \ | u_ {i} \ |.}

W n , widzieliśmy już, że odwrotnie, każda sumująca się rodzina jest absolutnie sumowalna. W każdej znormalizowanej przestrzeni wektorowej o nieskończonym wymiarze ta odwrotność jest fałszywa.

Kontrprzykład : w przestrzeni Hilberta ℓ 2 (ℕ *) wyposażonej w kanoniczną podstawę Hilberta (δ n ) n ∈ℕ * , ciąg (δ n / n ) n ∈ℕ * jest sumowalny (według kryterium Cauchy'ego, ponieważ ( 1 / n ) n ∈ℕ * ma sumaryczny kwadrat ), ale nie absolutnie (ponieważ szereg norm jest szeregiem harmonicznym ).

Sumowalność i forma liniowa

Niech F drugi wektor normalizowane miejsca i $X$ do ciągłego odwzorowania liniowego z E na F . Dla dowolnej sumowalnej rodziny $( u i ) i \in I$ wektorów E , rodzina $(λ ( u i )) i \in I$ jest sumowana w F , o sumie ${\ Displaystyle \ sum _ {ja \ in ja} \ lambda (u_ {i}) = \ lambda \ lewo (\ suma _ {ja \ in I} u_ {i} \ po prawej).}$

Na podstawie tej własności możemy rozwinąć pojęcie słabej sumowalności . O rodzinie wektorów $( u i ) i \in I$ mówi się, że jest słabo sumowalna, gdy dla dowolnej ciągłej postaci liniowej $λ$ na E rodzina skalarów $(λ ( u i )) i \in I$ jest sumowalna. Powyższa właściwość oznacza, że każda sumowalna rodzina jest słabo sumowalna. Dokładniej, kryterium Cauchy'ego spełnia rodzina $( u i ) i \in I$ wektorów E wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia je rodziny skalarów $(λ ( u i )) i \in I$ , jednostajnie względem at $λ$ przeglądania kuli jednostkowej w topologii podwójnej E ' o E .

Dla rodziny słabo sumowalnej nie zawsze istnieje wektor S z E taki, że $λ ( S )$ są sumami $(λ ( u i )) i \in I$ , ale jeśli istnieje, to jest on unikalny (ponieważ E ' oddziela punkty E ).

Produkt w algebrach Banacha

W algebrze Banacha , jeśli $( u i ) i \in I$ oraz $( v j ) j \in J$ są dwiema sumowanymi rodzinami, to rodzina produktów $( u i v j ) ( i, j ) \in I \times J$ jest sumowalna i l ' mamy :

{\ Displaystyle \ lewo (\ suma _ {i \ w ja} u_ {i} \ po prawej) \ lewo (\ suma _ {j \ w J} v_ {j} \ po prawej) = \ suma _ {(i, j ) \ in I \ times J} u_ {i} v_ {j}.}

Właściwość tę można zinterpretować ponownie za pomocą serii podwójnych .

Uwagi i odniesienia

Gustave Choquet , Kurs analizy, tom II: Topologia , str. 212.
Choquet , str. 228-229.
Choquet , str. 217-218.
Choquet , str. 221.
Choquet , str. 222.
Nawfal El Hage Hassan , Topologia ogólna i przestrzenie standardowe , Dunod ,2018, 2 II wyd. ( czytaj online ) , s. 348, zastrzega nazwę „absolutnie sumowalne” dla rodzin skalarów.
El Hage Hassan 2018 , s. 349.
Por. Twierdzenie Dvoretzky-Rogers i Choquet , str. 292.
.

Bibliografia

Jean Dieudonné , Elementy analizy , t. I: Podstawy współczesnej analizy [ szczegóły wydań ]
Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]
Laurent Schwartz , Metody matematyczne w naukach fizycznych , Paryż, Hermann, 1965, 2 nd edition, rozdział 1