Skalar (matematyka)

W algebry liniowej , liczby rzeczywiste , które mnożą wektory w przestrzeni wektorowej nazywane są skalary . To pomnożenie przez skalar , które umożliwia pomnożenie wektora przez liczbę w celu uzyskania wektora, odpowiada zewnętrznemu prawu przestrzeni wektorowej.

Bardziej ogólnie, w K miejsca-wektor, z skalarne są elementy K , gdzie K może być zbiorem liczb zespolonych lub innego pola .

Z drugiej strony, iloczyn skalarny (nie mylić z mnożeniem przez skalarne) może być określona przez przestrzeń wektorową, dzięki czemu dwa wektory, mnoży się ze sobą z wytworzeniem skalarnych. Skończenie wymiarowa przestrzeń wektorowa z iloczynem skalarnym nazywana jest przestrzenią wektorową Euklidesa .

Rzeczywisty składnik kwaternionu jest również nazywany częścią skalarną .

Termin macierz skalarny jest używany do oznaczenia wielokrotnej macierzy macierzy tożsamości przez skalar.

Etymologia

Słowo skalar pochodzi od angielskiego słowa scalar, które samo w sobie wywodzi się ze skali słów używanej dla zbioru liczb. Ten ostatni pochodzi od łacińskiego Scala wyznaczającej skalę .

Według Oxford English Dictionary , słowo skalar po raz pierwszy pojawiło się w publikacji naukowej w 1846 roku w artykule irlandzkiego matematyka Williama Rowana Hamiltona , który użył tego słowa w odniesieniu do prawdziwej części kwaternionu . To odniesienie znajduje potwierdzenie w witrynie Najstarsze znane zastosowania niektórych słów matematycznych . Ten ostatni precyzuje, że termin skalar był już używany przez Hamiltona w artykule O kwaternionach przedstawionym w 1844 r. I opublikowanym dopiero w 1847 r. (Ale według Davida Wilkinsa być może już w 1845 r.).

Definicje i właściwości

Pojęcia wspólne dla matematyki i fizyki

„Prawdziwy skalar” to liczba niezależna od podstawy wybranej do wyrażenia wektorów, w przeciwieństwie do pseudoskalara , który jest liczbą, która może zależeć od podstawy.

Skalar jest reprezentowany przez greckie litery lub pisane kursywą .

Skalar jest tensorem rzędu 0. O wielkościach nieskalarnych mówi się, że są pseudoskalarne .

Przykłady

Liczba, która mierzy temperaturę , masę lub wysokość, jest skalarem.

Skalarny jest skalarem, z którym jest związany zespół (na przykład masa w kg Temperatura w ° C).

Współrzędna wektora w bazie jest liczbą rzeczywistą (liczba bez jednostki).

Liczba wynikająca z operacji między wektorami może być pseudo lub prawdziwym skalarem, w zależności od tego, czy wektory operandów są pseudowektorami, czy prawdziwymi wektorami.

Prędkość (lub wektor prędkości ) obiektu punktowego jest wektorem  : jest definiowana przez wartość skalarną związaną z kierunkiem i kierunkiem. Podobnie jest z przyspieszeniem obiektu punktowego. Wartość prędkości lub przyspieszenia jest wielkością skalarną (a więc z jednostką).

W matematyce wyznacznikiem macierzy jest skalar, ale nie rodzina wektorów: zależy to od wybranej podstawy. Aby zmienić znak wyznacznika, wystarczy permutacja wektorów bazowych. Tak jest więc również w przypadku produktu mieszanego trzech wektorów, ponieważ jest on określony przez determinantę.

Skalary przestrzeni wektorowych

Przestrzeń wektor definiuje się jako zbiór wektorów związanego z zestawem skalarnych, wyposażony w kilka przepisów, z których jeden jest prawo mnożenie przez skalarne którym stowarzyszone ze skalarnym y i wektor przeciwko innym wektorze sv . Na przykład, w przestrzeni wektorowej K n o n -tuples pierwiastków dziedzinie K mnożenie przez skalarne s wektora daje wektor . W funkcjonalnej przestrzeni wektorowej dla skalara s i funkcji ƒ, s .ƒ jest funkcją x ↦ s .ƒ ( x ). (x1,...,xnie){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}s.(x1,...,xnie)=(sx1,...,sxnie){\ Displaystyle s. (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (sx_ {1}, \ ldots, sx_ {n})}

Skalar można przyjąć w dowolnym polu przemiennym, w tym w polu wymiernym , liczbach algebraicznych, liczbach rzeczywistych i zespolonych, a także w ciele gotowym .

Skalary jako składniki wektorów

Wszystkie wymiarowej Wektor nad skalarną ciała K jest izomorficzny w przestrzeni wektorowej K n utworzone z n krotki skalarów K . Na przykład, każda rzeczywista przestrzeń wektorowa wymiaru n jest izomorficzna z rzeczywistą przestrzenią wektorową R n .

Iloczyn skalarny

Prehilbertian przestrzeń jest przestrzeń wektorową E wyposażony iloczynem skalarnym która prawo pozwalające dwa wektory, mnoży się podanie numeru. Wynik lub produkt, jest ogólnie określone jako element korpusu skalarów E . Ponieważ iloczyn skalarny wektora ze sobą musi być dodatni, przestrzeń z iloczynem skalarnym można zdefiniować tylko nad polem, które nadaje znaczenie pojęciu znaku . Wyklucza to na przykład pola skończone.

Istnienie iloczynu skalarnego umożliwia wprowadzenie do przestrzeni wektorowej intuicji geometrycznej przestrzeni euklidesowej poprzez zapewnienie dobrze zdefiniowanego pojęcia kąta między dwoma wektorami, a zwłaszcza sposobu wyrażenia ortogonalności dwóch wektorów. Rzeczywiste przestrzenie wektorowe wyposażone w iloczyn skalarny można wyposażyć w normę euklidesową .

Skalary w znormalizowanych przestrzeniach wektorowych

Przestrzeń wektorową E można wyposażyć w normę, która przyporządkowuje każdemu wektorowi v z E skalar || v ||. Z definicji normy mnożąc wektor v przez skalar s , mnożymy jego normę przez | s |. Jeśli || v || jest interpretowane jako długość v , to operację tę można opisać jako pomnożenie długości v przez stosunek proporcji | s |. Przestrzeń wektorowa wyposażona w normę nazywana jest znormalizowaną przestrzenią wektorową .

Normą są zwykle wartości w polu skalarów E , co ogranicza to drugie do pola wspierającego pojęcie znaku. Aby naśladować definicję normy euklidesowej, jeśli E ma skończony wymiar większy niż 2, K musi być zamknięte dla pierwiastka kwadratowego , jak również dla czterech operacji arytmetycznych; W ten sposób pole P z liczb wymiernych jest wykluczone, ale Pole cyfr konstruowalnych jest odpowiedni.

Skalary w modułach

Te moduły są uogólnieniem przestrzeni wektorowej, a termin „skalarna” jest również używany w niniejszym kontekście odnosi się do elementów pierścienia działającego na moduł. W tym przypadku skalary mogą być skomplikowanymi obiektami. Jeśli R jest pierścieniem macierzy kwadratowych ( n , n ) ze współczynnikami w pierścieniu A , możemy sprawić, by te macierze działały po lewej stronie abelowej grupy macierzy kolumnowych ze współczynnikami w A , a następnie uczynić tę przestrzeń R - moduł: w tym kontekście „skalary” to macierze. Inny przykład można zaczerpnąć z teorii rozmaitości , gdzie przestrzeń odcinków wiązki stycznej tworzy moduł algebry funkcji rzeczywistych określonych na rozmaitości.

Homotety wektorowe

Mnożenie wektorów przestrzeni wektorowej i modułów przez skalar jest szczególnym przypadkiem homoteki wektorów , rodzajem mapy liniowej .

Uwagi i odniesienia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „  Skalar (matematyka)  ” ( zobacz listę autorów ) .

1. (w) Jeff Miller "  Najwcześniejsze znane zastosowania niektórych słów matematyki (V)  " ,2007.