Kąt

W geometrii ogólne pojęcie kąta można podzielić na kilka pojęć.

W starym znaczeniu kąt jest figurą płaską, częścią płaszczyzny ograniczoną dwiema półprostymi . Tak mówimy o kątach wielokąta . Jednak obecnie na określenie takiej figury zwyczajowo używa się terminu „sektor kątowy”. Kąt może również oznaczać część przestrzeni ograniczoną dwiema płaszczyznami ( kąt dwuścienny ). Pomiar takich kątów jest powszechnie, ale niewłaściwie nazywany również kątem.

Mówiąc bardziej abstrakcyjnie, kąt jest klasą równoważności , to znaczy zbiorem uzyskanym przez asymilację między sobą wszystkich liczb kątowych, które można zidentyfikować za pomocą izometrii . Każda ze zidentyfikowanych figur jest wtedy nazywana reprezentatywną kąta. Wszyscy ci przedstawiciele mając tę samą miarę, możemy mówić o mierze abstrakcyjnego kąta.

Możliwe jest zdefiniowanie pojęcia kąta zorientowanego w euklidesowej geometrii płaszczyzny, a także rozszerzenie pojęcia kąta na ramy przedhilbertowskich przestrzeni wektorowych lub rozmaitości riemannowskich .

Istnieje kilka rodzajów kątów: kąt prosty , kąt ostry i kąt rozwarty

Historia

Słowo kąt pochodzi od łacińskiego angulus , słowa oznaczającego „róg”. Według matematyka Carposa z Antiochii kąt jest liczbą i przedziałem linii lub powierzchni, które go obejmują; ta przerwa jest zwymiarowana tylko w jeden sposób, a jednak kąt nie jest dla niej linią.

Kąt jako figura płaszczyzny lub przestrzeni

Sektor i kąt kątowy

W płaszczyźnie dwie półproste tego samego początku wyznaczają dwa regiony, zwane sektorami kątowymi .

Mówimy, że dwa sektory kątowe definiują ten sam kąt, gdy nakładają się na siebie (bardziej formalnie: kąt sektora kątowego jest jego klasą kongruencji ). Tradycyjnie mówimy o kącie geometrycznym dla tego pojęcia kąta, ale termin ten może również oznaczać, we współczesnej terminologii, podobne, mniej dokładne pojęcie ( patrz poniżej ).

Mówi się, że kąt jest wyraźny, jeśli reprezentujące go sektory kątowe są wypukłe , a jeśli nie, to wsuwają się ponownie.

Pary o pół linii o tym samym pochodzeniu zatem ogólnie definiuje dwa kątami jeden wystający, a druga wielowątkowe (wyjątkowym przypadku, jest to, że w kącie płaskim ).

W płaszczyźnie możemy mówić o kącie dwóch przecinających się linii. Dwie sieczne linie przecinają płaszczyznę na 4 widoczne sektory kątowe, odpowiadające dwóm parom kątów przeciwstawnych wierzchołkowi. Przeciwne kąty są równe, a sąsiednie kąty są dodatkowe . Na ogół istnieją dwie możliwe wartości tych kątów. Czasami wybieramy najmniejszy kąt, to znaczy kąt ostry lub kąt prosty.

Wartość kąta

Miarą kąta sektora kątowego jest dodatnia liczba rzeczywista, która mierzy część płaszczyzny zajmowaną przez sektor kątowy. Te jednostki użyte do jej oszacowania jesteś Radian , na ćwiartkę i jego podgrup, stopień , jego podjednostki i klasę . Kąty są często oznaczane małą literą grecką, na przykład α, β, θ, ρ… Gdy kąt znajduje się na szczycie wielokąta i nie ma dwuznaczności, wówczas używa się nazwy wierzchołka zwieńczonego kapeluszem, na przykład Â .

Aby ocenić ten kąt, tę „proporcję powierzchni”, bierzemy dysk wyśrodkowany w punkcie przecięcia i obliczamy stosunek między obszarem części dysku , który przecina sektor kątowy, a całkowitą powierzchnią dysku . Możemy pokazać, że sprowadza się to również do ustalenia relacji między długością łuku po przecięciu a obwodem koła; ta wartość mniejsza niż 1 nazywana jest liczbą zwojów . Wartość 1/4 (ćwierć obrotu) odpowiada kwadrantowi .

Powszechnie stosowaną jednostką jest stopień , który jest wynikiem podzielenia kwadrantu na 90 równych części. Dlatego pełny obrót odpowiada 360 stopniom. Minuta łuku jest wielokrotnością stopnia równą 1/60 stopnia. Podobnie, sekunda łuku jest równa 1/60 minuty łuku lub 1/3600 stopnia. Stopień jest rzadziej używany , co odpowiada setnemu podziałowi kwadrantu.

Jednak międzynarodową jednostką miary kątów jest radian , definiowany jako stosunek między długością przeciętego łuku a promieniem okręgu. Dlatego pełny obrót odpowiada radianom. $2 \ ft$

Kąty można obliczyć z długości boków wielokątów , zwłaszcza trójkątów , za pomocą trygonometrii .

Jednostką miary kątów używanych głównie w wojsku jest tysięczna . To kąt, pod którym widzimy od 1 metra do 1 kilometra. 6283 tysięcznych odpowiada 2π radianom lub 360 stopniom lub 360 ° / arktan (1 m / 1000 m ). Innymi słowy, tysięczna = mrad (miliradian).

Kąty „w terenie” można mierzyć za pomocą urządzenia zwanego goniometrem ; zazwyczaj zawiera zakrzywioną linijkę wyskalowaną w stopniach, zwaną kątomierzem .

W informatyce można użyć 1/16 stopnia lub 5760 dla 360 °.

Nazwy kątów

Kąty odpowiadające całkowitej liczbie kwadrantów mają specjalną nazwę. Poniższa tabela przedstawia wartości poszczególnych kątów w różnych jednostkach.

Kąt	Liczba tur	Liczba kwadrantów	Radiany	Stopień	Stopień
Pełny kąt	1 tura	4 ćwiartki	2π rad	360 °	400 gr
Kąt płaski	1/2 obrotu	2 ćwiartki	π rad	180 °	200 gr
Prosty kąt	1/4 obrotu	1 kwadrant	π / 2 rad	90 °	100 gr
Kąt zerowy	0 rundy	0 kwadrantu	0 rad	0 °	0 gr

Prawy kąt uzyskuje się poprzez rozważenie dwóch linii, które dzielą płaszczyznę na cztery równe sektory. Mówi się, że takie linie są prostopadłe lub prostopadłe.

Kąt jest często mylony z jego miarą. Na przykład kąt płaski jest błędnie określany jako „równy” 180 °. To nadużycie jest szeroko praktykowane w pozostałej części tego artykułu.

Następujące kwalifikatory są używane dla kątów przyjmujących wartości pośrednie między tymi niezwykłymi wartościami:

kąt ponownego wejścia jest kątem większym niż kąt płaski;
najistotniejszy kąt jest kątem mniejszym niż kąt płaski:
- rozwarty kąt wynosi pomiędzy 90 ° i 180 °,
- ostry kąt wynosi pomiędzy 0 ° i 90 °.

Aby określić względne wartości dwóch kątów, używamy następujących wyrażeń:

dwa kąty są komplementarne, gdy ich suma wynosi 90 ° ; jeśli dwa kąty są komplementarne, mówi się, że każdy z nich jest dopełnieniem drugiego;
dwa kąty są dodatkowe, gdy ich suma wynosi 180 ° .

Nadal używamy innych wyrażeń, aby określić położenie kątów na figurze, to znaczy dokładniej, względne położenie sektorów kątowych:

dwa kątowe sektory znajdują się naprzeciw siebie u góry, gdy mają tę samą górę, a boki jednego są przedłużeniem tych drugiego. W tym przypadku odpowiednie kąty są równe.
dwa sektory kątowe sąsiadują ze sobą, gdy mają ten sam wierzchołek, wspólny bok, a ich przecięcie jest równe temu wspólnemu bokowi. Kąty są dodawane, biorąc pod uwagę sumę tych sektorów.
że co drugi zewnętrzny kąty i kąty wewnętrzne alternatywne są utworzone przez dwie proste linie przecinają się siecznej . Te kąty mają tę samą miarę, gdy dwie proste są równoległe.

Zauważ, że dwa uzupełniające się lub dodatkowe kąty niekoniecznie sąsiadują ze sobą: Na przykład w trójkącie prostokątnym ABE w B kąty Â i Ê są komplementarne.

W ramach rozszerzenia definiujemy również kąty między półprostymi, odcinkami linii i wektorami , wydłużając linie przenoszące te obiekty do ich przecięcia. Definicja za pomocą półprostych lub wektorów umożliwia usunięcie nieokreśloności między dodatkowymi kątami, to znaczy określenie bez niejasności, którego sektora kątowego użyć do zdefiniowania nachylenia kierunków.

Kąt geometryczny

Kąt geometryczny jest w terminologii klasa równoważności pary połówek linii o tym samym pochodzeniu, dwie takie pary są uważane za równoważne, gdy są one nakładają .

Jeśli zauważymy kąt geometryczny związany z parą półprostych , otrzymamy (przez symetrię w stosunku do dwusiecznej ) :, to znaczy, że ten kąt zależy tylko od pary . ${\ displaystyle {\ widehat {xOy}}}$ ${\ Displaystyle \ lewo ([Ox), [Oy) \ prawej)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {xOy}} = {\ widehat {yOx}}}$ ${\ displaystyle \ {[Ox), [Oy) \}}$

Kąt najistotniejszy i kąt wchodzenia skojarzony z taką parą ( patrz powyżej ) odpowiadają zatem, zgodnie z tą nową terminologią, temu samemu „kątowi geometrycznemu”, którego preferowanym reprezentantem jest kąt wystający (mierzony między 0 a 180 ° ).

Można to interpretować na kilka sposobów: rozbieżność między dwoma kierunkami, kierunki ścian obiektu (róg), kierunek względem północy (kąt podawany przez kompas) ... Kąt można również interpretować jako otwarcie sektor kątowy. Jest to miara nachylenia jednej półprostej względem drugiej.

Jeżeli tłumaczenie przekształca się i na to nie zmienia kąt geometryczne: . Możemy zatem zdefiniować kąt geometryczny dwóch niezerowych wektorów i jako kąt między dwiema półprostymi skierowanymi przez te dwa wektory i o dowolnym wspólnym pochodzeniu. Lub jeszcze raz: dwie pary i wektory niezerowe są równoważne (reprezentują ten sam kąt geometryczny), jeśli istnieje izometria wektorów, która przekształca wektory jednostkowe i na i . (W ten sposób definiujemy relację równoważności między parami, ponieważ izometrie wektorów tworzą grupę .) $[Wół)$ ${\ displaystyle [O'x ')}$ ${\ displaystyle [Oy)}$ ${\ displaystyle [O'y ')}$ ${\ displaystyle {\ widehat {x'O'y '}} = {\ widehat {xOy}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}}}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}} ', {\ vec {v}}')}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ vec {u}} {\ | {\ vec {u}} \ |}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ vec {v}} {\ | {\ vec {v}} \ |}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {u}} '} {\ | {\ vec {u}}' \ |}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {{\ vec {v}} '} {\ | {\ vec {v}}' \ |}}}$

Kąty zorientowane w płaszczyźnie

Wielostronne podejście

Prezentacja zorientowanych kątów na płaszczyźnie może odbywać się w sposób intuicyjny lub bardziej formalistyczny.

Pierwsze podejście polega na postrzeganiu kąta jako śladu obrotu: obrót, który wysyła półprostą (Ox) na półprostą (Oy), jest generalnie inny niż wysyłanie (Oy) na (Ox). Kąty (Ox, Oy) i (Oy, Oy) są wtedy uważane za różne, co wskazuje, że mają tę samą miarę, ale różne kierunki ruchu.

Inne podejście polega na pomieszaniu kąta zorientowanego i jego miary. Podejście to wymaga zdefiniowania wcześniejszej orientacji planu, aby móc zdefiniować tzw. Znaczenie pozytywne . Jest to podejście, które znajdujemy, definiując miarę zorientowanego kąta pary wektorów jednostkowych za pomocą długości zorientowanego łuku kołowego, którą określa ona na okręgu jednostkowym.

Ostatnie, bardziej sformalizowane podejście polega na postrzeganiu kąta zorientowanego jako klasy równoważności par półprostych wektora modulo rotacje płaszczyzny, czyli co jest tym samym, co orbity par półprostych wektorów przez działanie grupowe. dodatnie izometrie.

Następnie zostaną przedstawione podejścia długości łuków okręgów i jako klasy równoważności. Używając tych samych technik, co powyżej, sprowadza się to do tego samego, jeśli mówimy o kątach, rozważenie dwóch półprostych tego samego początku, dwóch niezerowych wektorów lub dwóch wektorów jednostkowych. Dlatego ograniczamy dyskusję do tego ostatniego przypadku.

Zorientowane łuki

Na okręgu o środku O i promieniu 1 definiujemy tzw. Dodatni kierunek jazdy , na ogół kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara, zwany kierunkiem trygonometrycznym. Jeśli A i B są dwoma punktami okręgu, nazywamy długością zorientowanego łuku AB, długością dowolnej trasy na okręgu zaczynającej się od punktu A i dochodzącej do B. Istnieje kilka możliwych tras polegających na dodawaniu pełnych zakrętów przejechanego okręgu w kierunku dodatnim lub ujemnym. Ponieważ długość $a$ jest znana, wszystkie inne długości zorientowanego łuku mają zatem postać $a + 2 k π,$ gdzie $k$ jest dowolną względną liczbą całkowitą. Długość odpowiadająca najkrótszej drodze prowadzącej z punktu A do B nazywana jest głównym pomiarem łuku AB (jeśli istnieją dwie możliwe ścieżki, wybierana jest ta o dodatnim pomiarze). Dlatego miarą główną jest liczba należąca do przedziału] -π, π].

Niech i będą dwoma wektorami jednostkowymi, a A i B punktami takimi, że i , miarą kąta zorientowanego nazywamy dowolną długość zorientowanego łuku AB. Dlatego też główna miara kąta przyjmuje jako wartość bezwzględną miarę kąta geometrycznego . Znak tego głównego pomiaru jest dodatni, jeśli najkrótsza droga od A do B przebiega w kierunku bezpośrednim, w przeciwnym razie jest ujemny. Dwie pary wektorów o tej samej miary definiują ten sam zorientowany kąt. ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ overrightarrow {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {OB}}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle {\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}}$

W tym podejściu konieczne jest, aby „uzwojenie” rzeczywistej linii na okręgu było postrzegane jako naturalne, uzwojenie, które nadal musiałoby zostać sformalizowane.

Zorientowane kąty wektorów według klas równoważności

Płaszczyzna ma następującą osobliwość w porównaniu z wyższymi wymiarami : można udoskonalić relację zgodności zdefiniowaną dla kąta geometrycznego w taki sposób, że pary i nie reprezentują więcej tego samego kąta w ogóle. W tym unika udziałem odbicia wśród izometrycznych upoważniony zdefiniować powiązanie między pary, to znaczy, że jedna granice siebie do podgrupy z obrotami o płaszczyzny wektora (w wymiarze 3 na przykład, ograniczenie to nie ponieważ dwie pary są przekształcane od siebie nie tylko przez odbicie względem płaszczyzny dwusiecznej, ale także przez obrót o pół obrotu). Prowadzi to do następującej definicji: ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}})}$ ${\ displaystyle ({\ vec {v}}, {\ vec {u}})}$

Zorientowany kąt wektorów jest klasą równoważności

(Teraz rezygnujemy z tradycyjnych strzałek na wektorach).

Dwie pary (u, v) i (u ', v') wektorów jednostkowych płaszczyzny reprezentują ten sam zorientowany kąt, jeśli istnieje obrót g taki, że u '= g (u) i v' = g (v).

Niewłaściwie myląc parę i kąt zorientowany, który reprezentuje, otrzymujemy na przykład: (–u, –v) = (u, v) o pół obrotu g = - Id .

Ta nowa relacja równoważności jest drobniejsza niż ta, która definiuje kąty geometryczne. Dokładniej, jako klasa równoważności, kąt geometryczny jest sumą dwóch zorientowanych kątów i . ${\ displaystyle {\ widehat {(u, v)}}}$ $(u, v)$ ${\ displaystyle (v, u)}$

Każdy zorientowany kąt odpowiada obrotowi

Biorąc pod uwagę dwa wektory jednostkowe, istnieje jeden obrót płaszczyzny, który przesyła pierwszy do drugiego.

Ta wyjątkowość umożliwia zdefiniowanie aplikacji, która z parą (u, v) wektorów jednostkowych wiąże rotację f w taki sposób, że f (u) = v.

Ta mapa T: (u, v) ↦ f, od par wektorów do obrotów, „ przechodzi do ilorazu ”, a tym samym definiuje bijection S, z kątów skierowanych w kierunku obrotów. W rzeczy samej :

Twierdzenie - (u, v) i (u ', v') reprezentują ten sam zorientowany kąt wtedy i tylko wtedy, gdy obrót, który wysyła u na v, jest taki sam, jak ten, który wysyła u 'na v'.

Wynika to z faktu, że grupa obrotów płaszczyzny wektora jest abelowa .

Demonstracja

Z definicji (u, v) i (u ', v') reprezentują ten sam zorientowany kąt wtedy i tylko wtedy, gdy obrót, który wysyła u na u 'jest taki sam, jak ten, który wysyła v na v', innymi słowy: T (u, u ') = T (v, v'). Przez przemienność grupy obrotów jest to równoważne T (u ', v) ∘T (u, u') = T (v, v ') ∘T (u', v), tj. T (u, v) = T (u ', v').

Zorientowane kąty wektorów tworzą grupę

Korzystając z tego bijekcji S, możemy następnie „odwzorować” abelową strukturę grupy (en) grupy obrotów na zbiorze kątów, to znaczy zdefiniować dodanie kątów ze składu obrotów, ustawiając:

(u, v) + (z, t): = S ^ {- 1} [S (u, v) \ circ S (z, t)]

Z tym dodatkiem zorientowane kąty wektorów tworzą grupę abelową.
Mając T (u, v) ∘ T (v, w) = T (u, w), otrzymujemy dla kątów relację Chaslesa (u, v) + (v, w) = (u, w).
Kąt zerowy odpowiada tożsamości: (u, u) = 0.
(v, u) + (u, v) = (v, v) = 0, a zatem (v, u) jest przeciwieństwem (u, v) (por. rysunek powyżej).
Każdy kąt jest podzielny przez n na n sposobów. Na przykład dla n = 2:
- dwa kąty, których podwójny jest kątem zerowym (u, u), to kąt płaski (u, –u) i kąt zerowy;
- istnieją dwa kąty proste, rozwiązania 2 (u, v) = (u, –u).

Wpływ izometrii na zorientowane kąty wektorów

Bezpośrednie izometrie (obroty) z definicji zachowują zorientowane kąty wektorów.
Pośrednie izometrie (odbicia) przekształcają dowolny zorientowany kąt wektorów na przeciwny kąt, ponieważ dla dowolnej linii D kąt może być zawsze reprezentowany przez parę (u, v), z których D jest dwusieczną, a odbicie osi D zamienia następnie u i v.

Cóż, prawie prawdziwa miara kątów

Na kątach zorientowanych zdefiniujemy miarę w taki sposób, aby miara sumy była równa sumie miar (dla kątów geometrycznych moglibyśmy częściowo zdefiniować dodatek kątów i odpowiadających im miar: tylko dla „niezbyt dużych” kątów).

Wybór jednej z dwóch możliwych orientacji płaszczyzny determinuje jeden z dwóch izomorfizmów grupy obrotów z grupą SO (2) macierzy obrotów płaskich lub z grupą U liczb zespolonych modułu 1 . Wykładniczą o wartościach zespolonych , a następnie sprawia, że jest możliwe, aby określić środek kąta obrotu z dokładnością do 2n lub „modulo 2π” (w radianach). Jeśli θ jest miarą kąta obrotu f = T (u, v), powiemy, że θ jest również miarą zorientowanego kąta wektorów (u, v).

Na przykład, miara kąta prostego kierunku bezpośredniego jest zapisywana:

{\ Displaystyle \ theta = {\ Frac {\ pi} {2}} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z}}

lub

{\ displaystyle \ theta \ equiv {\ frac {\ pi} {2}} {\ pmod {2 \ pi}}}

Podsumowując, orientacja wybranej płaszczyzny, miara zorientowanego kąta wektorów jest określona przez:

{\ Displaystyle (u, v) \ mapsto {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ koniec {pmatrix}} \ leftrightarrow \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \ leftrightarrow \ theta \ mod 2 \ pi}

gdzie macierz jest macierzą T (u, v) w dowolnej bezpośredniej bazie ortonormalnej .

Jest to izomorfizm grupy kątów zorientowanych w grupie addytywnej „rzeczywistego modulo 2π” . Zatem pomiar kątów jest ostatecznie addytywny.

Pamiętaj jednak, że zależy to od wyboru orientacji strzału : odwrócenie tego wyboru zmienia wszystkie takty na ich przeciwieństwa . Odnajdujemy tutaj fakt, że kąt geometryczny o miary α między 0 a π odpowiada dwóm przeciwnie zorientowanym kątom, przy czym przypisanie (modulo 2π) miary α jednemu, a zatem –α drugiemu jest funkcją orientacji samolotu.

Ponadto Daniel Perrin i Jean Dieudonné zwracają uwagę, że nie możemy mówić ściśle o pomiarach, ponieważ nie jest możliwe porównanie dwóch pomiarów kątów.

Zorientowany kąt dwóch linii

W płaszczyźnie zorientowany kąt dwóch prostych jest klasą modulo π zorientowanego kąta utworzonego przez ich wektory kierunkowe. Ta praca modulo π wynika z faktu, że możemy przyjąć jako wektor kierujący prostą u lub -u, a zamiana wektora na jego przeciwne wartości jest równoznaczna z dodaniem π do miary odpowiedniego kąta.

Kąty zorientowane liniowo służą do określenia kąta obrotu składającego się z dwóch odbić. Pojęcie to jest również przydatne w przypadku wszystkich problemów związanych z dopasowaniem i cyklicznością.

Kąty w przestrzeni

Dwie przecinające się linie są koniecznie współpłaszczyznowe, więc kąt między liniami jest zdefiniowany w tej płaszczyźnie w taki sam sposób, jak powyżej.

W przestrzeni nie ma pojęcia zorientowanego kąta prostych, ale możemy zdefiniować kąt dowolnych dwóch prostych w przestrzeni, siecznych lub nie, pod warunkiem pracy na ich wektorach kierunkowych. Kąt dwóch linii nazywany jest kątem geometrycznym utworzonym przez ich wektory kierunkowe. Na ogół istnieją dwie możliwe wartości tego kąta, w zależności od wybranych wektorów kierunkowych. Czasami preferowany jest najmniejszy kąt. Zatem kąt między dwiema równoległymi prostymi wynosi zero, a kąt między dwiema prostymi prostymi wynosi 90 ° lub π / 2 rad.

Kąt dwóch linii wektorów kierunkowych uiv można wyznaczyć za pomocą iloczynu skalarnego: jest to kąt, którego cosinus jest równy . ${\ Displaystyle {\ Frac {| u \ cdot v |} {\ | u \ | \ | v \ |}}}$

Możemy również rozważyć sąsiednie pojęcie kąta dwóch osi, w którym orientacja osi narzuca jedną wartość na kąt, który tworzą.

Aby zdefiniować kąt między dwiema płaszczyznami lub kąt dwuścienny , bierzemy pod uwagę kąt utworzony przez ich normalne .

Aby zdefiniować kąt między płaszczyzną a prostą, bierzemy pod uwagę kąt α między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę lub kąt dopełniający między prostą a normalną do płaszczyzny: odejmujemy kąt β między prostą a normalna do płaszczyzny kąta prostego (α = π / 2 - β w radianach).

Definiujemy również kąty bryłowe : bierzemy punkt (czasami nazywany „punktem obserwacyjnym”) i powierzchnię w przestrzeni („powierzchnia obserwowana”), kąt bryłowy jest częścią przestrzeni ograniczoną przez stożek, którego wierzchołkiem jest rozważany punkt i spoczywa na konturze powierzchni. Mierzymy kąt bryłowy obliczając pole powierzchni nasadki przeciętej przez stożek na kuli o promieniu jeden i centrując wierzchołek stożka. Jednostką miary kąta bryłowego jest steradian (w skrócie sr), pełna przestrzeń to 4π sr.

Stosowanie kątów

W geodezji ( geografii ):
- azymut : kąt względem osi północ-południe na płaszczyźnie zawierającej tę oś i punkt celu, liczony w stosunku do północy liczony zgodnie z ruchem wskazówek zegara;
- szerokość geograficzna : kąt wyznaczony przez pion zaczynający się od punktu i idący do środka Ziemi w stosunku do płaszczyzny równika; punkty o tej samej szerokości geograficznej tworzą tak zwany „równoległy” okrąg;
- długość geograficzna : kąt umożliwiający zlokalizowanie się na Ziemi: kąt utworzony przez płaszczyznę zawierającą oś północ-południe i rozpatrywany punkt, zwany „płaszczyzną południka”, z płaszczyzną odniesienia zawierającą również oś północ-południe; przecięcie płaszczyzny południka z powierzchnią Ziemi jest półkolem zwanym południkiem . Południkiem odniesienia jest „ południk Greenwich ”;
- linia wysokości : położenie obliczonego punktu, w tym azymut i różnica kątowa, w stosunku do szacowanego punktu;
- nachylenie : styczna kąta terenu w stosunku do poziomu.
W astronomii :
- azymut (lub azymut): podczas celowania w punkt od środka Ziemi, kąt względem osi północ-południe na płaszczyźnie zawierającej tę oś i punkt celu, liczony w odniesieniu do południa;
- pozorna średnica : kąt, pod którym widzimy obiekt lub gwiazdę;
- odległość zenitalna : kąt między pionem a punktem docelowym;
- wysokość : kąt między poziomem a punktem docelowym;
- nachylenie : kąt między płaszczyzną orbity ciała niebieskiego a płaszczyzną odniesienia;
- paralaksa : kąt utworzony przez spojrzenie osoby, która ustala dowolny punkt obiektu i zmienia jego położenie;
- nadir : kąt prosty w dół w pionie do horyzontu obserwatora;
- zenit : pod kątem prostym do góry pionowo do horyzontu obserwatora.

Ponadto pojęcie kąta umożliwia zdefiniowanie jednostki długości, parseku .

W optyce geometrycznej :
- kąt padania: kąt między wektorem a wektorem powierzchni, na przykład w odbiciu i załamaniu , kąt między promieniem światła a normalną do powierzchni dioptrii;
- paralaksa .
W aerodynamice :
- kąt natarcia ;
- talerz .
W balistyce :
- wzrost .
bezpieczeństwo
- martwy punkt ;
- Kąt strzału 30 ° .

Uwagi i odniesienia

Matematyka , CEPL, pot. „Encyklopedie współczesnej wiedzy”,1975( czytaj online ) , s. 154.
Nadine Jacob, Claude Courivaud, Matematyka. Po trzecie , Brevet Sequence, Bréal, s. 200
Dany-Jack Mercier, Aktualizacja AGA: Zrównoważony przegląd algebry, geometrii i motywów arytmetycznych , vol. 1,2011( czytaj online ) , s. 242.
Matematyka CRPE , t. 2, Dunod,2017( czytaj online ) , s. 51.
Michèle Audin , Geometry ( L3 M1) , Les Ulis, EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 420 s. ( ISBN 978-2-86883-883-4 , uwaga BnF n o FRBNF40151336 , czytaj online ) , s. 79-80.
Ta prezentacja jest taka, którą można znaleźć na przykład w nauczaniu języka francuskiego w czwartej klasie w 1988 r. IREM w Strasburgu, Matematyka - 4th -collectinn Istra, str. 236)
Takie podejście zaproponował Daniel Perrin w A propos d'angles Oriented , str. 2.
Tę prezentację można znaleźć na przykład w nauczaniu francuskiego w drugiej klasie w 1994 roku (Terracher Collection, Math - Seconde - Hachette education, str. 189)
Marcel Berger, Géométrie T.2 Przestrzenie euklidesowe, trójkąty, koła i kule, Cedic Fernand Nathan, 1977, s. 42
GEPS matematyki, dokument towarzyszący 1er S, 08-01-2001, P. 7/30
Chyba że jest to kąt płaski lub kąt zerowy .
Audin 2006 , s. 73-74.
Audin 2006 , s. 75.
Audin 2006 , s. 76.
Daniel Perrin, About zorientowane kąty , str.4.
Marie-Claude Davis, Frédéric Haglund i Daniel Perrin, Euklidesowa geometria afiniczna , Capes 2009-2010, Université Paris sud Orsay, s. 27-28.
„Kąt dwóch linii” arkusz na geometrii i teorii algorytmów stronie Uniwersytetu w Liège
Collective (reż. W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner) ( przetłumaczone pod kierunkiem Jacques-Louis Lions, profesora w College de France), Mała encyklopedia matematyki [„Kleine Enzyklopädie der Mathematik »], Paryż, Didier ,1997( 1 st ed. 1980), 896 , str. ( ISBN 978-2-278-03526-7 ) , str. 585.
Zakładamy tutaj, że Ziemia jest kulista, co nie jest do końca prawdą: jej ogólny kształt jest lekko spłaszczony na dwóch biegunach, a na jej powierzchni występują nierówności (rowy oceaniczne, góry).

Zobacz też

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

(en) " Angles " , w Math Open Reference
(en) David A. Wallis, „History of Angle Measurement” , w: Proceedings, FIG Workshop Week 2005 i 8th International Conference on the Global Spatial Data Infrastructure , Kair ,Kwiecień 2005( czytaj online )

Bibliografia

Gilles Cohen (reż.), Les angles sous tous les angles , Bibliothèque Tangente, Number 53, Editions Pôle Paris, 2015, (prezentacja online) .