Wielokąt

W geometrii euklidesowej , A wielokąt (od greckiego POLUS , wielu i Goniá , kąt ) jest płaska geometryczna postać utworzona z linii łamanej (zwany również łamana ) są zamknięte, to znaczy cykliczną sekwencję kolejnych segmentów .

Segmenty nazywane są krawędziami lub bokami, a końce boków są nazywane wierzchołkami lub narożnikami wielokąta.

Mówi się, że wielokąt jest przecinany, jeśli przecinają się co najmniej dwa niekolejne boki, a prosty, jeśli przecięcie dwóch boków jest puste lub zredukowane do wierzchołka dla dwóch kolejnych boków. Suma kątów wielokąta prostego ( wypukłego lub nie) zależy tylko od jego liczby wierzchołków.

W przypadku prostych wielokątów często mylimy wielokąt i jego wnętrze, nazywając powierzchnię wielokąta ograniczoną zamkniętą linią wielokąta.

Pojęcie wielokąta jest uogólnione:

na powierzchni , na figurach których boki są odcinkami o dużym okręgu (linia najkrótsza odległość), na przykład w zakresie od tych sferycznych wielokątów (których boki są łuki o dużym okręgu );
w wymiarze 3 przez wielościany iw dowolnym wymiarze przez wielościany .

Słownictwo podstawowe

Wielokąt składa się z:

skończona seria z punktów na płaszczyźnie nazywa wierzchołków ;
odcinki łączące pary kolejnych wierzchołków oraz odcinek łączący pierwszy i ostatni punkt, przy czym wszystkie te odcinki nazywamy bokami .

Wielokąt jest zwykle wyznaczany przez zestawienie liter oznaczających wierzchołki, w kolejności poniżej.

Oznaczenie wielokąta w całej ogólności jest zatem zapisane A 1 A 2 A 3 ··· A n , złożone z n wierzchołków i n odcinków [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],… , [ A n – 1 , A n ] i [A n , A 1 ].

Każdy wierzchołek różniący się od swoich dwóch sąsiadów jest powiązany z wewnętrznym kątem : jest to kąt pomiędzy dwoma bokami, które kończą się na wierzchołku.

Obwód wielokąta to suma długości jego boków.

Kolejność wielokąta

Zamówienie wielokąta oznacza liczbę boków. Jest to oczywiście również liczba jego wierzchołków lub jego kątów.

Przeciwne elementy

Jeśli kolejność wielokąta jest parzysta :
- wierzchołki oddzielone bokami są podobno „przeciwstawne” sobie; ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$
- to samo dla odpowiednich kątów;
- mówi się również, że boki oddzielone wierzchołkami są „przeciwne” do siebie. ${\ displaystyle {\ frac {n} {2}}}$
Jeśli kolejność wielokąta jest nieparzysta , boki są „przeciwne” do wierzchołków i kątów (i odwrotnie); dokładniej, każdy wierzchołek (lub każdy kąt) jest „przeciwny” do boku znajdujących się dalej wierzchołków. ${\ frac {n-1} 2}$

Rozszerzone i ukośne boki

Linie, które mają boki wielokąta, nazywane są przedłużonymi bokami tego wielokąta.

Przekątnej wielokąta jest segment, który łączy dwa nie-kolejne wierzchołki, to jest segment, który łączy dwa wierzchołki, które nie jest boku wielokąta.

Wielokąt o n bokach ma więc przekątne. ${n \ wybierz 2} -n = {\ frac {n (n-3)} 2}$

Typologia wielokątów

Istnieje wiele sposobów klasyfikacji wielokątów: według ich wypukłości , ich symetrii , ich kątów ... Ale najpierw klasyfikujemy je według liczby boków.

Klasyfikacja według liczby boków

Wielokąty można klasyfikować między sobą zgodnie z ich kolejnością .

Mówi się, że wielokąty rzędu 1 i 2 są zdegenerowane: odpowiadają one odpowiednio punktowi i segmentowi , a zatem mają w szczególności obszar zerowy .

Najbardziej podstawowym niezdegenerowanym wielokątem jest trójkąt .

Dalej jest czworobok rzędu 4.

Od rzędu 5 każda nazwa wielokąta składa się z greckiego rdzenia odpowiadającego porządkowi wielokąta, po którym następuje przyrostek -gone .

Aby znaleźć swoją drogę wokół nazewnictwa wielokątów, należy pamiętać, że -kai- środki „i” w języku greckim , a -conta- oznacza „dziesięć”. Na przykład słowo triacontakaiheptagon oznacza trzy ( tria- ) dziesiątki ( -conta- ) i ( -kai- ) siedem ( -hepta- ) jednostek, a zatem odpowiada wielokątowi o trzydziestu siedmiu bokach, „i” tutaj interpretowane jak " więcej ".

Poza 12 bokami zwyczajowo mówi się o wieloboku o n bokach .

Istnieje jednak kilka starożytnych nazw „okrągłych” liczb, takich jak wielokąt z dwudziestoma bokami (icosa-), sto boków (hekto-), tysiąc boków (chilio-) i dziesięć tysięcy boków (myria-).

Nazwy wielokątów

d'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1. wyd. , t. Tom 12,1751( przeczytaj na Wikiźródłach ) , s. 941-943

Encyklopedia podaje zasadę, do której należy dodać numerację starożytnej greki.

1 strona zdegenerowana: henagon lub monogon
2 zdegenerowane strony: digone lub segment
3 boki: trójkąt lub trygon
4: czworokąt lub czworokąt
5: pięciokąt
6: sześciokąt
7: siedmiokąt
8: ośmiokąt
9: enneagone lub nonagon
10: dziesięciokąt
11: dziesięciokąt
12: dwunastokąt
13: tridecagon lub triskaidecagon
14: tetradekagon lub tetrakaidecagon lub quadridecagon
15: pentadecagon lub penakaidecagon lub quidecagon
16: szesnastokąt foremny lub hexakaidecagon
17: heptadekagon lub heptakaidecagon
18: oktadekagon lub oktakajkagon
19: enneadecagon lub enneaakaidecagon
20: ikosagon
21: henicosagone lub icosikaihenagone
22: doicosagone lub icosikaidigone
23: triaicosagone lub icosikaitrigone
24: tetraicosagon lub dwudziestoczterościanu
25: pentaicosagon lub icosikaipentagone
26: hexaicosagon lub icosikaihexagon
27: heptaicosagone lub icosikaiheptagon
28: octaicosagon lub icosikaioctagon
29: ennéaicosagon lub icosikaienneagone
30: triakontagon
31: hentriacontagon lub triacontakaihenagone
32: dotriacontagone lub triacontakaidigone
33: tritriacontagon lub triacontakaitrigone
34: tetratriacontagon lub triacontakaitetragon
35: pentatriacontagon lub triacontakaipentagon
36: hexatriacontagon lub triacontakaihexagon
37: heptatricontagon lub triacontakaiheptagon
38: octatricontagon lub triacontakaiooctagon
39: ennéatriacontagon lub triacontakaiennégone
40: tetrakontagon
50: pentakontagon
60: sześciokąt
70: heptakontagon
80: ośmiokąt
90: enneacontagon
100: hektagon lub hekatontagon
200: dwusześciokąt
300: trihektagon
400: czworokąt
500: pięciokąt
600: sześciobok
700: siedmiokąt
800: ośmiokąt
900: enneahectogone
1000: chiliogone lub chiliagone lub chiligone
10000: myriagon lub myriogone

Te same zasady odnoszą się do wielościanów , gdzie wystarczy zastąpić przyrostek -gone przyrostkiem -èdre .

Klasyfikacja według wypukłości

Wielokąt krzyżowy

Mówi się, że wielokąt jest przecinany, jeśli co najmniej dwa z jego boków przecinają się , to znaczy, jeśli co najmniej dwa z jego niekolejnych boków przecinają się. Tak jest w przypadku przeciwnego pięciokąta ABCDE .

Prosty wielokąt

Mówi się, że wielokąt jest prosty, jeśli dwa nienastępujące po sobie boki nie spotykają się, a dwa kolejne boki mają tylko jeden wspólny wierzchołek. Wielokąt prosty jest zawsze nieskrzyżowany.

Następnie tworzy krzywą Jordana , która wyznacza ograniczoną część płaszczyzny, zwaną jej wnętrzem . Obszar o prostym wielokąta jest nazywany obszarem jego wnętrzu.

Wielokąt niewypukły

Mówi się, że prosty wielokąt jest niewypukły, jeśli jego wnętrze nie jest wypukłe , innymi słowy, jeśli jedna z jego przekątnych nie znajduje się całkowicie w jego wnętrzu.

Na przykład, przeciwległy pojedynczy pięciokąt ACDBE nie jest wypukły, ponieważ przekątne [B, C] i [C, E] nie znajdują się wewnątrz wielokąta. Otwarty segment ] B, C [jest nawet całkowicie na zewnątrz. Istnienie takich „usta” jest ogólną własnością prostych wielokątów niewypukłych.

Wielokąt wypukły

Mówi się, że wielokąt jest wypukły, jeśli jest prosty, a jego wnętrze jest wypukłe . Zatem przeciwny sześciokąt MNOPQR jest wypukły.

Klasyfikacja według symetrii

Pojęcie elementu symetrii

W symetrii wielokąta porządku n są izometrie z euklidesowej płaszczyzny które permutacji zarówno jego n wierzchołki i jego n krawędzie. Taka mapa afiniczna koniecznie ustala izobarycentrum G wierzchołków, dlatego może być tylko dwojakiego rodzaju:

symetrii osiowej , którego oś przechodzi przez G ;
obrót o środku G , której kąt (w radianach ) jest wielokrotnością 2 π / n , albo: z formą 2π p / q , w którym P / Q oznacza ułamek nierozkładalny i Q jest dzielnikiem z N ( Q jest kolejność obrotu, który wskazuje, ile razy zastosować obrót, aby powrócić do punktu początkowego: na przykład obrót rzędu 2, czyli kąta π, jest symetrią środka G ).

Zestaw symetrii dowolnej figury płaskiej jest podgrupą z grupy płaszczyzny izometrycznych. Rzeczywiście, kiedy skomponujemy dwie z tych symetrii lub jeśli weźmiemy odwrotną bijekcję jednej z nich, rezultatem jest nadal symetria figury.

Symetrie wielokąta rzędu n tworzą nawet skończoną grupę , która jest równa dla pewnego dzielnika d liczby n :

lub cykliczną grupę C d o d obrotów kąty wielokrotności 2π / d (jeśli d = 1, to grupa trywialna , redukuje się do mapy tożsamości : wielokąt ma „element symetrii”);
lub do grupy dwuściennej D d złożonej z tych d obrotów i d symetrii osiowych (jeśli d = 1, jedynym „elementem symetrii” wielokąta jest wtedy oś symetrii).

Koncepcja wielokąta regularnego

Mówi się, że wielokąt rzędu n jest regularny, jeśli jest równoboczny (równe boki) i równokątny (równe kąty), lub jeśli jest „tak symetryczny, jak to możliwe”, to znaczy, jeśli jego grupa symetrii to D n . W tym celu wystarczy, aby wielokąt miał n osi symetrii, lub inaczej: obrót rzędu n . Kiedy mówimy „ wielokąt foremny z rzędu n ”, to jest „ wyjątkowy ” wypukły wielokąt z tej rodziny (możemy łatwo obliczyć jego obwód i jego obszar ).O innych mówi się, że występują w roli głównej .

Kilka przykładów i kontrprzykładów

każdy trójkąt równoboczny lub równoboczny jest regularny;
te czterostronne 4 różne piki:
- równokąty są prostokątami ;
- równoboczne są diamenty ;
- regularne są więc kwadraty .

Symetria osiowa

Grupa symetrii jest dwuścienna wtedy i tylko wtedy, gdy wielokąt ma oś symetrii. Jeśli wielokąt nie jest przecinany , taka oś koniecznie przechodzi przez wierzchołek lub środek jednego boku .

Dokładniej :

w nieskrzyżowanym wieloboku nieparzystego rzędu dowolna oś symetrii przecina kąt wewnętrzny w wierzchołku i prostopadle do przeciwnej strony;
w nieskrzyżowanym wielokącie o równym porządku każda oś symetrii jest albo dwusieczną dwóch przeciwnych kątów wewnętrznych, albo dwusieczną dwóch przeciwnych boków.

Kilka przykładów

trójkąta równoramiennego jest symetryczna w stosunku do jego głównej dwusiecznej ;
czworokąty przyjmujące oś symetrii to trapezy równoramienne , latawce i antyrównoległe ;
- z równoległoboki dopuszczające oś symetrii są romby i prostokąty ;
  - prostokąta , w szczególnym przypadku w kształcie trapezu równoramiennego, posiada dwie osie symetrii, która jest prowadzona przez jej środkowych ;
  - rombu , szczególny przypadek latawca ma dwie osie symetrii, która jest prowadzona przez jego przekątne;
  - kwadrat jest regularny czworobok więc ma cztery osie symetrii: te rombu i tych prostokąta, którego jest szczególnym przypadkiem.

Centralna symetria

W wielokącie rzędu n , aby izobarycentrum było środkiem symetrii - to znaczy aby grupa symetrii C d lub D d zawierała obrót o kąt π - jest konieczne i wystarczające, aby d było parzyste, więc n musi być równa. Przeciwległe boki są wtedy równoległe i tej samej długości.

Nieskrzyżowane czworoboki o symetrii środkowej to równoległoboki.

Klasyfikacja według kątów

Wielokąt równokątny

Mówi się, że wielokąt jest równokątny, gdy wszystkie jego kąty wewnętrzne są równe. W równokątnym wielokącie wypukłym o n bokach, każdy kąt wewnętrzny mierzy (1 - 2 / n ) × 180 ° (por. § „Suma kątów” poniżej ).

Kilka przykładów

jedynym trójkątem równokątnym jest trójkąt równoboczny;
czworokąty równoramienne to prostokąty;
wszystkie regularne wielokąty są z definicji równokątami.

Kąty proste

Trójkąt prostokątny , ma kąt prosty i dwa ostre kąty .

Wypukłe czworokąty z co najmniej dwoma kątami prostymi to prostokątne trapezy i latawce z dwoma kątami prostymi (w) (złożone z dwóch trójkątów prostokątnych połączonych przeciwprostokątną).

Czworokąty z co najmniej trzema kątami prostymi to prostokąty.

Wielokąt wypukły nie może mieć więcej niż cztery kąty proste.

Inne rankingi

Wielokąt zapisywalny (w okręgu)

Mówi się, że wielokąt jest zapisywalny, gdy wszystkie jego wierzchołki znajdują się na tym samym okręgu , zwanym okręgiem ograniczonym do wielokąta . Jego boki są więc sznurkami tego koła .

Wśród czworokątów zapisywalnych znajdują się trapezy równoramienne , antyrównoległości i latawce z dwoma kątami prostymi .

Wielokąt opasujący (z kołem)

Mówi się, że wielokąt jest opisany, gdy wszystkie jego boki są styczne do tego samego okręgu, zwanego okręgiem wpisanym w wielokąt . Anglofoni i mówiący po niemiecku ochrzcili ten typ wielokąta „wielokątem stycznym”.

Przykłady opisywania czworokątów

Opisane równoległoboki to romby.
Jedynymi opisanymi czworokątami o dwóch równych sąsiednich bokach są latawce .
Twierdzenie Pitota uogólnia te dwa oświadczenia.

Wielokąt dwucentryczny

Mówi się, że wielokąt, który można zarówno opisać, jak i opisać, jest dwucentryczny (in) . Trójkąty i wielokąty foremne są dwucentryczne.

Zobacz także: „ Wielkie twierdzenie Ponceleta ” i „ Bicentryczny czworobok (w) ”.

Suma kątów

Suma kątów wewnętrznych prostego wielokąta rzędu n nie zależy od jego kształtu. Warto (w radianach i stopniach ):

{\ displaystyle S = (n-2) \ razy \ pi ~ \ mathrm {rad} = (n-2) \ razy 180 ^ {\ circ} = n \ razy 180 ^ {\ circ} -360 ^ {\ circ }.}

Rzeczywiście, ten wzór, dobrze znany dla n = 3 , jest uogólniony przez podzielenie wielokąta na n - 2 sąsiadujące ze sobą trójkąty dwa na dwa o wspólnym boku, który jest przekątną tego wielokąta (w szczególnym przypadku wielokąta wypukłego , wystarczy wziąć pod uwagę wszystkie segmenty łączące jeden wierzchołek ze wszystkimi innymi).

Innym sposobem zademonstrowania tego wzoru jest zauważenie, że (dla odpowiednio zorientowanych kątów ) suma n kątów zewnętrznych jest równa 360 °, a kąty zewnętrzny i wewnętrzny związane z tym samym wierzchołkiem mają sumę 180 ° .

Wielokąty równoważne (kombinatoryczne)

Mówi się, że dwa wielokąty są równoważne, jeśli można je uzyskać przez obrót lub odbicie od siebie.

Tak więc istnieje nierównoważnych wielokątów (kontynuacja A000940 z OEIS ). ${\ styl wyświetlania n = 3,4,5,6,7,8, \ kropki}$ ${\ styl wyświetlania 1,2,4,12,39,202, \ kropki}$

Wśród nich są chiralne ( chiralne wielokąty boków). Liczba nierównoważnych wielokątów na obrót tylko w związku z tym warto (kontynuacja A000939 z OEIS ). ${\ styl wyświetlania 2,15 130, \ kropki}$ ${\ styl wyświetlania n = 6,7,8, \ kropki}$ ${\ styl wyświetlania 1,2,4,14,54,332, \ kropki}$

Uwagi i referencje

Zobacz na przykład artykuł Polygone w słowniku Larousse.
Jest to dokładniej ciąg cykliczny, to znaczy, że pierwszy wyraz jest następcą ostatniego, a przesunięcie wyrazów ciągu opisuje ten sam wielokąt.
Kilka wierzchołków może się pokrywać w tym samym punkcie. Wierzchołek jest zatem bardziej terminem sekwencji niż obrazem na płaszczyźnie.
Samuel Verdana „ systemów liczbowych w starożytnej Grecji: opisu i perspektywy historycznej ”, CultureMATH ,20 marca 2007 r.( przeczytaj online )
Obiekt niemożliwy w geometrii euklidesowej, ale w geometrii sferycznej , może być reprezentowany przez wierzchołek umieszczony na dużym okręgu .
W 6 th jego Medytacje , Kartezjusza wykorzystuje chiliagon i myriogone aby pokazać różnicę między wyobraźni i czysty design.
Według glosariusza Math en Jeans nie ma jednomyślności w tej kwestii, niektórzy wymagają, aby spotkanie odbyło się w punkcie innym niż wierzchołek, a inni nie.
Słowniczek matematyki w dżinsach .
(w) Godfried Toussaint (w) , „ Antropomorficzny wielokąt ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , obj. 98, n o 1,1991, s. 31-35 ( DOI 10.2307 / 2324033 , czytaj online ), „ Twierdzenie 2 (Twierdzenie Jednego Usta) ” .
Koncepcja, która podobnie jak te od gwiaździstego polytope do gwiaździstej części i gwiaździstej części wielokąta (en) , formalizuje drogę do fali intuicji o „gwiaździstym kształcie”.
Obie metody są podane w COJEREM, sytuacje geometrii nauczają: 1 st / 4 th : koncepcje dla studenta , De Boeck ,1995( ISBN 978-2-8041-2230-0 , czytaj online ) , s. 163-164i przewodnik metodologiczny ( ISBN 978-2-8041-2231-7 , przeczytany online ) , s. 134-153dla szczególnego przypadku wielokąta wypukłego oraz w (en) Martin Isaacs (en) , Geometry for College Students , AMS ,2009( czytaj online ) , s. 13-14 w przypadku ogólnym.
(w) William H. Press , Numerical Recipes , UPC ,2007, 3 e wyd. ( czytaj online ) , s. 1123, Rysunek 21.4.4.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

" Wielokąt " , na mathcurve.com
G. Villemin, „ Wielokąty ” , o Liczbach – ciekawostki, teoria i zastosowania