Symetria (transformacja geometryczna)

Geometrycznych symetrii jest involutive transformacji geometrycznej zachowuje równoległość. Typowe symetrie obejmują odbicie i centralną symetrię .

Symetria geometryczna to szczególny przypadek symetrii . Istnieje kilka rodzajów symetrii w płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Uwaga : Termin symetria ma również inne znaczenie w matematyce. W grupie symetrii wyrażenia symetria oznacza dowolną izometrię . Termin ten oznacza tłumaczenie , ortogonalny automorfizm lub kombinację obu.

Symetria w płaszczyźnie

Centralna symetria (względem punktu)

Prezentacja

Symetrii środkowej O jest przekształcenie, które w każdym punkcie M, łączy punkt M „w taki sposób, O jest punkt środkowy” [mm].

Konstrukcja: Narysuj linię (d) przechodzącą przez A i O. Przedłuż ją poza O. Z kompasem skierowanym na O i odstępem równym OA, przetnij (d) w A '.

Jedynym niezmiennym punktem tej symetrii jest punkt O.

Symetria ze środkiem O to także obrót o płaskim kącie i homothety ze środkiem O i stosunkiem -1

Środek symetrii

Figura ma środek symetrii C, jeśli jest niezmienna przez symetrię środka C.

Przykłady środka symetrii:

Litery N, S i Z mają środek symetrii.
Środkiem symetrii równoległoboku jest punkt przecięcia jego przekątnych. Ta właściwość jest charakterystyczna dla równoległoboków: czworokąt ABCD posiadający tę właściwość jest z konieczności równoległobokiem.

Sześciokąt jest wielokątem, który dopuszcza do przecięcia przekątnych jako centrum symetrii.
Okrąg uznaje swój środek za środek symetrii.
W analizie krzywa równania y = f ( x ) ma środek symetrii C ( a ; b ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego rzeczywistego h takiego, że a + h należy do dziedziny definicji f , mamy
- a - h należy do dziedziny definicji
- f ( a + h ) + f ( a - h ) = 2 b

Gdy środek symetrii znajduje się na początku układu współrzędnych, mówi się, że funkcja jest nieparzysta. W tym przypadku poprzednie wyrażenie jest uproszczone do: f (- h ) = - f ( h ). Grupa centralnych symetrii-tłumaczeń

Związek dwóch symetrii o środkach O i O ', O' os O jest translacją wektorową ${\ displaystyle 2 {\ overrightarrow {OO '}}}$

Ta właściwość umożliwia określenie pierwszej grupy na przemian płaszczyzny: że z centralnych symetrie-tłumaczeń. Rzeczywiście, składając dwie centralne symetrie lub tłumaczenia, uzyskuje się centralną symetrię lub tłumaczenie. Aby otrzymać identyczną mapę, wystarczy skomponować tłumaczenie wektora u przez translację wektora - u lub samodzielnie skomponować centralną symetrię.

Centralna symetria zachowuje odległości i zorientowane kąty. Jest to zatem dodatnia izometria lub przemieszczenie . Zdefiniowana wcześniej grupa jest zatem podgrupą grupy przemieszczeń.

Symetria osiowa lub ortogonalna względem prostej

Prezentacja

Nazywa się to również odbiciami osi ( d ) . Odbiciem osi ( d ) jest przekształcenie płaszczyzny pozostawia wszystkich punktów ( d ) niezmiennika i które w każdym punkcie M , który nie znajduje się na ( d ) łączy punkt M „takie, że ( d ) jest prostopadła dwusieczna [MM ”]. Ponieważ istnieją dwie równoważne definicje dwusiecznej prostopadłej, znamy zatem dwie równoważne konstrukcje punktu M '.

Budowa

Dane: oś symetrii ( d ), temperatura .

Cel: skonstruowanie symetrii A ' A na podstawie ortogonalnej symetrii osi ( d ).

Pierwsza metoda:

Narysować linii prostopadłej do ( d ) przechodzącej przez A . Ta linia prosta przecina oś w punkcie, H . Z kompasem skierowanym na H i na zewnątrz do A , przecinaj linię ( AH ) w A '

Druga metoda:

Biorąc pod uwagę punkt B , poszukuje się punktu B 'w taki sposób, że oś ( d ) musi być prostopadłą dwusieczną [BB']. Aby skonstruować punkt B ', wykorzystamy następującą właściwość: Dowolny punkt prostopadłej dwusiecznej segmentu jest w równej odległości od końców tego odcinka . Wybieramy dowolne dwa punkty c1 i c2 z ( d ) i określimy punkt B 'taki, że c1B = c1B' i c2B = c2B '. Jesteśmy więc pewni, że ( c1c2 ), czyli d , jest prostopadłą dwusieczną [BB ']. Wybierz c1 i c2 w ( d ). Umieść punkt suchego kompasu c1 i rozprzestrzenił się na drugiej gałęzi B . Narysuj łuk. Zrób to samo z suchą igłą w c2 . Te dwa łuki przecinają się w punktach B i B '.

Oś symetrii

Figura ma oś symetrii ( d ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezmienna przez odbicie osi ( d )

Przykłady typowych liczb:

Litery A, B, C, c, D, E, K, l, M, T, U, V, v, W, w generalnie mają oś symetrii w wielu prostych czcionkach (nie kursywą i bez kursywy).
Koło ma nieskończoność osi symetrii: wszystkich średnic . Czasami może to mieć miejsce w przypadku powiększonych liter O i o (nie kursywą i bez kursywy).
Każdy kąt zawsze ma oś symetrii: swoją dwusieczną . Czasami może tak być w przypadku powiększonej litery L (nie kursywą i bez kursywy).
Równoramienny trójkąt ma oś symetrii: jego główny dwusiecznej. Tak jest na ogół w przypadku wielkiej greckiej litery delta Δ (nie kursywą i bez kursywy).
Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii: jego 3 rzeczownik.
Diament ma 2: 2 jego przekątnych .
Prostokąta ma 2. Jego 2 mediany .
Kwadrat ma 4: 2 jego przekątne (ponieważ jest romb) oraz jej 2 Mediany (ponieważ jest prostokątem).
W analizie krzywa z równania y = f ( x ) ma oś symetrii równania x = a wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego h takiego, że ( a + h ) należy do dziedziny definicji f , mamy:
- ( a - h ) należy do dziedziny definicji, a
- f ( a + h ) = f ( a - h );
gdy osią symetrii jest oś ( Oy ), czyli tutaj równanie osi x = 0 (a więc przy a = 0), to funkcję tę nazywamy parą : f ( h ) = f (- h )

Figura z dwiema prostopadłymi osiami symetrii ma jako środek symetrii punkt przecięcia dwóch prostych. Na przykład litery H, I, O, X w prostych czcionkach (nie kursywą i bez kursywy) często mają dwie prostopadłe osie symetrii, a więc także środek symetrii, podobnie jak prostokąt, romb i kwadrat.

Odbicie i grupa izometrii

Odbicie zachowuje odległości i kąty. Jest to zatem izometria . Ale nie zachowuje orientacji (patrz chiralność ). Mówią, że to przeciwdziałanie przemieszczeniu.

Kompozycja odbić

Złożenie dwóch odbić od równoległych osi jest translacją, z odległością równą dwukrotnej odległości między tymi osiami. Na obrazku obok, właściwości wektorowe nośnika pozwalają nam to powiedzieć ${\ displaystyle {\ overrightarrow {MM ''}} = 2 {\ overrightarrow {HH '}} = 2 {\ vec {u}}}$
Złożenie dwóch odbić siecznych osi jest obrotem o kącie równym dwukrotności kąta utworzonego między dwiema osiami. Na ilustracji obok właściwości dwusiecznych pozwalają nam to powiedzieć ${\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {OM}}, {\ overrightarrow {OM ''}} \ right) = 2 \ left ({\ overrightarrow {OH}}, {\ overrightarrow {OH '}} \ right) = 2 \ alpha}$

Następnie zauważamy, że zbiór odbić generuje cały zbiór izometrii.

Ukośna symetria

Symetria w odniesieniu do prostej ( d ) biegnącej w kierunku (d ') (nierównoległej do ( d )) jest przekształceniem, które pozostawia niezmienne wszystkie punkty ( d ) i w którymkolwiek punkcie M nie znajduje się na ( d) ) ) skojarzyć punkt M 'w taki sposób, że prosta (MM') jest równoległa do (d '), a środek [MM'] jest na ( d )

Ta symetria jest involutive: symetryczny M ' jest M . Oferuje mniejsze zainteresowanie niż jego kuzyni, ponieważ nie trzyma dystansu: zniekształca dane. Jednak zachowuje centra barycentrum i dlatego jest częścią przekształceń afinicznych.

Symetria w przestrzeni

Centralna symetria

Znajdujemy tę samą definicję i te same właściwości, co dla centralnej symetrii w płaszczyźnie, z tym wyjątkiem, że centralna symetria nie zachowuje orientacji w przestrzeni.

Mężczyzna podnosi prawą rękę, a jego wizerunek podnosi lewą rękę.

Symetria ortogonalna względem prostej

Znajdujemy tę samą definicję, co w planie. Symetria ortogonalna względem prostej jest również obrotem osi ( d ) i kąta płaskiego.

W przeciwieństwie do tego, co dzieje się na płaszczyźnie, taka symetria w przestrzeni zachowuje orientację.

Mężczyzna podnosi prawą rękę, a jego wizerunek podnosi prawą rękę.

Symetria ortogonalna względem płaszczyzny

Symetria ortogonalna w odniesieniu do płaszczyzny ( P ) jest transformacją, która pozostawia niezmienność wszystkich punktów ( P ) i która w dowolnym punkcie M nie położonym na ( P ) wiąże punkt M 'w taki sposób, że ( P ) jest mediator płaszczyzny [MM ”]

Taka symetria zachowuje odległości i kąty, ale nie zachowuje orientacji.

Na przykład, kiedy podnosisz prawą rękę przed lustrem, twój obraz unosi lewą rękę.

Udowodnimy, że zbiór symetrii względem płaszczyzn generuje przez kompozycję cały zbiór izometrii przestrzeni.

Ukośne symetrie

Równie dobrze można zdefiniować symetrie osi ( d ) zgodnie z kierunkiem ( P ) lub symetrie względem ( P ) zgodnie z kierunkiem ( d ), pod warunkiem, że podprzestrzeń równa lub równoległa do ( P ) nie zawiera w całości ( d ) ani nie jest całkowicie zawarty w ( d ), a ich przecięcie sprowadza się do jednego punktu (w przeciwnym razie te transformacje nie są symetriami, ale rzutami ).

Ale te transformacje nie są izometriami, jeśli ( d ) i ( P ) nie są ortogonalne. Przekształcenia te (podobnie jak projekcje) zachowują jednak centra barowe i są szczególnymi przypadkami afinicznych przekształceń przestrzeni.

Uwagi i odniesienia

Po dwukrotnym zastosowaniu do punktu lub do figury, znajdujemy oryginalną figurę
Dwie równoległe linie są przekształcane w dwie inne, które pozostają równoległe do siebie
Główną dwusieczną nierównobocznego trójkąta równoramiennego jest dwusieczna kąta utworzonego przez dwa boki o tej samej długości.

Zobacz też

Symetria wektorów