Budowa linijki i kompasu

Euklides oparł swoją geometrię na systemie aksjomatów, który zapewnia w szczególności, że zawsze można narysować linię przechodzącą przez dwa dane punkty i że zawsze można narysować okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt. Geometria euklidesowa jest więc geometrią linii i okręgów, a więc linijki i cyrkla . Intuicja Euklidesa była taka, że za pomocą tych dwóch instrumentów można skonstruować dowolną liczbę , czyli „uzyskać”.

Ta hipoteza będzie na wezwanie jednej strony w kwestii definicja liczby: liczby wymierne nie wystarczają, aby wyrazić wszystkie odcinki Ponieważ przekątna kwadratu o boku 1 jest constructible, ale odpowiada liczbie √ 2 której dowodzimy z łatwością, że nie może to być stosunek dwóch liczb całkowitych, a z drugiej strony angażować społeczność matematyczną w poszukiwanie niemożliwych rozwiązań, takich jak kwadratura koła , trisekcja kąta i podwojenie sześcianu . Badania numerów konstruowalnych i konstruowalnych wielokątów doprowadzi po rozwoju algebry i teorii Galois , do twierdzenia Gaussa-Wantzel na konstruowalnych wielokątów i twierdzenia Wantzel za numerów konstruowalnych.

Georg Mohr (1672) a następnie Lorenzo Mascheroni (1797) udowodnią, że każdą budowę z linijką i cyrklem można wykonać samym cyrklem.

Architektura

Związki łączące konstrukcje z linijką i kompas z architekturą są bardzo bliskie:

„Geometria oferuje architektowi kilka zasobów: oswaja go z linijką i kompasem, które służą głównie do określania lokalizacji budynków. ( Witruwiański ). "

W średniowieczu mistrzem architektury jest ten, który posiada wiedzę z zakresu geometrii, dyskutuje na równi z przywódcami religijnymi. W społeczeństwie, w którym niewielu potrafi czytać, plan zbudowany za pomocą linijki i cyrkla jest jedynym prostym środkiem komunikacji między architektem a robotnikami. Pojawia się jednak problem skali, ponieważ jednostki długości nie są w pełni znormalizowane. Na ziemi aktywowany jest wtedy za pomocą kompasu paralizator lub kierownik budowy, który łączy architekta z pracownikami. Do swojej budowy używają cyrkla i linijki, ale także, gdy wymiary są zbyt duże, linii kredowej, która obojętnie zastępuje linijkę (linia narysowana kredą) i cyrkla. Powiązana z ekierką reguła i kompas stają się wówczas symbolem architekta , mistrza architekta katedr czy architekta świata. Znajdujemy je więc w godle masonerii .

Sztuka

Rola konstrukcji linijki i cyrkla w pracach artystycznych zależy w dużej mierze od czasu i trendów artystycznych.

W ikonach bizantyjskich linijka i cyrkiel wyznaczają kanon reprezentacji. Na przykład głowa świętych zbudowana jest na podstawie trzech koncentrycznych kręgów: jednego dla twarzy, drugiego dla konturów głowy i trzeciego dla aureoli . Linijka i cyrkiel pełnią tę samą rolę armaty w budowie mandali w buddyzmie tybetańskim  : początkowo budowane przy użyciu linijki i cyrkla, następnie są wykonane z kolorowego piasku.

W okresie renesansu Zachód na nowo odkrył Elementy Euklidesa (tłumaczenie z 1482 r.). Włoscy artyści postrzegali wówczas konstrukcje linijki i cyrkla jako źródło harmonii . Leonardo da Vinci wpisuje swojego Człowieka witruwiańskiego w okrąg i kwadrat. Albrecht Dürer , autor książki Instrukcje dotyczące pomiaru linijki i kompasu , konstruuje swojego Adama i Ewę za pomocą okręgów i linii. Również w typografii artyści starają się znaleźć harmonijną kodyfikację liter rzymskich . Felice Feliciano (1460) wydaje się być pierwszym, który zbudował litery linijki i kompasu. Francesco Torniello , Luca Pacioli i Albrecht Dürer idą w ich ślady. Ruch ten trwał do 1764 roku, kiedy Fournier w swoim Podręczniku typografii nie zgadzał się z poglądem, że harmonia liter wynika z ich rygorystycznej konstrukcji. Piękno liter bierze się tylko z artystycznej jakości ich projektanta.

Rozwijanie perspektywy wymaga geometrycznego przygotowania pracy, ale koła i linie są wtedy tylko siatką, która pozwala artyście na układanie kształtów zgodnie z jego wyobraźnią i wrażliwością.

Około 1900 narodził się ruch nowego rodzaju z Pablo Picasso i Georges Braque  : kubizm . Kształty są rozdrobnione i wpasowują się w geometryczne konfiguracje. Artyści wierzą, że piękno może wypływać z czystej geometrycznej formy. Wassily Kandinsky , założyciel Blaue Reiter i inicjator sztuki abstrakcyjnej , stworzył w 1923 czysto geometryczną pracę Circles dans un cercle . Victor Vasarely , jeden z mistrzów geometrycznej sztuki abstrakcyjnej i ojciec op-artu , generalizuje użycie cyrkla i linijki w obrazach zawierających figury geometryczne, często dając wrażenie objętości.

Geometria

W geometrii linijka (bez podziałki) i cyrkiel to podstawowe narzędzia do pracy w geometrii płaskiej . Pozwalają na proste konstrukcje, takie jak oś lub środek symetrii , równoległe lub prostopadłe i są podstawą badań tak zwanych elementów niezwykłych w trójkącie . Jednak niektóre konstrukcje pozostają niepraktyczne, takie jak budowa regularnego siedmiokąta lub ekstrakcja korzenia sześciennego .

Pośrednik i dwusektor

Główną konstrukcją geometrii jest niewątpliwie rysunek dwusiecznej prostopadłej odcinka. Dwusieczna prostopadła odcinka [ AB ] to prosta d przecinająca się prostopadle [ AB ] w jego środku, ale jednocześnie zbiór punktów równoodległych od końców odcinka. Wystarczy zatem otworzyć kompas na długość większą niż połowa długości odcinka, a następnie narysować dwa okręgi o tym promieniu, jedno wyśrodkowane na A , drugie na B (możemy się zadowolić nie rysowaniem tylko łuków okrąg). Przecięcie dwóch okręgów składa się z dwóch punktów znajdujących się w równej odległości od A i B , które w związku z tym definiują dwusieczną prostopadłą.

Ta metoda pozwala również na umieszczenie punktu środkowego lub skonstruowanie prostopadłej.

Dwusiecznej kąta, a dokładniej, o sektorze kątowym jest oś symetrii tego sektora. Wystarczy skonstruować na każdej półprostej dwa punkty w równej odległości od wierzchołka, konstruując punkty przecięcia półprostych z tym samym okręgiem środka wierzchołka kąta. Biorąc te dwa punkty jako środki dwóch okręgów o tym samym promieniu, konstruujemy dwa łuki okręgu, które przecinają się w dwóch punktach należących do żądanej dwusiecznej.

Dlatego zawsze możliwe jest wycięcie kątownika za pomocą linijki i cyrkla w dwóch równych częściach. Ale nie zawsze da się wyciąć za pomocą linijki i cyrkla kąt w trzech równych częściach. To jest problem trisekcji kąta .

Środkowy i symetryczny

Środek odcinka [AB] uzyskuje się konstruując punkt przecięcia prostej (AB) z dwusieczną prostopadłą odcinka [AB].

Symetrię punktu A względem B uzyskuje się konstruując punkt przecięcia (różny od A) pomiędzy prostą (AB) a okręgiem o środku B przechodzącym przez A.

Symetryczny punkt C względem prostej (AB) uzyskuje się konstruując punkt przecięcia (różny od C) pomiędzy okręgiem o środku A przechodzącym przez C i okręgiem o środku B przechodzącym przez C. Jeżeli punkt C jest na linii (AB), jest symetryczny i nie wymaga żadnej konstrukcji.

Prostopadłe i równoległe

Równolegle do prostej (AB) przechodzącej przez punkt C jest konstruowana przy użyciu właściwości linii punktów środkowych . Konstruujemy symetryczny C1 punktu C względem A, a następnie symetryczny C2 punktu C1 względem B. Pożądaną linią jest prosta (CC2).

Prostopadła do prostej (AB) przechodzącej przez punkt C nie leżący na (AB) jest prostą (CC ') łączącą punkt C z jego symetrią względem prostej (AB). Jeśli punkt C znajduje się na (AB), wystarczy wziąć symetryczną A '(lub B') punktu A (lub punktu B) w porównaniu do C, pion jest wtedy dwusieczną prostopadłą do [AA' ] ( lub [BB ']).

Geometria trójkąta

Trójkąt jest emblematyczną figurą geometrii euklidesowej. Wszystkie jego niezwykłe elementy: dwusieczne , mediatory , wysokości , mediany , koło Eulera i linia Eulera są możliwe do zbudowania za pomocą linijki i cyrkla.

Wielokąty regularne

Wielokąt foremny to wielokąt, które mogą być napisane w kręgu i wszystkie strony, które są równe . Za pomocą linijki i cyrkla łatwo zbudować trójkąt równoboczny , kwadrat i sześciokąt foremny . Z większym trudem możemy zbudować pięciokąt foremny . Możemy dość łatwo podwoić liczbę boków wielokąta możliwego do skonstruowania, rysując dwusieczne i konstruując na przykład wielokąty z , z bokami i z bokami. Choć teoretycznie możliwe jest, aby wyciągnąć z wielokątów , z iz boków, ich realizacja jest trudna w praktyce.

Wśród wielokątów z mniej niż 10 bokami pozostaje siedmiokąt (7 boków) i enneagon (9 boków), których nie można zbudować; trzeba będzie poczekać, aż Gauss , a następnie Wantzel sporządzi inwentaryzację wszystkich możliwych do zbudowania wielokątów.

Budowa pięciokąta foremnego

Pentagon zbudowany.png

Budowa sześciokąta foremnego

Konstrukcję sześciokąta wykonuje się po prostu za pomocą trzech okręgów o tym samym promieniu. Wykorzystuje własność trójkąta równobocznego, który ma trzy kąty 60° oraz fakt, że kąty w środku sześciokąta są równe 60°. heksagoneconstruit.png

Liczby do zbudowania

W przypadku Euklidesa liczba konstruowalna to liczba związana z długością konstruowalną. Obecnie liczba konstruktywna to liczba uzyskana jako współrzędna punktu konstruowalnego z siatki. Wiemy teraz, że zbiór liczb konstruowalnych zawiera zbiór liczb wymiernych , ale jest ściśle zawarty w zbiorze liczb algebraicznych . Wiemy w szczególności, że liczba π , przestępna , nie jest konstruowalna ( kwadratura koła ) i że 3 √ 2 , liczba algebraiczna, też nie jest ( powielanie sześcianu ).


Załączniki

Bibliografia

  • Raymond Stutz, Estetyka geometryczna: czyli geometria z linijką i kompasem , Sessenheim (207 rue de la Digue Dalhunden, 67770), R. Stutz,1995, 128  pkt. ( ISBN  2-9509203-0-6 , OCLC  463797655 , informacja BNF n O  FRBNF35817671 ).
  • Jean-Claude Carrega, Teoria ciał - Władca i kompas [ szczegóły wydania ]

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne