Trójsekcja kątowa

Trysekcja kąta jest klasyczny problem w matematyce . Jest to problem geometryczny , jeden z trzech wielkich problemów starożytności , polegający na podniesieniu koła do kwadratu i powieleniu sześcianu . Ten problem polega na podzieleniu kąta na trzy równe części za pomocą linijki i kompasu . W tej formie problem (podobnie jak dwa poprzednie) nie ma rozwiązania, co zademonstrował Pierre-Laurent Wantzel w 1837 roku.

Ogólna niemożność z linijką i kompasem

Jeśli łatwo jest podzielić kąt na dwa, konstruując jego dwusieczną , jeśli łatwo jest podzielić kąt prosty na trzy za pomocą trójkątów równobocznych, wielu matematyków od dawna na próżno szukało geometrycznej metody przeprowadzania trójdzielenia dowolnego kąta linijką i kompasem . Od III th century BC. AD , Archimedesa zaproponowali metodę regulacji (lub Neusis ) za pomocą cyrkla i linijki z podziałką dwóch. W II -go wieku pne. BC , Nicomedes użył krzywej pomocniczej, prawej konchoidy, aby określić rozwiązanie.

Ale w 1837 roku Pierre-Laurent Wantzel zademonstrował twierdzenie, które nosi jego imię , umożliwiając wykazanie dużej rodziny równań problemowych niemożliwych do rozwiązania za pomocą linijki i kompasu. Równanie trójdzielenia kąta będącego tą postacią, ogólna konstrukcja jest więc niemożliwa do zrealizowania zgodnie z tymi zasadami. Z drugiej strony trójdzielenie kąta można uzyskać za pomocą cyrkla i linijki z podziałką lub za pomocą pomocniczych krzywych zwanych trisectrix lub przez złożenie kartki papieru.

Korzystanie z kompasu i linijki z podziałką

Archimedes podaje następującą konstrukcję według neusis (przez dopasowanie), używając kompasu i linijki z dwiema podziałkami.

Niech a będzie kątem do rozcięcia, z wierzchołkiem B. Narysujemy okrąg ze środkiem B i promieniem równym odległości dzielącej dwie podziałki reguły (tj. R). Okrąg przecina jeden z boków kąta w punkcie A (więc AB = r). Linijkę układamy tak, aby przechodziła przez A, aby jedna z podziałek C linijki była umieszczona na okręgu, a druga podziałka D była na przedłużeniu (BD) po drugiej stronie kąta l '(dlatego CD = r). Kąt wierzchołkowy b D jest wtedy jedną trzecią kąta a .

Rzeczywiście, trójkąt BCD jest równoramienny w C, dlatego kąt CBD jest równy b . Ale w kole ze środkiem C przechodzącym przez B i D, kąt w środku ACB (= c ) jest dwa razy większy od wpisanego kąta CDB (= b ), czyli c = 2b . Ale BAC jest również trójkątem równoramiennym w punkcie B, więc kąt BAC jest równy c . Kąt ABC wynosi zatem $π - 2 c = π - 4 b$ . Kąt ABD wynosi wtedy $π - 3 b$ , więc kąt a wynosi rzeczywiście 3 b .

Wykorzystanie krzywych trójsektorowych

Hippias Quadrator

Według Proclusa Hippiasz wyobrażał sobie czworokąt jako sposób graficznego podziału kąta.

Konstrukcyjnie kąt w środku punktu kwadratu jest proporcjonalny do jego rzędnej (liczony od D); Dlatego też, jeśli możemy pociąć segment na równe części, podzielimy w ten sposób kąt na trzy równe kąty. Jednak podział segmentu na 3 równe segmenty można skonstruować za pomocą linijki i kompasu .

Nicomedes Conchoid

Jest to krzywa z równania biegunowego , gdzie a jest odległością od bieguna do kierownicy ( a = OH ). ${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {a} {\ cos \ theta}} + d}$

Aby użyć go jako trisektora, konstruujemy prostokątny trójkąt OHI w H, taki, że kąt φ jest trisektem , a konchoida linii (IH) bieguna O i modułu OI (patrz rysunek obok). ${\ widehat {OIH}}$

Mamy: a = OH i ; konchoida ma dla równania z . ${\ displaystyle d = OI = {\ Frac {a} {\ cos \ phi}}}$ ${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {a} {\ cos \ theta}} + {\ Frac {a} {\ cos \ phi}}}$ $\ phi = {\ widehat {IOH}}$

Przecięcie krzywej z okręgiem środka I przechodzącym przez O umożliwia wyznaczenie dwóch punktów M i N oraz widać, że kąt przecina kąt na trzy części . ${\ widehat {NIP}}$ ${\ widehat {OIH}}$

Konstrukcja składana z papieru

Oto konstrukcja origami autorstwa Hisashi Abe (1980), zilustrowana na rysunku obok:

Narysujemy linię d przechodzącą przez narożnik A arkusza, tak aby tworzyła z dolną krawędzią h 0 arkusza kąt do przecięcia na trzy.
Składając określamy dwa poziome pasy o tej samej szerokości (dowolne) na dole arkusza. Nazywamy h 1 i h 2 liniami, które je ograniczają.
Składamy arkusz wzdłuż zagięcia p tak, aby AB doszło do A'B 'tak, że punkt A przebiega na linii h 1 (w punkcie A'), w tym samym czasie co punkt B (przecięcie lewej krawędzi z prawą h 2 ) pójdzie w prawo d w punkcie B '(aksjomat 6 matematyki origami ).
Linia T przechodzącą przez punkt A i A „jest następnie trisector danego kąta: kąt utworzony przez h 0 i t wynosi 1/3 kąta utworzonego przez h 0 i d .

Dowód jest prosty: przez symetrię względem prostej p, środek P z AB daje środek P 'z A'B' i tak jak A'P jest prostopadły do AB, mamy AP ', który jest prostopadły do A 'B '. Dwa trójkąty prostokątne P'A'A i P'B'A są zatem izometryczne .

Z drugiej strony niech H będzie rzutem ortogonalnym A 'na h 0 . Ponieważ trójkąty HAA 'i PA'A' są izometryczne jako połówki tego samego prostokąta, a trójkąty PA'A i P'AA 'są również izometryczne przez symetrię względem p, wynika z tego, że trójkąty HAA' i P ' AA 'są izometryczne.

Izometria trzech trójkątów HAA ', P'AA' i P'AB 'pokazuje, że proste AP' i AA 'rzeczywiście mają wspólny kąt dA h 0 w trzech kątach o tym samym wymiarze.

Zastosowanie mechanizmu

Opracowano kilka mechanizmów umożliwiających podział kąta na trzy części, na przykład trisektor Laisant .

Uwagi i odniesienia

Abel Rey , Szczyt greckich nauk technicznych , t. IV: Matematyka od Hipokratesa do Platona , Albin Michel , pot. „Ewolucja ludzkości”,1946, rozdz. 5 („Od kwadratury do trójdzielenia kąta i do górnej geometrii: Hippias z Elea”), s. 5. 224-227.
Henry Płaszczyzna " trisector z Laisant " Plot , n O 532016, s. 22-23
(ca) „ Trisector Directory Reference ” , w Institut de Robòtica i Informàtica Industrial (dostęp 10 listopada 2019 )
(w) Robert C. Yates, „ The Problem Trisection ” , National Mathematics Magazine , t. 15 N O 6,Marzec 1941, s. 278-293 ( czytaj online )

Załączniki

Bibliografia

Maurice d'Ocagne , „ Racjonalne studium problemu trójdzielenia kąta ”, L'Enseignement mathématique , vol. 33,1934, s. 49-63 ( DOI 10.5169 / seals-25987 , czytaj online , dostęp 9 sierpnia 2015 )
Jean Aymès , Te problemy, które tworzą matematykę (trójdzielenie kąta) , Paryż, APMEP , wyd . "Publikacji APMEP" ( N O 70)1988, 100 pkt. ( ISBN 2-902680-46-5 , OCLC 462328692 , czytaj online ).
(en) Roger C. Alperin (de) , „ Trisections and całkowicie real origamis ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 112 n O 3,Marzec 2005, s. 200-211, arXiv : matematyka / 0408159 .
(en) Andrew M. Gleason , „ Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 95, n o 3,Marzec 1998, s. 185-194 ( czytaj online ).

(en) David Richeson , „ A Trisectrix from a Carpenter's Square ” , arkix.org ,marzec 2016( czytaj online )

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

Artykuł Trisekcja kąta z linijką i kompasem - Jean Jacquelin