Równanie biegunowe

Płaszczyzna jest wyposażona w ortonormalny układ współrzędnych . Jeżeli jest funkcją liczbową, możemy rozważyć zbiór punktów M, dla których układ współrzędnych biegunowych spełnia równanie: (O,ja→,jot→){\ styl wyświetlania (\ matematyka {O}, {\ vec {i}}, {\ vec {j}})}fa{\ styl wyświetlania f} (ρ,θ){\ styl wyświetlania (\ rho, \ theta)}

ρ=fa(θ){\ styl wyświetlania \ rho = f (\ theta)}

Mówimy, że omawiana krzywa płaska ma równanie biegunowe  :

ρ=fa(θ){\ styl wyświetlania \ rho = f (\ theta)}

Jeżeli , wówczas umieścimy punkt M na początku znaku odniesienia, chociaż w żadnej teorii nie można już zdefiniować kąta . ρ=0{\ styl wyświetlania \ rho = 0}(ja→,OM→){\ styl wyświetlania ({\ vec {i}}, {\ vec {OM}})}

Jeśli krzywa ma równanie biegunowe, a przedział jest objęty zakresem definicji, ograniczenie krzywej do tego przedziału można przekroczyć, obracając w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z kąta na kąt . [θ1,θ2]{\ displaystyle \ lewy [\ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ prawy]}θ1{\ styl wyświetlania \ theta _ {1}}θ2{\ styl wyświetlania \ theta _ {2}}

Baza mobilna

Wprowadzamy dla każdej wartości θ bezpośrednią bazę ortonormalną , otrzymaną przez rotację θ z bazy . Więc (ty→(θ),v→(θ)){\ displaystyle \ lewo ({\ vec {u}} (\ theta), {\ vec {v}} (\ theta) \ prawo)}(ja→,jot→){\ displaystyle \ po lewej ({\ vec {i}}, {\ vec {j}} \ po prawej)}

ty→(θ)=(sałata⁡θgrzech⁡θ)v→(θ)=(-grzech⁡θsałata⁡θ)=ty→(θ+π2){\ displaystyle {\ vec {u}} (\ theta) = {\ początek {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ koniec {pmatrix}} \ qquad {\ vec {v}} (\ theta) = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} = {\ vec {u}} (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}})}

Za pomocą tej bazy postaramy się wyrazić wszystkie pojęcia geometryczne. Ponieważ jednak te dwa wektory zależą od θ, nie możemy zapomnieć o ich zróżnicowaniu.

rety→reθ=v→rev→reθ=-ty→{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {u}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ vec {v}} \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} { \ vec {v}}} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ vec {u}}}

Uwaga: wyprowadzenie tych wektorów jest równoznaczne z poddaniem ich rotacji o π/2.

Wektor pozycji

Z definicji współrzędnych biegunowych, jest wektorem jednostkowym współliniowym i ma ten sam kierunek co i tak ty→{\ displaystyle {\ vec {u}}}OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}

OM→=fa(θ)ty→{\ displaystyle {\ vec {OM}} = f (\ theta) {\ vec {u}}}

W połączeniu z wzorami wyprowadzania wektorów u i v powyżej, wzór ten umożliwia obliczenie wszystkich zwykłych obiektów geometrii różniczkowej .

Styczna do krzywej

Jeśli funkcja jest różniczkowalna, to fa{\ styl wyświetlania f}

reOM→reθ=fa'(θ)ty→(θ)+fa(θ)v→(θ){\ displaystyle {\ frac {\ matematyka {d} {\ vec {OM}}} {\ matematyka {d} \ theta}} = f '(\ theta) {\ vec {u}} (\ theta) + f (\ theta) {\ vec {v}} (\ theta)}

Jeśli ten wektor nie jest zerem, jest to wektor kierujący stycznej (T) do krzywej w punkcie powiązanym z . Wtedy dla dowolnego punktu M różniącego się od początku, kąt między wektorem a wektorem stycznym spełnia zatem: θ{\ styl wyświetlania \ theta}V{\ styl wyświetlania V}OM→{\ displaystyle {\ vec {OM}}}reOM→reθ{\ displaystyle {\ frac {\ matematyka {d} {\ vec {OM}}} {\ matematyka {d} \ theta}}}

dębnik⁡V=fa(θ)fa'(θ){\ displaystyle \ tan V = {\ frac {f (\ theta)} {f '(\ theta)}}}

fa'(θ)≠0{\ displaystyle f '(\ theta) \ neq 0}

V=±π2{\ displaystyle V = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}

fa'(θ)=0{\ displaystyle f '(\ theta) = 0}

Odcięta krzywoliniowa

Jeśli źródłem jest pobierane następnie do krzywoliniowej osi odciętych , tj algebraiczną długość łuku pomiędzy punktem i jest: θ0{\ styl wyświetlania \ theta _ {0}}M(θ0){\ styl wyświetlania M (\ theta _ {0})}M(θ1){\ styl wyświetlania M (\ theta _ {1})}

∫θ0θ1fa'2(θ)+fa2(θ)reθ{\ displaystyle \ int _ {\ teta _ {0}} ^ {\ teta _ {1}} {\ sqrt {f '^ {2} (\ teta) + f ^ {2} (\ teta)}} \ , \ matematyka {d} \ theta}

Promień krzywizny

Promień krzywizny jest promieniem okręgu stycznego do (T), które „najlepszy” zbliża się do krzywej.

Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna i nie jest równa zeru, promień krzywizny wynosi: fa{\ styl wyświetlania f}2fa'2(θ)+fa2(θ)-fa(θ)fa″(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}

(fa'2(θ)+fa2(θ))3/22fa'2(θ)+fa2(θ)-fa(θ)fa″(θ){\ displaystyle {\ frac {(f '^ {2} (\ teta) + f ^ {2} (\ teta)) ^ {3/2}} {2f' ^ {2} (\ teta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f '' (\ theta)}}}

Punkt przegięcia

Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna, punkty przegięcia należą do punktów, które znoszą wielkość . Anulowanie tej wielkości w rzeczywistości wyraża, że ​​dwie pierwsze pochodne wektora promienia wektorowego są współliniowe. fa{\ styl wyświetlania f}2fa'2(θ)+fa2(θ)-fa(θ)fa″(θ){\ displaystyle 2f '^ {2} (\ theta) + f ^ {2} (\ theta) -f (\ theta) f' '(\ theta)}

Niekończące się gałęzie

Aby zbadać nieskończone gałęzie, wracamy do współrzędnych kartezjańskich.

Parametryczne równania biegunowe

Jeśli krzywa jest podana przez parametryczne równanie biegunowe r ( t ), θ ( t ), wektory prędkości i przyspieszenia mogą być obliczone w ruchomej bazie; odnotowuje się punktowo wyprowadzenie w porównaniu z parametrem t  :

V→=r˙ty→+rθ˙v→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ kropka {r}} {\ vec {u}} + r {\ kropka {\ theta}} {\ vec {v}}}

W→=(r¨-rθ˙2)ty→+(rθ¨+2r˙θ˙)v→{\ displaystyle {\ vec {A}} = ({\ ddot {r}} - r {\ kropka {\ theta}} ^ {2}) {\ vec {u}} + (r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ kropka {r}} {\ kropka {\ theta}}) {\ vec {v}}}

Zobacz również

Rozeta , Spirala , Limaçon , Lemniskata ...