Styczna (geometria)

Styczna pochodzi od łacińskiego tangere , aby touch: w geometrii The styczna do krzywej na jednym z jego punktów jest linią prostą, która „dotyka” krzywa jak najdokładniej w pobliżu tego punktu. Krzywa i jej styczna tworzą w tym miejscu kąt zerowy.

Pojęcie stycznej umożliwia dokonanie przybliżeń: dla rozwiązania pewnych problemów, które wymagają znajomości zachowania krzywej w pobliżu punktu, można go przyrównać do jego stycznej. Wyjaśnia to związek między pojęciem rachunku stycznego i różniczkowego .

Bycie usatysfakcjonowanym, jak to się czasem robi, zdefiniowanie stycznej jako linii prostej, która „dotyka krzywej bez jej przekraczania” byłoby niewłaściwe, ponieważ

nic nie stoi na przeszkodzie, aby krzywa ponownie przecięła jedną ze stycznych nieco dalej (pojęcie stycznej w punkcie M dobrze opisuje sytuację tylko w małym sąsiedztwie punktu M ).
istnieją wyjątkowe sytuacje, w których styczna w punkcie M przecina krzywą dokładnie w punkcie M . Mówimy, że w M jest przegięcie .

Odpowiednikiem pojęcia stycznej do powierzchni jest płaszczyzna styczna. Można ją określić, biorąc pod uwagę zbiór krzywych narysowanych na powierzchni i przechodzących przez dany punkt, oraz uwzględniając zbiór otrzymanych stycznych. Możemy wtedy uogólnić na obiekty o wymiarze większym niż 2.

Geometryczna definicja stycznej

Styczna do krzywej C w punkcie A odciętej $a$ jest położeniem granicznym siecznej (AB), jeśli istnieje, gdy punkt B krzywej zbliża się do punktu A.

Definicja ta, aby była całkowicie rygorystyczna, wymaga wprowadzenia pojęć topologii pozwalających na obliczenie takiej granicy . Jest jednak bardzo kolorowa.

Przykład: styczna do okręgu

W każdym ze swoich punktów okrąg dopuszcza styczną. Styczna w M to linia przechodząca przez M i prostopadła do promienia wychodzącego z M.

Styczne do okręgu o środku O i promieniu R są liniami znajdującymi się w odległości R od punktu O. Są to również proste, które przecinają okrąg dokładnie w jednym punkcie, ale jest to właściwość charakterystyczna dla okręgu.

Kąt między dwiema krzywymi

Rozważmy dwie krzywe C i C ' przechodzące przez ten sam punkt M; zakłada się, że w tym momencie obie mają styczne.

Kąt pomiędzy stycznymi zwany kąt z dwoma krzywymi M.
W szczególnym przypadku, gdy ten kąt jest właściwy, mówimy, że dwie krzywe są ortogonalne w M.
W szczególnym przypadku, gdy ten kąt jest płaski, styczne są identyczne i mówimy, że dwie krzywe są styczne w M.

Obliczenia styczne

Styczna do liczbowego wykresu funkcji

Tutaj f jest funkcją zdefiniowaną w przedziale postaci o wartościach rzeczywistych. Chcemy wiedzieć, czy wykres równania $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ dopuszcza styczną w punkcie A o współrzędnych $($ $a$ $,$ $f$ $($ $a$ $))$ . $] a- \ alfa, a + \ alfa [, \ alfa> 0$

Sieczny między punktami odciętej $a$ i $a + h$ jest prosta przechodząca przez A i nachylenia , który jest szybkość zmian $f$ . Istnieją trzy możliwości: $p (h) = {\ frac {f (a + h) -f (a)} {h}}$

jeśli $p ( h )$ dopuszcza skończoną granicę $p,$ gdy $h zbliża się do$ 0, istnieje styczna: prosta przechodząca przez A i nachylenia p . Funkcja jest wtedy różniczkowalna, a nachylenie stycznej jest wartością pochodnej . Równanie tej stycznej jest wtedy: ${\ displaystyle y = f '(a) (xa) + f (a)}$ ;
jeśli $p ( h )$ dopuszcza nieskończoną granicę, istnieje styczna: linia równania $x = a$ . Dzieje się tak na przykład dla funkcji at $a$ $= 0$ ; $f (x) = {\ sqrt {| x |}}$
w przeciwnym razie (jeśli nie ma limitu), nie ma stycznej.

Styczna do łuku parametrycznego

Tym razem f jest funkcją zdefiniowaną na przedziale formy o wartościach w przestrzeni wektorowej E o skończonym wymiarze. Badanie prowadzone jest w sąsiedztwie punktu o parametrze a . $] a- \ alfa, a + \ alfa [, \ alfa> 0$

Pierwszym warunkiem, aby móc mówić o siecznej jest to, że w sąsiedztwie a krzywa przechodzi tylko raz przez punkt a . W takim przypadku możemy ponownie obliczyć nachylenie siecznej i sprawdzić, czy ma ona granicę.

W każdym razie pojęcie tangensa nie zależy od wybranej parametryzacji , ponieważ jego definicja jest czysto geometryczna ( patrz wyżej ).

Powiązanie z rachunkiem różniczkowym

Jeśli f dopuszcza niezerowy wektor pochodnej w punkcie a , mówimy, że a jest punktem regularnym i istnieje styczna, prowadzona przez wektor f '(a) .

Jeśli f przyznaje następstwo zero pochodnych w czym pierwszy niezerowy pochodnej będzie w kolejności P

f '(a) = f' '(a) = \ kropki = f ^ {{(p-1)}} (a) = 0 \ qquad f ^ {{(p)}} (a) \ neq 0

wtedy jest tangens skierowany przez pierwszą niezerową pochodną. W takim punkcie mówimy, że między krzywą a jej styczną jest kontakt rzędu p (podczas gdy w zwykłym punkcie kontakt jest tylko rzędu 1).

Uwaga : francuska tradycja polega na używaniu słowa „regularny” dla dwóch odrębnych pojęć, regularności funkcji f lub regularności łuku. Możliwe jest sparametryzowanie kwadratu w taki sposób , co pokazuje, że regularność w sensie funkcji niekoniecznie daje istnienie stycznych. Po prostu dla takiej parametryzacji na wierzchołkach wszystkie pochodne będą równe zero. ${\ matematyczny C} ^ {\ infty}$

Pół styczne

Dla dokładniejszego badania, można wprowadzić pół-stycznych na prawo i na lewo, aby zdefiniować zachowanie dla wartości parametru ściśle wyższe lub niższe niż ściśle . Dodatkową informacją zawartą w półstycznej jest kierunek ruchu.

Mówimy, że po prawej stronie jest półstyczna, gdy istnieje granica

T_ {d} = \ lim \ limity _ {{h \ do 0 ^ {+}}} {\ frac {f (a + h) -f (a)} {\ | f (a + h) -f ( a) \ |}}

Półstyczna jest wtedy półprostą pochodzenia tego wektora . $T_ {d}$

Mówimy, że po lewej stronie znajduje się półstyczna, gdy istnieje następujący limit (zwróć uwagę na kolejność)

T_ {g} = \ lim \ limity _ {{h \ do 0 ^ {-}}} {\ frac {f (a) - f (ah)} {\ | f (a) - f (ah) \ | }}

Półstyczna jest wtedy półprostą pochodzenia tego wektora . $T_ {g}$

Jeśli są półstyczne, używamy następującego słownictwa:

punkt kątowy, w którym półstyczne tworzą kąt niepłaski

Wykres funkcji wartości bezwzględnej daje przykład punktu kątowego

wierzchołek, gdy półstyczne są przeciwne: jest wtedy styczna, ale krzywa wykonuje rodzaj zawracania, stąd nazwa.

W przypadku deltoida widzimy trzy guzki.

styczna bez wierzchołka dla najczęstszego przypadku: półstyczne są równe.

Krzywa we współrzędnych biegunowych

Jeżeli łuk przyjmuje jako parametr kąt biegunowy , to wyprowadzony wektor przyjmuje jako wyrażenie w ruchomej podstawie . $\ rho (\ teta)$ $\ rho '(\ theta) u (\ theta) + \ rho (\ theta) v (\ theta)$

wszystkie punkty inne niż początek są regularne i dlatego mają styczną
jeśli łuk przechodzi przez początek w , to sieczna jest niczym innym jak linią kąta . Dlatego zawsze istnieje styczna: linia kąta . $\ theta _ {0}$ $M_ {0} M (\ teta)$ $\ theta$ $\ theta _ {0}$

Ściśle mówiąc, aby sieczne istniały, konieczne jest dodanie warunku, że łuk przechodzi tylko raz przez początek na wystarczająco blisko . $\ theta$ $\ theta _ {0}$

Tangens dla niejawnej krzywej

Uważamy krzywą kartezjańskiego równania F (x, y) = C w euklidesowej płaszczyzny dla funkcji f z klasy na otwartej jednej płaszczyźnie. ${\ matematyczny {C}} ^ {1}$

Twierdzenie funkcji ukrytych umożliwia zmniejszenie do sparametryzowanego łuku i określenia istnienia i możliwie równanie stycznej do tej krzywej w określonym momencie. Dokładniej, punkt K = (x, y) należący do krzywej mówi się, że regularne przy gradiencie od f nie jest zerem w tym punkcie. W tym przypadku styczna jest prostopadła do wektora gradientu.

Pozycja względem stycznej

Wypukłość

Wykres funkcji różniczkowalnej jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa zawsze znajduje się powyżej swoich stycznych. Jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa znajduje się poniżej jej stycznych.

W przypadkach, które spotyka się w praktyce, krzywa jest na przemian wklęsła lub wypukła na różnych odstępach oddzielonych punktami przegięcia (dla których styczna przecina krzywą).

Możemy rozszerzyć zakres do sparametryzowanych łuków, szukając punktów przegięcia i kierunku, w którym obrócona jest wklęsłość krzywej. Jednym z narzędzi do sprawdzenia jest obliczenie znaku krzywizny .

Na przykład zdefiniowane jest pojęcie zamkniętej krzywej wypukłej , czyli takiej, która zawsze znajduje się po jednej stronie swoich stycznych. Dla takiej krzywej krzywizna nie zmienia znaku.

Korzystanie z rachunku różniczkowego dla punktów godnych uwagi

Pełne badanie łuku $f$ w płaszczyźnie w sąsiedztwie jednego z jego punktów $a$ obejmuje badanie pochodnych $f$ w tym punkcie. Zakładamy, że pierwsza niezerowa pochodna jest pochodną rzędu $p ,$ a pierwszą pochodną niewspółliniową jest pochodna rzędu $q$ . Jest wtedy punkt zwrotny mądry do przeprowadzenia badania . ${\ displaystyle f ^ {(p)} (a)}$ ${\ displaystyle (f (a), f ^ {(p)} (a), f ^ {(q)} (a))}$

W tej ramce łuk przyjmuje postać ( X ( t ), Y ( t )). Następnie przeprowadzamy ograniczone rozwinięcie funkcji X i Y :

{\ displaystyle X (t) = {\ frac {1} {p!}} t ^ {p} + o (t ^ {p}), \ qquad Y (t) = {\ frac {1} {q! }} t ^ {q} + o (t ^ {q})}

Znane fakty znajdujemy, gdy t dąży do 0 lub do x : X i Y dążą do 0 (ciągłość krzywej), nachylenie Y / X dąży do 0 (styczna jest podana przez pierwszy wektor bazowy ). Ale dodatkowo mamy znak X i Y dla t wystarczająco mały. Znak X mówi nam, czy jesteśmy do przodu, czy do tyłu (w stosunku do znaczenia ). Znak Y mówi nam, czy jesteśmy powyżej, czy poniżej stycznej. ${\ displaystyle f ^ {(p)} (a)}$

dla nieparzystego p , q parzystego: X zmienia znak, a nie Y , posuwamy się do przodu pozostając nad styczną. To jest zwykły punkt.
dla p nieparzystych, q nieparzystych: X i Y zmieniają znak, poruszamy się do przodu przecinając styczną. To jest punkt przegięcia.
dla p parzyste, q nieparzyste: X nie zmienia znaku, ale Y zmienia , zawracamy, ale mijamy drugą stronę stycznej. Jest to guzek pierwszego rodzaju (przypadek mięśnia naramiennego).
dla p parzyste, q parzyste: X i Y , zaczynamy ponownie w przeciwnym kierunku, pozostając po tej samej stronie stycznej. To jest drugi rodzaj zakrętu.

Rozszerzenie na powierzchnie i nie tylko

Lub M punkt na powierzchni S . Rozważmy zbiór wszystkich wykreślonych krzywych na S i przechodzących przez M i mających styczną w M . Jeśli połączenie wszystkich tak otrzymanych stycznych tworzy płaszczyznę, nazywa się to płaszczyzną styczną do powierzchni.

W ten sam sposób postępujemy dla zakrzywionych podprzestrzeni o większym wymiarze E : podrozmaitości .

Styczna w rysunku artystycznym

W rysunku i animacji artyści starają się unikać styczności dwóch krzywych. Rzeczywiście, styczność grozi zerwaniem efektu perspektywy, ponieważ z jednej strony nie wiemy, która powierzchnia znajduje się przed drugą; z drugiej strony linie proste styczne do dwóch krzywych tworzą krzyż, który przyciąga wzrok i uniemożliwia jego krążenie na rysunku.

Bibliografia

Maximilien Royo, „ The Dangers of the tangens ” , na MaxRoyo.com (dostęp 24 listopada 2017 )

Zobacz również

Powiązane artykuły

Analiza nieskończenie małych inteligencji zakrzywione linie , w jaki sposób obliczyć tangens w końcu XVII -tego wieku .
Bitangente