Promień (geometria)
W geometrii , o promień z okręgu lub sfery jest każdy segment każdej linii łączącej jego centrum na jego obwodzie . W związku z tym promień koła lub kuli to długość każdego z tych segmentów. Promień jest równy połowie średnicy . W nauce i inżynierii termin promień krzywizny jest często używany jako synonim promienia.
Mówiąc bardziej ogólnie - w geometrii , inżynierii , teorii grafów i wielu innych kontekstach - promień obiektu (na przykład walca , wielokąta , wykresu lub części mechanicznej) to odległość od jego środka lub osi symetrii przy jego skrajne punkty powierzchni. W takim przypadku promień może różnić się od połowy średnicy (w sensie największej odległości między dwoma punktami obiektu).
Może również mieć kilka konkretnych definicji, jak zobaczymy na poniższej elipsie.
Promień koła
Zależność między promieniem a obwodem koła jest następująca .R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R=L2π{\ Displaystyle R = {\ Frac {L} {2 \ pi}}}
W celu obliczenia promienia okręgu przechodzącej przez trzy punkty, można użyć następującego wzoru (patrz wpisany twierdzenie kątową , kąt wpisany w półkole i odwrotnie rysunku):
R{\ displaystyle R}W,b,VS{\ Displaystyle A, B, C}
R=w2grzechα{\ Displaystyle R = {\ Frac {a} {2 \ sin \ alpha}}}, gdzie jest długością i miarą kąta .
w{\ displaystyle a}bVS{\ displaystyle BC}α{\ displaystyle \ alpha} bWVS^{\ displaystyle {\ widehat {BAC}}}
Jeśli te trzy punkty są przez ich współrzędne , a możemy także skorzystać z poniższego wzoru (patrz twierdzenie sinusów i pole trójkąta ):
(x1,y1){\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}(x2,y2){\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}(x3,y3){\ displaystyle (x_ {3}, y_ {3})}
R=((x2-x1)2+(y2-y1)2)((x2-x3)2+(y2-y3)2)((x3-x1)2+(y3-y1)2)2|x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2|{\ Displaystyle R = {\ Frac {\ sqrt {\ lewo (\ lewo (x_ {2} -x_ {1} \ prawej)) ^ {2} + \ lewo (y_ {2} -y_ {1} \ prawej) ^ {2} \ right) \ left (\ left (x_ {2} -x_ {3} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {2} -y_ {3} \ right) ^ {2} \ right) \ left (\ left (x_ {3} -x_ {1} \ right) ^ {2} + \ left (y_ {3} -y_ {1} \ right) ^ {2} \ right)}} { 2 \ left | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} \ right |}}}.
Promienie elipsy
Można zdefiniować kilka pojęć promienia dla elipsy , ponownie podając pojęcie promienia klasycznego w przypadku koła.
- Półoś większa oś elipsy jest interpretowana jako promień okręgu opisanego elipsą lub głównym okręgiem , a półoś mała oś jako promień wpisanego okręgu lub wtórnego koła. Można go zdefiniować jako „średni promień” , średnią arytmetykę tych dwóch promieni .w{\ displaystyle a}R1=(w+b)/2{\ Displaystyle R_ {1} = (a + b) / 2}
- Promień obszaru to promień koła o powierzchni (powierzchni) równej elipsie.
Jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu dwóch półosi elipsy:
R2=wb=w1-mi24{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}}gdzie
e jest mimośrodem elipsy
Jest zatem geometryczna średnia z pół-osi.
- Innym niezwykłym promieniem elipsy jest średnia odległość punktu przecinającego elipsę ze stałą prędkością do jej ogniska . Ten promień, który z definicji jest równy, jest uproszczony do wartości półosi wielkiej.R3=∫02π(w(sałatat-mi)2+b2grzech2tw2grzech2t+b2sałata2tret∫02πw2grzech2t+b2sałata2tret{\ Displaystyle R_ {3} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {(a (\ cos te) ^ {2} + b ^ {2} \ sin ^ {2}) t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}}R3=w{\ displaystyle R_ {3} = a}
- Średnia odległość przy stałej prędkości do środka elipsy: nie daje prostej wartości.R4=∫02πw2sałata2t+b2grzech2tw2grzech2t+b2sałata2tret∫02πw2grzech2t+b2sałata2tret{\ Displaystyle R_ {4} = {{\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2) } t}} \, {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}} \ over { \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + b ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \, \ mathrm {d } t}}}}
- Średnia odległość od środka elipsy, prędkość z mimośrodowym anomalii t stałej: są równe, to w którym jest długością elipsy. Jest to zatem promień okręgu o długości równej długości elipsy.R5=12π∫02πw2sałata2t+b2grzech2tret{\ Displaystyle R_ {5} = {1 \ ponad {2 \ pi}} {\ int _ {0} ^ {2 \ pi} {{\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} t + b ^ {2} \ sin ^ {2} t}} \, \ mathrm {d} t}}}L2π{\ displaystyle L \ ponad {2 \ pi}}L{\ displaystyle L}
- Można również rozważyć odchylenie standardowe odległości pomiędzy dwoma punktami wnętrza elipsy :, to znaczy który jest uproszczone , średniej kwadratowej z pół-osi.∬(M1M2)2reM1reM2∬reM1reM2{\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {\ iint (M_ {1} M_ {2}) ^ {2} DM_ {1} DM_ {2}} {\ iint DM_ {1} DM_ {2}}}}}∫01∫01∫02π∫02π((wr1sałatat1-br2sałatat2)2+(wr1sałatat1-br2sałatat2)2)r1r2rer1rer2ret1ret2∫01∫01∫02π∫02πr1r2rer1rer2ret1ret2{\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ { 2 \ pi} ((ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2} + (ar_ {1} \ cos t_ {1} -br_ {2} \ cos t_ {2}) ^ {2}) r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1} dt_ {2}} {\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r_ {1} r_ {2} dr_ {1} dr_ {2} dt_ {1 } dt_ {2}}}}}R6=w2+b22{\ Displaystyle R_ {6} = {\ sqrt {\ Frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {2}}}}
Promienie elipsoidy
Możemy zdefiniować kilka pojęć promienia dla elipsoidy półosi .
w⩾b⩾vs{\ displaystyle a \ geqslant b \ geqslant c}
Średni promień
„ Średni promień ” jest równy średniej arytmetycznej z trzech półosi:
R1=w+b+vs3{\ Displaystyle R_ {1} = {\ Frac {a + b + c} {3}}}.
Promień objętościowy
Promień objętościowy jest promień fikcyjnego zakresie wielkości równej liczbie badanym elipsoidy.
Jest równa średniej geometrycznej półosi:
R2=wbvs3{\ displaystyle R_ {2} = {\ sqrt [{3}] {abc}}}.
Authaliczny promień
Authalic promień jest promień fikcyjnego kuli o powierzchni (powierzchni) równa powierzchni rozważanych elipsoidy, w związku .
S{\ displaystyle S}R3=S/4π{\ Displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {S / 4 \ pi}}}
Na przykład w przypadku wydłużonej elipsoidy obrotowej (obrót elipsy wokół jej większej osi) R3=b22+wb2arcsinmimi{\ Displaystyle R_ {3} = {\ sqrt {{\ Frac {b ^ {2}} {2}} + {\ Frac {ab} {2}} {\ Frac {\ arcsin e} {e}}} }}
Promień wielokąta
Promień wielokąta foremnego to odcinek łączący środek tego wielokąta z jednym z jego wierzchołków. Jego długość jest więc promieniem okręgu opisanego w tym wielokącie.
Promień wielokąta o bokach c i n jest więc równy
vs22-2sałata(2π/nie)=vs2grzech(π/nie){\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {C ^ {2}} {2-2 \ cos (2 \ pi / n)}}} = {\ Frac {c} {2 \ sin (\ pi / n)} }}
lub znowu, w zależności od długości apotemu h , do
godzsałata(π/nie){\ Displaystyle {\ Frac {h} {\ cos (\ pi / n)}}}.
Promienie ziemi
Dane
Promień |
Wartość w kilometrach |
Komentarz
|
---|
maksymalny |
6 384,4 |
na szczycie Chimborazo
|
minimalny |
6 352, 8 |
|
równikowy |
6 378,8 |
półoś wielka elipsoidy odniesienia
|
polarny |
6 356,8 |
półoś mała oś elipsoidy odniesienia
|
droga |
6,371,009 |
|
authalic |
6.371,007 2 |
|
wolumetryczny |
6 371 000 8 |
|
Historyczny
Pierwszy pomiar promienia Ziemi w astronomii został wymyślony przez Eratostenesa . Obliczenia są następujące: Słońce jest tak daleko, że jego promienie docierają równolegle do dowolnego punktu na Ziemi . Przeczytał, że w Syene promienie padają pionowo do studni w dniu przesilenia letniego . Oznacza to, że Słońce przechodzi przez zenit , więc nie ma cienia. Dalej na północ, w tej samej chwili, promienie docierają do Aleksandrii pod niezerowym kątem, który mierzy. Zmierzony kąt to jedna pięćdziesiąta okręgu. Oznacza to, że obwód Ziemi jest pięćdziesiąt razy większy niż odległość Syene-Alexandria. Przeczytał również, że karawany wielbłądów opuszczające Syene potrzebowały pięćdziesięciu dni, aby dotrzeć do Aleksandrii, pokonując sto stadiów dziennie. Obliczył, że odległość między dwoma miastami w dolinie Nilu wynosi 5000 stadiów. Stadion ma 158 m wysokości .
Mierząc cień rzucany przez te obiekty o znanej wysokości, znajdujące się w dwóch punktach o różnej szerokości geograficznej, znajduje wartość 250 000 stadiów dla długości południka, czyli obwodu Ziemi. Dokładność tego pomiaru mieści się w granicach 2%. Wyprowadził z tego ziemski promień.
posługiwać się
Promień ziemski jest używany do wielu obliczeń astronomicznych, takich jak obliczanie dobowej paralaksy gwiazdy:
Paralaksa dobowa: dwóch obserwatorów jest umieszczonych w dwóch punktach A i B Ziemi tak daleko od siebie, jak to możliwe, i odnotowują konfigurację gwiazd otaczających obserwowaną gwiazdę. Mogą zatem obliczyć kąty a , a następnie wyprowadzić paralaksy, która umożliwi uzyskanie TP odległość.
WbP.^{\ displaystyle {\ widehat {ABP}}}bWP.^{\ displaystyle {\ widehat {BAP}}}
Zobacz też
Powiązany artykuł
Bibliografia
- Michel Morin i Alain Roy, Geometry 4: relations in the circle , Mont-Royal (Quebec), Modulo, 1995 ( OCLC 32548158 )
-
Na przykład pień walca obrotowego o wysokości h i promieniu r ma średnicę równą h, jeśli h> 2 r , iw tym przypadku .r≠godz/2{\ displaystyle r \ neq h / 2}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">