Geometria

Geometria powoduje Gałąź matematyki badający dane na płaszczyźnie i przestrzeni ( geometria euklidesowa ). Od końca XVIII, XX  wieku, geometria badania także dane należące do innych rodzajach pomieszczeń ( geometrii rzutowej , nieeuklidesowa geometrycznych , na przykład).

Od początku XX th  wieku, niektóre dane w zakresie metod badania tych miejsc zostały przekształcone autonomicznych działów matematyki: topologii , geometrii różniczkowej i geometrii algebraicznej , na przykład. Jeśli chcemy objąć wszystkie te znaczenia, trudno jest dziś określić, czym jest geometria. Dzieje się tak, ponieważ jedność różnych gałęzi „współczesnej geometrii” tkwi bardziej w początkach historycznych niż we wspólnocie metod lub przedmiotów.

Etymologia

Przy czym określenie geometrii wywodzi się z greckiego z γεωμέτρης ( géomètres ), co oznacza „miernikowiec, inspektor  ” i pochodzi z γῆ ( Ge ) „ziemi”, a μέτρον ( METRON ) „środek”. Byłaby to zatem „nauka pomiaru terenu”.

Główne działy geometrii

Klasyczna geometria

Bez żadnego konkretnego kwalifikatora i bez odniesienia do konkretnego kontekstu (w przeciwieństwie do geometrii różniczkowej lub geometrii algebraicznej ), geometria lub nawet geometria klasyczna obejmuje głównie:

Powyższe geometrie można uogólnić poprzez zróżnicowanie wymiarów przestrzeni, zmianę pola skalarów (stosowanie linii innych od linii rzeczywistej) lub nadanie przestrzeni krzywizny. Te geometrie wciąż są uważane za klasyczne.

Co więcej, geometrię klasyczną można aksjomatyzować lub badać na różne sposoby.

Godne uwagi jest to, że algebra liniowa (przestrzenie wektorowe, formy kwadratowe, naprzemienne formy dwuliniowe, formy hermitowskie i antyhermitowskie itp.) pozwala na budowanie jednoznacznych modeli większości struktur spotykanych w tych geometriach. Daje to zatem klasycznej geometrii pewną jedność.

Inne rodzaje geometrii

Istnieją działy matematyki, które powstały z badania figur przestrzeni euklidesowych, ale które uformowały się w autonomiczne działy matematyki i które badają przestrzenie niekoniecznie zanurzone w przestrzeniach euklidesowych:

Różne przestrzenie geometrii klasycznej można badać za pomocą topologii, geometrii różniczkowej i geometrii algebraicznej.

Projektowanie geometrii

Według autorów geometria przyjmuje wiele znaczeń. W ścisłym sensie geometria to „studium kształtów i rozmiarów figur”. Ta definicja jest zgodna z pojawieniem się geometrii jako nauki w cywilizacji greckiej w okresie klasycznym . Według raportu Jean-Pierre'a Kahane'a definicja ta pokrywa się z ideą, jaką ludzie mają o geometrii jako nauczanym przedmiocie: jest to „miejsce, w którym uczymy się rozumieć przestrzeń  ”.

W 1739 Leonhard Euler badał problem siedmiu mostów królewieckich  ; jego praca jest uważana za jeden z pierwszych wyników geometrii niezależnej od jakichkolwiek pomiarów, które zostaną zakwalifikowane jako topologiczne. Pytania zadawane w trakcie XIX th  century doprowadziło do ponownego przemyślenia pojęcia formy i przestrzeni , odrzucając sztywność odległości euklidesowych. Rozważono możliwość ciągłego deformowania powierzchni bez zachowania indukowanej metryki, na przykład deformacji kuli w elipsoidę. Badanie tych deformacji doprowadziło do powstania topologii  : jej przedmiotem badań są zbiory , przestrzenie topologiczne , których pojęcie bliskości i ciągłości definiuje wspólnie pojęcie sąsiedztwa . Według niektórych matematyków topologia jest integralną częścią geometrii, a nawet jej podstawową gałęzią. Ta klasyfikacja może być kwestionowana przez innych.

Zgodnie z punktem widzenia Felixa Kleina ( 1849 - 1925 ) geometria analityczna „w rzeczywistości zsyntetyzowała dwie kolejno oddzielone cechy: jej zasadniczo metryczny charakter i jednorodność”. Pierwszy znak znajduje się w geometrii metrycznej , która bada właściwości geometryczne odległości. Drugi to podstawa programu Erlangena , który definiuje geometrię jako badanie niezmienników działania grupowego.

Obecne prace, w dziedzinach badawczych znanych jako geometria, mają tendencję do kwestionowania pierwszej podanej definicji. Według Jeana-Jacquesa Szczeciniarcza geometria nie jest zbudowana na „prostym odwołaniu się do przestrzeni, ani nawet [na] figuracji czy [na] wizualizacji”, ale jest rozumiana poprzez jej rozwój: „geometria jest wchłonięta, ale jednocześnie wydaje się nam nadać znaczenie pojęciom, jednocześnie sprawiając wrażenie powrotu do pierwotnego znaczenia ”. Jean-Jacques Szczeciniarcz zwraca uwagę na dwa ruchy w badaniach matematycznych, które doprowadziły do ​​rozszerzenia lub fragmentacji geometrii:

Jako rozszerzenie, geometria nie może być dłużej traktowana jako zunifikowana dyscyplina, ale jako wizja matematyki lub podejście do przedmiotów. Według Gerharda Heinzmanna geometria charakteryzuje się „stosowaniem terminów i treści geometrycznych, takich jak „  punkty  ”, „  odległość  ” lub „  wymiar  ” jako ramy językowej w najróżniejszych dziedzinach, czemu towarzyszy równowaga między podejściem empirycznym i podejście teoretyczne.

Historia

Wynalezienie geometrii sięga starożytnego Egiptu .

Klasyczna geometria

Dla Henri Poincarégo przestrzeń geometryczna ma następujące właściwości:

  1. Jest ciągły;
  2. On jest nieskończony;
  3. Ma trzy wymiary;
  4. Jest jednorodna, to znaczy, że wszystkie jej punkty są identyczne;
  5. Jest izotropowy, to znaczy, że wszystkie proste przechodzące przez ten sam punkt są do siebie identyczne.

Tej ścisłej definicji przestrzeni odpowiadają geometrie euklidesowa i nieeuklidesowa. Skonstruowanie takiej geometrii polega na ustaleniu zasad rozmieszczenia czterech podstawowych obiektów: punktu , prostej , płaszczyzny i przestrzeni . Ta praca pozostaje przywilejem czystej geometrii, która jako jedyna działa ex nihilo .

Geometria samolotu

Geometria płaska opiera się przede wszystkim na aksjomatyce definiującej przestrzeń; następnie o metodach przecięć, przekształceń i konstrukcji figur ( trójkąt , równoległobok , koło , kula itp.).

Geometria rzutowa jest najbardziej minimalistyczna, co czyni ją wspólnym rdzeniem dla innych geometrii. Opiera się na aksjomatach:

  1. częstości występowania (lub przynależności), której najbardziej zauważalną (i najbardziej osobliwą) cechą jest: „Dwie różne współpłaszczyznowe linie mają jeden wspólny punkt. ";
  2. Porządek: umożliwia w szczególności uporządkowanie punktów linii. Z tego punktu widzenia linia rzutowana jest podobna do okręgu, ponieważ dwa punkty definiują dwa odcinki;
  3. ciągłość: w ten sposób w dowolnej przestrzeni geometrycznej można łączyć jeden punkt z drugim ciągłym postępem. W geometrii euklidesowej ten aksjomat jest aksjomatem Archimedesa .
Równoległość

Wyróżnianie w geometrii rzutowej elementów niewłaściwych charakteryzuje geometrię argumentacyjną . Wtedy geometria afiniczna rodzi się z eliminacji tych nieodpowiednich elementów. To usunięcie punktów tworzy pojęcie równoległości, ponieważ odtąd pewne pary linii współpłaszczyznowych przestają się przecinać. Usunięty niewłaściwy punkt jest porównywalny z kierunkiem tych prostych. Co więcej, dwa punkty definiują tylko jeden odcinek (ten z dwóch, który nie zawiera punktu niewłaściwego) i przybliżają pojęcie znaczenia lub orientacji (czyli pozwalają odróżnić od ).

Stosowność Geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe

Piąty aksjomat lub "  postulat równoległości  " geometrii euklidesowej jest podstawą geometrii euklidesowej  :

Przez punkt poza linią przechodzi zawsze równolegle do tej linii i tylko jeden.

Zobacz Aksjomatyka Hilberta lub elementy euklidesowe dla bardziej kompletnych stwierdzeń geometrii euklidesowej.

Zaprzeczeniem tego postulatu doprowadziły do rozwoju dwóch nieeuklidesowych geometrii  : geometrii hiperbolicznej przez Gaussa , Lobachevsky , Bolyai i geometrii eliptycznej przez Riemanna .

Program Erlangen

W koncepcji Felixa Kleina (autora programu Erlangen ) geometria jest badaniem przestrzeni punktowych, na których działają grupy przekształceń (zwanych także symetriami) oraz wielkości i własności, które są dla tych grup niezmiennicze. Na przykład płaszczyzna i sfera są przestrzeniami dwuwymiarowymi, jednorodnymi (brak uprzywilejowanego punktu) i izotropowymi (brak uprzywilejowanego kierunku), ale różnią się grupami symetrii ( grupa euklidesowa dla jednego, grupa obrotów dla inny).

Wśród najbardziej znanych przekształceń znajdziemy izometrie , podobieństwa , rotacje , odbicia , translacje i homotety .

Nie jest to więc dyscyplina, ale ważne dzieło syntezy, które pozwoliło na jasne widzenie osobliwości każdej geometrii. Dlatego program ten bardziej charakteryzuje geometrię niż ją ugruntowuje. Odegrał rolę mediatora w debacie na temat natury geometrii nieeuklidesowych i kontrowersji między geometriami analitycznymi i syntetycznymi .

Geometria grup klasycznych

Istnieje geometria różniczkowa i geometria algebraiczna grup Liego i grup algebraicznych , które same mają przestrzenie jednorodne , a geometria klasyczna często sprowadza się do badania tych przestrzeni jednorodnych. Geometrie afiniczne i rzutowe są powiązane z grupami liniowymi, a geometrie euklidesowe, sferyczne, eliptyczne i hiperboliczne są powiązane z grupami ortogonalnymi.

Gdy istnieją wyraźne klasyfikacje grup Liego lub grup algebraicznych lub ich jednorodnych przestrzeni spełniających pewne hipotezy (na przykład grupy Liego lub proste algebraiczne, symetryczne przestrzenie, uogólnione odmiany flag, przestrzenie o stałej krzywiźnie), główne elementy te klasyfikacje czasami pochodzą z geometrii klasycznej , a grupy, z którymi te klasyczne geometrie są związane, są powiązane z tak zwanymi grupami klasycznymi (na przykład grupami liniowymi, ortogonalnymi, symplektycznymi).

Większość klasycznych geometrii jest powiązana z grupami Liego lub prostą algebraiczną, zwaną klasyczną (wywodzą się z algebry liniowej). Istnieją inne grupy Liego lub proste algebraiki, o których mówi się, że są „wyjątkowe” i dają początek wyjątkowej geometrii, z pewnymi analogiami do geometrii klasycznej. To rozróżnienie wynika z faktu, że proste grupy są (przy pewnych założeniach) podzielone na kilka nieskończonych szeregów (często cztery) i skończoną liczbę innych grup (często pięć), i to właśnie te ostatnie grupy są wyjątkowe i nie nie wchodzą w zakres algebry liniowej (przynajmniej nie w ten sam sposób): są one często powiązane z nieasocjacyjnymi strukturami algebraicznymi ( na przykład algebrami oktononu , wyjątkowymi algebrami Jordana).

Grupy Liego lub proste algebraiczne są związane z diagramami Dynkina (rodzaje wykresów), a pewne właściwości tych geometrii można odczytać z tych diagramów.

Obszary badań geometrii

Geometria Riemanna

Riemannowski geometria może być postrzegana jako przedłużenie euklidesowej geometrii. Jego badania skupiają się na właściwościach geometrycznych przestrzeni ( rozmaitości ) prezentujących pojęcie wektorów stycznych i wyposażonych w metrykę ( metrykę Riemanna ) umożliwiającą pomiar tych wektorów. Pierwszymi napotkanymi przykładami są powierzchnie trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , której właściwości metryczne były badane przez Gaussa w latach 20. XIX w. Iloczyn euklidesowy indukuje metrykę na powierzchni badanej przez ograniczenie do różnych płaszczyzn stycznych. Wewnętrzna definicja metryki została sformalizowana w wyższym wymiarze przez Riemanna. Pojęcie transportu równoległego umożliwia porównanie przestrzeni stycznych w dwóch różnych punktach rozmaitości: ma na celu spójny transport wektora wzdłuż krzywej narysowanej na rozmaitości riemannowskiej. Krzywizna rozmaitości Riemanna mierzy z definicji możliwą zależność transportu równoległego z jednego punktu do drugiego od łączącej je krzywej.

Metryka daje początek definicji długości krzywych, z której wywodzi się definicja odległości Riemanna. Ale właściwości metryczne trójkątów mogą różnić się od trygonometrii euklidesowej. Różnica ta jest częściowo badana przez twierdzenie Toponogova , które umożliwia przynajmniej lokalne porównanie badanej rozmaitości riemannowskiej z przestrzeniami modelowymi, zgodnie z rzekomo znanymi nierównościami na krzywiźnie przekroju. Wśród przestrzeni modelowych:

Złożona geometria

Złożonej geometrii odnosi się do własności pola może miejscowo identyfikować . Obiekty te ( rozmaitość zespolona ) wykazują pewną sztywność, wynikającą z niepowtarzalności analitycznego rozszerzenia funkcji o kilka zmiennych.

Geometrie symplektyczne i kontaktowe

Symplektycznych geometria jest gałęzią geometrii różniczkowej i może być wprowadzony jako uogólnienia do wyższych wymiarów pojęcia obszaru zorientowane napotkał w wymiarze 2. Jest to związane z naprzemiennych dwuliniowa formach. Obiektami tej geometrii są rozmaitości symplektyczne, które są rozmaitościami różniczkowymi zaopatrzonymi w pole o naprzemiennych dwuliniowych kształtach. Na przykład przestrzeń afiniczna połączona z przestrzenią wektorową obdarzoną naprzemienną niezdegenerowaną formą dwuliniową jest rozmaitością symplektyczną.

Geometria styku jest gałąź geometrii różnicowego studia odmiany styku, które są wyposażone w kolektory różnicowe w dziedzinie przestrzeni hiperpłaszczyznach stycznych weryfikujących właściwości. Na przykład, przestrzeń rzutowa dedukuje przestrzeń wektorową zaopatrzoną w naprzemienną niezdegenerowaną postać dwuliniową jest rozmaitością kontaktową.

Dyskretne i wypukłe geometrie

Geometrie algebraiczne i arytmetyczne

Nieprzemienna geometria

Zastosowania geometrii

Geometria i astronomia były od dawna połączone. Na poziomie elementarnym obliczenie rozmiarów Księżyca, Słońca i ich odpowiednich odległości od Ziemi wykorzystuje twierdzenie Talesa . W pierwszych modelach Układu Słonecznego każda planeta była powiązana z bryłą platońską . Z obserwacji astronomicznych Keplera , potwierdzonych pracą Newtona , udowodniono, że planety poruszają się po orbicie eliptycznej, w której Słońce jest jednym z punktów ogniskowych. Takie rozważania natury geometrycznej mogą często ingerować w mechanikę klasyczną, aby jakościowo opisać trajektorie .

W tym sensie geometria ingeruje w inżynierię w badanie stabilności układu mechanicznego. Ale jeszcze bardziej naturalnie interweniuje we wzornictwie przemysłowym . Rysunek przemysłowy przedstawia przekroje lub rzuty trójwymiarowego obiektu i jest oznaczony długościami i kątami. To pierwszy krok w tworzeniu projektu wzornictwa przemysłowego . W ostatnim czasie mariaż geometrii z informatyką umożliwił nadejście komputerowego wspomagania projektowania (CAD), obliczeń elementów skończonych i grafiki komputerowej .

Trygonometria euklidesowa jest stosowana w optyce do leczenia na przykład dyfrakcji światła. Od niej także wywodzi się rozwój nawigacji  : nawigacji morskiej z gwiazdami (z sekstantami ), kartografii, nawigacji lotniczej (pilotowanie instrumentami z wykorzystaniem sygnałów z radiolatarni).

Nowe osiągnięcia w geometrii w XIX th  century znalezione echa w fizyce. Często mówi się, że geometria riemannowska była początkowo motywowana pytaniami Gaussa dotyczącymi mapowania Ziemi. Uwzględnia w szczególności geometrię powierzchni w przestrzeni. Jedno z jej rozszerzeń, geometria Lorentzowska , dostarczyło idealnego formalizmu do formułowania praw ogólnej teorii względności . Geometria różnica znaleziono nowe zastosowanie w fizyce pocztowych nieniutonowskich z teorią strun lub membran .

Zakaz przemienne geometria , wynaleziony przez Alain Connes , zyskuje na obecnym dobra struktur matematycznych, z których do pracy, aby rozwijać nowe teorie fizyczne.

Edukacja w zakresie geometrii

Geometria zajmuje uprzywilejowane miejsce w nauczaniu matematyki . Jego zainteresowanie dowodzą liczne badania edukacyjne  : pozwala uczniom rozwijać refleksję nad problemami, wizualizować figury płaszczyzny i przestrzeni, pisać demonstracje , wyprowadzać wnioski z postawionych hipotez. Co więcej, „rozumowanie geometryczne jest znacznie bogatsze niż prosta dedukcja formalna”, ponieważ opiera się na intuicji zrodzonej z „obserwacji figur”.

W latach sześćdziesiątych edukacja matematyczna we Francji nalegała na praktyczne zastosowanie problemów geometrii w życiu codziennym. W szczególności twierdzenie Pitagorasa zostało zilustrowane regułą 3, 4, 5 i jej zastosowaniem w stolarstwie. Inwolucje, podziały harmoniczne i proporcje krzyżowe były częścią programu nauczania w szkole średniej. Ale reforma współczesnej matematyki , urodzona w Stanach Zjednoczonych i zaadaptowana w Europie, doprowadziła do znacznego ograniczenia wiedzy nauczanej w geometrii, aby wprowadzić algebrę liniową drugiego stopnia. W wielu krajach reforma ta była ostro krytykowana i wskazywana jako odpowiedzialna za niepowodzenia szkolne . Raport Jean-Pierre Kahane potępia brak „prawdziwej wstępnej refleksji dydaktycznej” na temat wkładu geometrii: w szczególności „praktyka geometrii wektorowej” przygotowuje ucznia do lepszego przyswojenia formalnych pojęć przestrzeni wektorowej, dwuliniowej. ...

Wykorzystanie rycin w nauczaniu innych przedmiotów pozwala uczniom lepiej zrozumieć przedstawiane argumenty. NB W dydaktyce matematyki zwykle rozróżniamy pojęcia „rysowania” (wykonywane za pomocą przyrządów takich jak linijki, cyrkle…), „schematu” (wykonywane odręcznie i służące jako konkretne wsparcie dla rozumowania abstrakcyjnego wykonać) i „figura” (abstrakcyjny obiekt geometryczny, do którego ostatecznie odnosi się rozumowanie, a każdy z nich ma swoją własną mentalną reprezentację: na przykład możemy mieć inną mentalną reprezentację, z wyjątkiem podobieństwa, trójkąta równobocznego „figura” ) . Przy tych rozróżnieniach to, co jest przedstawione graficznie, przywołuje zatem „figurę”, ale nią nie jest. .

Uwagi i referencje

  1. Fritz Reinhardt i Heinrich Soeder, Atlas Matematyki , Pocket Book, s.  13 .
  2. Jean-Pierre Kahane (red.), Nauczanie nauk matematycznych: Komisja do refleksji nad nauczaniem matematyki [ szczegóły wydań ]rozdz. 3, „Geometria”.
  3. Alain Michel, „Geometryzacja teorii fizycznej: o genezie problemu”, w Kouneiher i in.
  4. Jean-Jacques Szczeciniarz, „Filozofia i geometria: powstanie geometrii, jej filozoficzne skutki”, w: Kouneiher i in.
  5. Gerhard Heinzmann, „Geometria i zasada przydatności: ponowne odczytanie Ferdinanda Gonsetha”, w: Kouneiher i in.
  6. Mueller-Jourdan 2007 , s.  73
  7. Henri Poincaré , Nauka i hipoteza , Champs Flammarion,1902.
  8. do pewnego limitu, ponieważ niektóre geometrie nie pasują do tych ram.
  9. W pewnym stopniu iw przybliżeniu pomaga to również odróżnić od  ; wnętrze na zewnątrz.
  10. Jean-Pierre Provost i Gérard Vallée, Maths in Physics: Fizyka przez filtr matematyki , Paris, Éditions Dunod , coll.  "Sup Sciences",Marzec 2004, 1 st  ed. , 331  s. ( ISBN  2-10-004652-7 ) , s.  51.
  11. Denis Rolland, Architektura wiejska w Pikardii: Soissonnais , CREER, 1998 ( ISBN  978-2-909797-25-0 ) , s.  49 .

Zobacz również

Bibliografia

  • Charles Mugler, „  O historii niektórych definicji geometrii greckiej i relacji między geometrią a optyką (część pierwsza)  ”, „ Klasyczna starożytność” , tom.  26 N O  21957, s.  331-345 ( czytaj online , konsultacja 28 stycznia 2020 r. ).
  • Charles Mugler, „  O historii niektórych definicji geometrii greckiej i relacji między geometrią a optyką (ciąg dalszy)  ”, „ Klasyczna starożytność” , tom.  27, n o  1,1958, s.  76-91 ( czytaj online , konsultacja 28 stycznia 2020 r. )
  • Pascal Mueller-Jourdan , Inicjacja w filozofię późnego antyku: lekcje u Pseudo-Eliasza , Fryburg / Paryż, Éditions du Cerf ,2007, 143  s. ( ISBN  978-2-204-08571-7 ). Książka użyta do napisania artykułu
  • Nikołaj I. Łobaczewski, Pangeometria, przekład i redakcja: A. Papadopoulos, Seria Dziedzictwo Matematyki Europejskiej , t. 4, Europejskie Towarzystwo Matematyczne, 2010.
  • Jean-Paul Collette, Historia matematyki , tom.  2, Vuibert,1979( ISBN  2-7613-0118-8 ) , rozdział 10: Odnowienie geometrii XIX -tego  wieku .
  • A. Dahan-Dalmedico i J. Peiffer , Historia matematyki: drogi i labirynty ,1986[ szczegóły wydań ]
  • Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand i Jean-Jacques Szczeciniarz ( red. ), Geometry XX th  historia wiek i tła [[[referencyjny: Geometria w XX th  historia wiek i tła (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , reż.) | Szczegóły wydań]]]

Linki zewnętrzne