W matematyce i logice , A dowodem jest skonstruowany zestaw poprawnych rozumowania krokach .
W dowodzie, każdy krok jest albo aksjomatem (nabytym fakt) lub zastosowanie reguły co pozwala stwierdzić, że propozycja The wniosek , jest logiczną konsekwencją z jednej lub większej liczby innych propozycji, to lokal z reguła. Przesłankami są albo aksjomaty, albo twierdzenia już uzyskane jako wnioski z zastosowania innych reguł. Twierdzenie, które jest zakończeniem ostatniego etapu dowodu, jest twierdzeniem .
Termin „ dowód ” jest czasem używany jako synonim demonstracji przez przyciąganie z angielskiego dowodu .
Demonstracja zasadniczo różni się od argumentacji , która jest inną formą rozumowania , wykorzystującą argumenty jakościowe, ewentualnie odwołujące się do liczb, w celu skłonienia kogoś do działania.
W stylu Fitch naturalnej dedukcji , dowodem jest „skończony szereg wzorów, z których każdy jest albo aksjomatem lub bezpośrednią konsekwencją poprzednich form w mocy z reguły wnioskowania . ” Z naturalnej dedukcji dowodem jest drzewo .
Ogólnie rzecz biorąc, dowód jest „rozumowaniem pozwalającym na ustalenie twierdzenia” .
W swoim dokumencie poświęconym ostatnim twierdzeniem Fermata , Simon Singh pyta matematyków w tym John Conway , bary Mazur , Ken Ribet , John Coates , Richard Taylor wyjaśnienie pojęcia dowodu w matematyce. Oferują nieformalnie: „serię argumentów opartych na logicznych dedukcjach, które płyną od siebie, krok po kroku, aż do ustalenia rygorystycznego dowodu” .
Pierwsze rygorystyczne demonstracje znajdujemy w Euclide .
Przed pojawieniem się logiki formalnej pojęcie dowodu absolutnego nawiązywało do idei dowodu bezsprzecznie dowodzącego twierdzenia do wykazania, decydującego dla wszystkich, wszędzie i zawsze, pokazującego, że dane rozwiązanie zostało dorozumiane przez wszystkich rozumnych ludzi.
Jednak sama koncepcja dowodu wymaga wiedzy podstawowej w celu ustalenia przesłanek. Idea demonstracji absolutnej, to znaczy bez żadnych założeń, wydaje się wówczas absurdalna, ponieważ demonstracja jest dyskursem, który przechodzi od znanego do nieznanego. Z tej obserwacji wynika, że demonstracja skłania się ku demonstracji odnoszącej się do prawdziwości swoich przesłanek.
Aby ustalić prawdziwość tych przesłanek, konieczne jest ustalenie prawdziwości zasad, podmiotów i właściwości, które te przesłanki implikują.
Jeśli chodzi o „zasady, trzeba wiedzieć, że są prawdziwe”, ich prawdy są ustalane albo przez fakt, że są oczywiste, albo przez to, że zostały wcześniej zademonstrowane. Ta idea dowodu odnosi się do apodyktycznej prawdy . i wyjaśnia, dlaczego pojęcie dowodu apodyktycznego jest czasami używane jako synonim dowodu absolutnego.
Jeśli chodzi o podmioty, są one znane ze swojej istoty i istnienia. Istota jest znana z definicji, a istnienie nie jest demonstrowane, jest zawsze zakładane.
Krótko mówiąc, w kategoriach bezwzględnych ostatecznie konieczne byłoby zademonstrowanie pierwszych przesłanek w celu ustanowienia prawdziwej i absolutnej podstawy. Innymi słowy, najwyższy możliwy poziom prawdziwości przesłanki jest w najlepszym razie prawdą apodyktyczną . W tym celu kilku logików próbuje oprzeć systemy logiki lub matematyki na dających się udowodnić podstawach, zwłaszcza w okresie kryzysu podstaw matematycznych.
W swojej Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique opublikowanej w 1821 r. Cauchy podał twierdzenie o wartościach pośrednich, jak Twierdzenie IV z rozdziału II, a następnie dał demonstrację (patrz rysunki powyżej).
Twierdzenie o wartości pośredniej (początek)
Twierdzenie o wartości pośredniej (koniec)
Raz zademonstrowana propozycja może być następnie wykorzystana w innych demonstracjach. W każdej sytuacji, w której zdania początkowe są prawdziwe, pokazane zdanie powinno być prawdziwe; można ją zakwestionować jedynie przez zakwestionowanie jednego lub więcej zdań początkowych lub samego systemu reguł dedukcji.
Ten opis może być idealny. Zdarza się, że dowodzenie częściowo opiera się na intuicji, np. geometrycznej, i dlatego wszystkie dopuszczone własności, aksjomaty , nie są jednoznaczne. Dowody geometrii, które można znaleźć w Elementach Euklidesa, są na przykład nadal uważane za modele rygoru, podczas gdy Euklides opiera się częściowo na ukrytych aksjomatach, jak wykazał David Hilbert w swoich „ podstawach geometrii ”. Ponadto demonstracje matematyków nie są formalne, a demonstrację można uznać za słuszną w szerokim zarysie, podczas gdy kwestie pozostają do wyjaśnienia z całą ścisłością, nawet jeśli inne są oszpecone „drobnymi” błędami. Piszemy demonstrację, którą należy przeczytać i przekonać czytelników, a wymagany poziom szczegółowości nie jest taki sam w zależności od ich wiedzy. Jednak wraz z pojawieniem się komputerów i systemów wsparcia demonstracji , niektórzy współcześni matematycy piszą demonstracje, które muszą być zweryfikowane przez programy.
Demonstracje matematyczne przechodzą przez różne etapy zgodnie z pewną linią dedukcji. Niektóre główne typy demonstracji otrzymały określone nazwy.
Logika matematyczna opracował gałąź, który jest dedykowany do demonstracji i badania systemów dedukcyjnych i jest znany to teoria dowodu . W ten sposób sformalizowano pojęcie demonstracji. Następnie mówimy o dowodzeniu formalnym jako o przedmiocie matematycznym, który zawiera wszystkie etapy dedukcji. Mówi się, że formuła F języka L jest wykazana w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony szereg formuł kończących się na F, taki, że:
Czasami można wykazać, że pewnego twierdzenia nie da się udowodnić w pewnym systemie aksjomatycznym . W geometrii postulat Euklidesa , zwany także aksjomatem równoległości, jest niezależny od innych aksjomatów geometrii.
Aksjomat wyboru nie można wykazać w aksjomaty zermelo-fraenkela , ani jego negacja. Podobnie, ani hipotezy continuum, ani jej negacji nie można wykazać w teorii Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru . Mówimy, że twierdzenia te są niezależne od tego systemu aksjomatów: można zatem dodać do teorii mnogości zarówno aksjomat wyboru, jak i jego negację, teoria pozostanie spójna (przy założeniu, że teoria mnogości jest teorią mnogości).
W rzeczywistości, jak głosi twierdzenie Gödla , w każdej „rozsądnej” teorii aksjomatycznej zawierającej liczby naturalne istnieją zdania, których nie można udowodnić, gdy są one w rzeczywistości „prawdziwe”, to znaczy, mówiąc dokładniej, wszystkie przypadki , przez każdą z liczb naturalnych, zdania, o których mowa, są możliwe do wykazania.
Dział IT zbudował narzędzia wspomagające demonstrację, które są dwojakiego rodzaju: