Grupa euklidesowa

W matematyce The euklidesowa grupa zauważyć, e (n), albo oznacza (n) jest grupą symetrii w przestrzeni euklidesowej wymiaru N. Jego elementami są izometrie, które zachowują metrykę euklidesową.

Grupa liniowa euklidesowa

Przestrzeni euklidesowej wektor jest prawdziwą przestrzenią liniową skończonego wymiaru i wyposażony dot produktu .

Grupa izometrii euklidesowej przestrzeni wektorowej o wymiarze n jest oznaczona i obejmuje: ${\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$

obroty, które zachowują orientację i tworzą zaznaczoną podgrupę . ${\ displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$

na odbicia i przed obrotem , które nie zachowują orientację i nie tworzą grupę (jak zawierające tożsamości).

${\ displaystyle \ operatorname {O} (n)}$ jest podgrupą ogólnej grupy liniowej . ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {R})}$

Podgrupy liniowej grupy euklidesowej (do uzupełnienia)

Każdy ograniczony podgrupa jest albo grupę cykliczną , A dwuściennej grupy, lub grupę symetrii regularnych wielościanu . $\ operatorname {SO} (3)$

Euklidesowa grupa afiniczna

Euklidesowa afiniczne przestrzeni jest przestrzeń afiniczna którego bazowy przestrzeń wektor jest euklidesowa.

Grupa afinicznych izometrii afinicznej przestrzeni euklidesowej wymiaru n jest oznaczona i obejmuje: ${\ displaystyle \ operatorname {Is} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {O} (n)}$

na przemieszczenia (przekształcenia konserwujące orientację: tłumaczenia , obroty , śruby ), które tworzą podgrupę zanotowany . ${\ displaystyle \ operatorname {Is} ^ {+} (\ mathbb {R} ^ {n}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {SO} (n)}$

z anty-przesunięcie (przemian kierunku cofania: symetrie , odbicia , antirotations ), które nie tworzą grupy (od tożsamości transformacji ruch).

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ nazwa operatora {O} (n)}$ jest podgrupą grupy afinicznej . ${\ Displaystyle GA (n, \ mathbb {R}) = \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, \ mathbb {R})}$

Niezmienniki grupy afinicznej euklidesa

Oczywiście odległość euklidesowa jest niezmienna pod wpływem transformacji tej grupy, ale także kąty są zachowane, równoległość, środek ciężkości, wyrównanie i współczynnik krzyża. Orientacja nie jest utrzymywana przez antypoślizgowości.

Zobacz też