Przestrzeń metryczna

W matematyce, a dokładniej w topologii , przestrzeń metryczna to zbiór, w którym zdefiniowane jest pojęcie odległości między elementami zbioru. Elementy będą na ogół nazywane punktami.

Każda przestrzeń metryczna jest kanonicznie wyposażona w topologię . Przestrzenie metryzowalne to przestrzenie topologiczne uzyskane w ten sposób.

Przykładem najbardziej pasującym do naszego intuicyjnego doświadczania przestrzeni jest trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa . Metryka euklidesowa tej przestrzeni definiuje odległość między dwoma punktami jako długość odcinka łączącego je.

Klasa izometrii przestrzeni metrycznej (czyli zbiór wszystkich przestrzeni o tej samej strukturze metrycznej) jest znacznie mniejsza niż jej klasa homeomorficzna . Na przykład kwadrat, trójkąt, koło i dowolna krzywa Jordana są homeomorficzne, ale nie izometryczne. Tak więc struktura metryczna koduje znacznie więcej informacji o geometrycznym kształcie obiektów niż prosta struktura topologiczna; co nie jest zaskakujące, ponieważ pojęcie odległości między dwoma punktami jest kluczowe dla zwykłej geometrii.

Pojęcie przestrzeni metrycznej po raz pierwszy sformułował francuski matematyk René Maurice Fréchet w swojej pracy magisterskiej obronionej w 1906 roku.

Definicja

Definicja (przestrzeń metryczna) — Przestrzeń metryczna to para, w której jest niepustym zbiorem i jest odległością ponad , czyli aplikacją, która spełnia następujące trzy właściwości. $(E, d)$ $mi$ $re$ $mi$ ${\ displaystyle d: E \ razy E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

Symetria: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E, \, d (x, y) = d (y, x)}$
Separacja: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E, \, d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
Nierówność trójkątna . ${\ displaystyle \ forall x, y, z \ w E, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

Dla uproszczenia, przestrzeń metryczna będzie czasami odnosić się tylko do zbioru, a nie do pary, gdy nie ma niejasności co do odległości leżącej u jej podstaw . $mi$ $(E, d)$ $re$

Topologia przestrzeni metrycznej

Piłka i kula

Definicja (kula i sfera) - niech będzie przestrzenią metryczną, a . Definiujemy otwartą i zamkniętą kulę , wyśrodkowaną i o promieniu w następujący sposób. $(E, d)$ $starszy$ ${\ displaystyle r \ in \ lewy] 0, + \ infty \ prawy [}$ $w$ $r$

Otwarta piłka: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ w E \, | \, d (a, x) <r \}}$
Piłka zamknięta: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ w E \, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

Sferę wyśrodkowaną i o promieniu definiujemy również w następujący sposób. $w$ $r$

Kula . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ w E \, | \, d (a, x) = r \} }$

Zauważamy, że kula, otwarta czy zamknięta, nigdy nie jest pusta, ponieważ zawsze zawiera swój środek . Z drugiej strony kula może być pusta. $w$

Czasem wygodnie jest zdefiniować pojęcie kuli tępej (otwartej lub zamkniętej): Jest to kula, zdefiniowana jak poprzednio, pozbawiona środka. Na przykład tępa otwarta kula o promieniu r i środku a wyznacza zbiór:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

Topologia

Niech będzie przestrzenią metryczną. Definiujemy zbiór składający się ze wszystkich (dowolnych) możliwych związków otwartych kul, a dokładniej: $(E, d)$ ${\ matematyczny {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ filiżanka _ {i \ w I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, ja {\ tekst {dowolny zbiór i}} \ forall i \ w I, \, a_ {i} \ w E, \, r_ {i}> 0 \}}$

gdzie uważamy, że pusta suma (kiedy ) jest warta pustego zbioru . ${\ displaystyle I = \ varnothing}$ $\ varnothing$

Wniosek / definicja (od topologii przestrzeni metrycznej) - Zestaw jest topologia o nazwie topologii generowanej przez odległość . To znaczy, że ${\ matematyczny {T}}$ $mi$ $re$

Pusty zestaw jak i cały zestaw należą do . $\ varnothing$ $mi$ ${\ matematyczny {T}}$
Zestaw jest stabilny przy każdym związku. ${\ matematyczny {T}}$
Zestaw jest stabilny dzięki skończonemu przecięciu. ${\ matematyczny {T}}$

Definicja (otwarte, zamknięte i sąsiedzkie) - Używamy następującego słownictwa.

Elementy z są nazywane, otwarte z . ${\ matematyczny {T}}$ $mi$
Podzbiory , które są zapisywane jako uzupełnienie otwartej, z drugiej strony, nazywane są zamknięte od . $mi$ $mi$
Mówi się, że zestaw to sąsiedztwo, jeśli jest otwarte, takie, że . ${\ styl wyświetlania V \ podzbiór E}$ $x \ w E$ ${\ displaystyle U \ w {\ mathcal {T}}}$ ${\ styl wyświetlania x \ w U \ podzbiór V}$

Pojęcia otwarte, zamknięte i sąsiedztwa są w rzeczywistości pojęciami przypisywanymi przestrzeniom topologicznym , bardziej ogólnymi, a nie specyficznymi dla przestrzeni metrycznych.

Pierwsze właściwości

Każda otwarta piłka jest otwarta.
Każda zamknięta kula jest zamknięta.
Każda sfera jest zamknięta.
Część A części E jest sąsiedztwem punktu a wtedy i tylko wtedy, gdy A zawiera otwartą kulę ze środkiem a .
Otwarte kulki skupione w punkcie stanowić podstawę dzielnicach o . Oznacza to, że każde sąsiedztwo a zawiera otwartą kulę ze środkiem a .
Wszystkie otwarte kule stanowią bazę otwartą E . To znaczy, że każda otwarta może być zapisana jako suma (dowolny) otwartych kul.

Konwergencja pakietów

Definicja (zbieżność, wartość adhezji, ciąg Cauchy'ego) - niech będzie ciągiem przestrzeni metrycznej i . ${\ styl wyświetlania (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $x \ w E$

Mówimy, że zbiega się do , lub to jest granica , jeśli ${\ styl wyświetlania (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $x$ $x$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ istnieje n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Mówimy, że jest to wartość przyczepności si $x$ ${\ styl wyświetlania (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ istnieje n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Mówimy, że jest to ciąg Cauchy'ego, jeśli ${\ styl wyświetlania (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ istnieje n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

Sprawdzane są następujące właściwości:

Sekwencja zbieżna ma unikalną wartość przyczepności, która jest jego granicą.
Sekwencja Cauchy'ego jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ma wartość adhezji.

Adhezja otwartej kuli

Przyczepność otwartej kuli o promieniu R i środkowej A , znany jest, z definicji, najmniejszy zamknięty zawierający otwartą piłkę . Zawsze tak jest, ponieważ zamknięta kula zawiera otwartą kulę i jest zamknięta. Z drugiej strony możliwe jest, że włączenie to jest ścisłe. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę rzeczywistą linię obdarzoną odległością, to , i . ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r)}$ ${\ styl wyświetlania B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ podzbiór B_ {f} (a, r)}$ ${\ displaystyle d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ lewo] -1,1 \ prawo [}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ lewo [-1,1 \ prawo]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Uwagi

Dla każdej niepustej części A z E , mapa, która w dowolnym punkcie x z E łączy odległość od x do A (tj. inf odległości od x do wszystkich punktów A ) jest ciągła, ponieważ 1- Lipschitzian . Do x , w którym znika stanowią członkowie wskazują na A .
- Dowolna metryzowalna przestrzeń topologiczna jest w konsekwencji nie tylko oddzielona, ale całkowicie normalna - a więc normalna - to znaczy, że wszystkie singletony są domknięte i że każdy domknięty F jest miejscem kasowania funkcji ciągłej: aplikacja x ↦ d ( x , F ).
W szczególności, dla dowolnego elementu a z E , odwzorowanie x ↦ d ( x , a ) jest 1-Lipschitzowskie. Wywnioskujemy, że:
- każda zamknięta kula B f ( a , r ) jest kulą zamkniętą dla topologii związanej z odległością (jako odwrotny obraz , według tego odwzorowania, kuli zamkniętej [0, r ]). Adhezji B ( , R ) z B ( , r ) jest więc zawarte w B F ( , r ), ale czasami ściślej patrz artykuły „ kulistym (matematyczne) ” i „ Ultrametric odległość ”.
- odwzorowanie d jest 2-lipschitzowskie , na przestrzeni produktu E × E obdarzonej odległością d $\infty$ określoną przez d $\infty$ (( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 )) = max ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).
W dowolnej części A w E , indukowana topologia pokrywa się z tą zdefiniowaną przez ograniczenie odległości. Rzeczywiście, obaj mają za podstawę otoczeń punktu x od A do skrzyżowania z A otwartych kulek środkowej x .
Mówi się, że przestrzeń metryczna jest czysta, jeśli wszystkie jej zamknięte kule są zwarte . Każda właściwa przestrzeń metryczna jest lokalnie zwarta, ale odwrotność jest fałszywa (pomyśl o dyskretnej odległości w zbiorze nieskończonym).

Przykłady

Normą N w rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni wektorowej naturalnie wywołuje się odległość D ( x , y ) = N ( X - Y ).
Z normy wyprowadza się różne zwykłe odległości na n , a więc na przykład:
- (dla n = 1) zwykle odległość nad zbiorem liczb rzeczywistych jest związana z wartością bezwzględną ;
- (dla n = 2) odległość od Manhattanu na płaszczyźnie ℝ 2 : d ( a , b ) = | x b - x a | + | y b - y |. Jest to odległość wywołana przez normę 1 ;
- (dla n = 2) odległość w szachach pozwala poznać minimalną liczbę ruchów w grze w szachy, aby przejść z królem z pola a = ( x a , y a ) do pola b = ( x b , y b ) i jest zdefiniowane przez: d ( a , b ) = max (| x b - x a |, | y b - y a |) ;
Moduł różnicy dwóch liczb zespolonych jest odległość.
Trywialna odległość (lub również dyskretna odległość lub dyskretna metryka) jest zdefiniowana w dowolnym zestawie przez: d ( x , y ) = 1, jeśli x y i d ( x , x ) = 0. Powiązana topologia jest topologią dyskretną .
Odległość Hamminga jest stosowany w kodzie naprawczych teorii .
Przestrzenie topologiczne ℝ i] 0, 1 [ są homeomorficzne, ale przy zachowaniu zwykłej odległości nie są izomorficzne jak przestrzenie metryczne ; na przykład ℝ jest zupełne, ale] 0, 1 [nie jest.
Jeśli wyposażymy ℝ + w odległość d ( x , y ) = | e x - e y | , znajdziemy zwykłą topologię na ℝ + , ale teraz wszystkie funkcje wielomianowe są jednostajnie ciągłe .

Iloczyn przestrzeni metrycznych

Każdemu skończonemu lub przeliczalnemu iloczynowi przestrzeni metrycznych można nadać odległość, która indukuje jednorodną strukturę iloczynu i a fortiori topologię iloczynu : w tym celu, jeśli ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) są przestrzeniami metrycznymi , możemy na przykład podaj E 1 ×… × E n z odległością d N określoną przez

d_ {N} {\ Duży (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Duży)} = N {\ Duży (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ Duży)},

gdzie N jest standardem ℓ p arbitralnym na ℝ n (lub dowolnym innym standardzie rosnącym na (ℝ + ) n dla kolejności produktu ) i zapewniającym E = Π k ∈ℕ E k odległości d określonej przez

d (x, y) = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

gdzie każda odległość na E k jest najpierw zastępowana, jeśli to konieczne, przez topologicznie równoważną odległość d k powiększoną o stałą niezależną od k . Łatwo jest zweryfikować, że d N i d są rzeczywiście odległościami w odpowiednich zestawach i że topologie, które definiują w tych zestawach, pokrywają się z topologiami produktu (obliczenia pokazują nawet, że nie tylko te dwie topologie są zbieżne, ale także dwie struktury są jednorodne z którego pochodzą, pod warunkiem wybrania, przy uprzednim zastąpieniu d k , odległości równoważnych jednorodnie, a nie tylko topologicznie).

Jeśli każda d k jest dyskretna odległość , to wybór d otrzymujemy: jeśli x ≠ y , d ( x , y ) = 2 - K , gdzie K jest najmniejsza n takie, że x n ≠ y n . Przykładami są Baire przestrzeń i topologiczne pierścienie z formalnego serii .

Z drugiej strony, nie policzalny produktem spoza grubych przestrzeni topologicznych jest nigdy metryzowalny , ani nawet sekwencyjny .

Równoważność przestrzeni metrycznych

Porównując dwie przestrzenie metryczne, można wyróżnić różne stopnie równoważności . Aby zachować przynajmniej strukturę topologiczną wywołaną przez metrykę, wymagana jest między nimi funkcja ciągła .

Mówi się o dwóch przestrzeniach metrycznych ( M 1 , d 1 ) i ( M 2 , d 2 ):

topologicznie izomorficzny (lub homeomorficzny ), jeśli istnieje między nimi homeomorfizm ;
jednostajnie izomorficzny, jeśli istnieje między nimi jednostajnie ciągła bijekcja, której odwrotność jest jednostajnie ciągła.
Ekwiwalenty Lipschitza, jeśli istnieje bijection od jednego do drugiego, który jest lipschitzowski, jak również jego odwrotna mapa.
izometrycznie izomorficzny, jeśli istnieje między nimi izometria jeden do jednego. W tym przypadku te dwie przestrzenie są w zasadzie identyczne. Isometry jest funkcją f : K 1 → M 2 , która zachowuje się odległości: d 2 ( F ( x ) m ( Y )) = d 1 ( x , y ) dla każdego X , Y w M 1 . Izometrie są z konieczności iniektywne .
podobnie jeśli istnieje dodatnia stała k > 0 i bijekcja f : M 1 → M 2 , zwana podobieństwem , taka że d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y ) dla wszystkich x , y w M 1 .
podobny jeśli istnieje bijekcja f : M 1 → M 2 , nazywana podobieństwem, taka że d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) wtedy i tylko wtedy d 1 ( x , y ) = d 1 ( u , v ) dla wszystkich x , y , u , v w M 1 .

Dwie podobne przestrzenie euklidesowe są z konieczności homeomorficzne, a więc mają ten sam wymiar, a zatem są izometryczne.

Przestrzeń mierzalna

Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, jeśli istnieje odległość, która generuje jej topologię. Oto kilka przykładów przestrzeni metryzowalnych:

Przykłady przestrzeni metryzowalnych

Razem	Topologia	Odległość generująca topologię
prawdziwy prosto $\ mathbb {R}$	zwykła topologia generowana przez otwarte interwały ${\ styl wyświetlania \ lewy] a, b \ prawy [}$	odległość związana z wartością bezwzględną
kompleksowy plan $\ mathbb {C}$	topologia generowana przez otwarte prostokąty ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ czapka \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	odległość związana ze złożonym modułem
$\ mathbb {R} ^ {d}$	topologia generowana przez otwartą kostkę brukową ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ lewy] a_ {i}, b_ {i} \ prawy [}$	Odległość euklidesowa
prawdziwa linia zakończona ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$	topologia generowana przez zbiory postaci lub gdzie ${\ displaystyle \ lewy] a, + \ infty \ prawy]}$ ${\ displaystyle \ lewy [- \ infty, a \ prawy [}$ $a \ w \ R$	${\ displaystyle d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ z konwencją, że ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi/2}$
Pomiary prawdopodobieństwa na mierzalnej przestrzeni, gdzie jest metryzowalny i rozdzielny oraz gdzie wyznaczono plemię Borelian ${\ displaystyle {\ matematyczne {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ styl wyświetlania (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ $X$ ${\ matematyczny {B}} (X)$	unikalna topologia, taka jak podstawa sąsiedztw miary, jest określona przez zbiory, w których są ograniczone ciągłe, a $\ mu$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ w {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ forall 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ styl wyświetlania f_ {1}, \ kropki, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Odległość Lévy-Prochorov
Przestrzeń wektorowa obdarzona policzalną rodziną rozdzielających półnorm (tj. implikuje, że ) $mi$ ${\ styl wyświetlania (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ forall n}$ $x = 0$	unikalna topologia taka, że podstawą sąsiedztwa wektora są zbiory, gdzie jest skończony i $x$ ${\ displaystyle \ {y \ in E \, \| \, \ forall i \ in J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ styl wyświetlania J \ podzbiór \ mathbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ suma _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

Istnieją wystarczające i równoważne warunki, aby przestrzeń topologiczna była metryzowalna:

Pierwsza naprawdę przydatna jest ze względu na Urysohna ; mówi, że każda przestrzeń regularna o podstawie przeliczalnej jest metryzowalna (ta forma warunku została faktycznie udowodniona przez Tychonova w 1926 roku. W artykule opublikowanym w 1925 roku Urysohn odkrył, że każda przestrzeń regularna o podstawie przeliczalnej jest metryzowalna). Na przykład każda policzalna odmiana podstawowa jest metryzowalna. Również kompakt jest metryzowalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma podstawę policzalną.
Ten warunek wystarczający Urysohna (regularność + baza przeliczalna) został przekształcony w warunek konieczny i wystarczający (regularność + lokalnie skończona baza przeliczalna ) przez Binga, Nagatę i Smirnova .
Smirnov udowodnił również, że przestrzeń jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parakompaktowa i lokalnie metryzowalna (o przestrzeni mówi się, że jest metryzowalna lokalnie, jeśli każdy punkt ma metryzowalne sąsiedztwo). W szczególności odmiana jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest parakompaktowa.

Uwagi i referencje

Jean Dieudonné , Elementy analizy , t. . I: Podstawy współczesnej analizy [ szczegóły wydań ], 3 e wyd. , s. 34 .
(w) CC Heyde i E Seneta, Statystyka Wieków , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , czytaj online ) , s. 331
Maurice Fréchet, „ O niektórych punktach rachunku funkcjonalnego ”, Thesis, Paris. Rendiconti Circolo Mat. Palermo , tom. 22,1906, s. 1-74 ( czytaj online )
Jacques Dixmier , Topologia ogólna , PUF , s. 107.
Georges Skandalis , topologia i analiza 3 rd roku: lekcje i ćwiczenia z rozwiązaniami , vol. 3, Paryż, Dunod ,2004, s. 4.
Aby uzyskać więcej informacji, kliknij na przykład link na dole strony do Wikiversity .
Henri Bourlès , Precis matematyki pogłębionej i fundamentalnej , t. 2: Rozszerzenia pól, topologia i topologiczne przestrzenie wektorowe, przestrzenie funkcjonalne, snopy , Londyn, ISTE,2018, 316 pkt. ( ISBN 978-1-78405-416-8 , czytaj online ) , s. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, „ Zbieżność pomiarów, proces Poissona i proces Lévy’ego ” ,2016, s. 12-14
Stéphane Mischler, „ Kurs analizy funkcjonalnej i PDE w Ecole Normale Supérieure. Rozdział 1 - Półstandard i wprowadzenie do evtlcs ” ,2007

Zobacz również