Geodezyjne

W geometrii , o geodezyjnej jest uogólnieniem w prostej linii na powierzchni . W szczególności, najkrótsza droga lub jeden z najkrótszych ścieżek, jeżeli jest ich więcej niż jeden, pomiędzy dwoma punktami o powierzchni zaopatrzony w metryka jest geodezyjny. Jeśli zmienimy to pojęcie odległości, geodezja przestrzeni może przybrać zupełnie inny wygląd.

Wprowadzenie

Pierwotnie termin geodezja pochodzi od geodezji (z greckiego gáa „ziemia” i daiein „dzielić, dzielić”), nauki o mierzeniu wielkości i kształtu Ziemi . Geodezja wyznaczyła zatem dla geometrów najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami w przestrzeni (implikacja geograficzna ).

Transpozycja do matematyki sprawia, że geodezja uogólnia pojęcie „prostej” na powierzchnie i, bardziej ogólnie, na „przestrzenie zakrzywione”. Ponieważ definicja geodezji zależy zatem od typu „zakrzywionej przestrzeni”, poprzednie znaczenie nie jest tam już prawdziwe, chyba że lokalnie, jeśli ta przestrzeń ma metrykę .

Najkrótsza ścieżka między dwoma punktami w zakrzywionej powierzchni można otrzymać przez zapisanie wzoru na długości łuku i znalezienie minimalnej wartości dla tej wartości. W równoważny sposób można określić inną wartość, energię krzywej i dążyć do jej minimalizacji, co prowadzi do tych samych równań dla geodezji. Intuicyjnie możemy spróbować zrozumieć to drugie sformułowanie, wyobrażając sobie rozciągniętą między dwoma punktami elastyczną taśmę. Gdyby podążał za geodezją, miałby minimalną długość, a tym samym minimalną energię.

Geodezja jest często spotykana w badaniach geometrii riemannowskiej i, bardziej ogólnie, geometrii metrycznych . W fizyce geodezja opisuje ruch cząstek swobodnych, na które nie działają siły zewnętrzne (inne niż grawitacja w kontekście ogólnej teorii względności ). Przykładami są ścieżka, po której porusza się swobodnie spadająca skała, krążący na orbicie satelita oraz kształt orbity planety, z których wszystkie są opisane przez geodetów z teorii ogólnej teorii względności. Z drugiej strony trajektoria rakiety w drodze na Księżyc nie jest geodezyjna z powodu siły ciągu wywieranej przy włączonym silniku.

Przykłady

Geodezja powierzchni kosmicznej

Najbardziej znanymi przykładami geodezji są linie rysowane na powierzchniach w wymiarze 3. Próbują uogólnić pojęcie linii prostej na płaskiej powierzchni. Obserwujemy, że rower toczący się po płaskiej powierzchni bez zmiany kierunku porusza się po linii prostej. Jeśli rower porusza się po nierównej powierzchni, ale rowerzysta nie kręci kierownicą, rower będzie podążał geodezyjną. Ta intuicyjna wizja znajduje odzwierciedlenie w następującej matematycznej definicji:

Niech będzie łukiem regularnym, narysowanym na zwykłym arkuszu przestrzeni, łuk jest geodezyjny, jeśli jego krzywizna geodezyjna jest stale równa zeru.

Istnieją inne sposoby charakteryzowania geodezji. Geodezja to krzywa rysowana na powierzchni, której główna normalna jest normalna do powierzchni. Linia geodezyjna to linia, która w każdym punkcie, który nie jest punktem przegięcia, ma płaszczyznę krzywą normalną do powierzchni w tym punkcie.

Pokazano, że na danej powierzchni, jeśli istnieje krzywa o minimalnej długości łącząca dwa punkty, to krzywa ta zawsze przebiega po geodezji. Ale geodezja nie zawsze odpowiada ścieżce o minimalnej długości.

Na przykład geodezja walca obrotowego to południki, równoleżniki i helisy kołowe . Istnieje nieskończoność kolistych helis przechodzących przez dwa punkty $A$ i $B$ cylindra obrotowego nie znajdujące się na tym samym równoległym ale jednej krzywej o minimalnej długości łączącej $A$ i $B$ (jeżeli punkt środkowy $[ AB ]$ nie jest na l 'obrocie oś).

Geodezja kuli to jej wielkie koła . Najkrótszą odległość między punktem $A$ a punktem $B$ na sferze określa najmniejsza część wielkiego koła przechodząca przez $A$ i $B$ . Jeśli $A$ i $B$ są od siebie oddalone (tak jak biegun północny i biegun południowy), istnieje nieskończona liczba krótszych ścieżek.

Geodezja ma następujące dwie unikalne właściwości:

w punkcie powierzchni istnieje jedna i tylko jedna geodezja o danej stycznej;
przez dwa dość bliskie punkty powierzchni , przez te punkty przechodzi pojedynczy geodezyjny; ta geodezja odpowiada wówczas ścieżce o minimalnej długości łączącej te punkty.

Geografia

Geodezyjnych współrzędnych systemu (geodezyjny System ) jest sposobem lokalizacji miejsce w pobliżu powierzchni Ziemi (na przykład, szerokości i długości geograficznej ). Jest to trój wymiarowy układ odniesienia (a Planisphere ma tylko dwa) w euklidesowej ramki odniesienia.

Jeśli myślimy o Ziemi w kuli, geodezje to łuki zwane również „łukami wielkiego koła” lub „ ortodromiami ”. To tylko przybliżenie rzeczywistości, kształt Ziemi jest zbliżony do elipsoidy rewolucji.

Fizyczny

W fizyce geodezja jest uogólnieniem tego naziemnego zastosowania. Zamiast materialnej przeszkody do obejścia, jest to na przykład pole siłowe modyfikujące trajektorię.

Voyager są, na przykład, wykonaj zakrzywionej kierunków przestrzennych, jak na zdjęciu poniżej przeciw przy każdym przejściu w pobliżu planety. Ich droga, którą można by porównać do formy spirali, jest jednak najszybszą drogą.

Szczególna teoria względności , wiążąc materię z energią, umożliwiła zastosowanie pojęcia geodezji do elementów, które zdawały się jej umykać, takich jak światło.

Urzeczywistnia się to, na przykład w astrofizyce , przez fakt, że obecność gwiazdy pomiędzy źródłem światła a obserwatorem zakrzywia optymalną ścieżkę, jaką musi obrać światło, aby do niej dotrzeć.

Ogólna teoria względności , łącząc razem do „wygiętej” przestrzeni, pozwoliły powiązać koncepcję orbicie i geodezyjnej. W orbita Ziemi wokół Słońca jest więc logiczna ścieżka w czasoprzestrzeni , ze względu na połączenie jej pędu (interpretowane jako efekt odśrodkowej fizyki Galileusza) i krzywizny najbliższej czasoprzestrzeni. Gwiazdy (interpretowany jako dośrodkowej efektu w fizyce Galileusza).

Aplikacje geometryczne

Geometria metryczna

W geometrii metrycznej geodezja jest krzywą, która lokalnie podąża wszędzie za minimalną odległością. Dokładniej, krzywa parametryczna $γ: I \to M$ od przedziału jednostkowego $I$ do przestrzeni metrycznej $M$ jest geodezyjną, jeśli istnieje stała $v \geq 0$ taka, że dla wszystkiego istnieje sąsiedztwo $J$ z $t$ w $I$ takie, że dla wszystko co mamy: $t \ w I$ $t_ {1}, t_ {2} \ w J$

{\ displaystyle d \ lewo (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ prawo) = v | t_ {1} -t_ {2} | ~}

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest geodezyjna, jeśli dowolne dwa jej punkty są zawsze połączone co najmniej jednym geodezyjnym. Pojęcie bardzo podobne do przestrzeni długości .

Uogólnia to pojęcie geodezji dla rozmaitości riemannowskich. Jednak w geometrii metrycznej rozważane geodezyjne są prawie zawsze wyposażone w naturalną parametryzację , którą definiuje fakt, że $v = 1$ i

{\ displaystyle d \ lewo (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) \ prawo) = | t_ {1} -t_ {2} | ~}

(Pseudo-) riemannowska geometria

Na rozmaitości pseudo-Riemanna , geodezyjna $M$ jest zdefiniowana przez regularną sparametryzowaną krzywą, która prowadzi równolegle swój własny wektor styczny . ${\ displaystyle \ lambda \ mapsto \ gamma (\ lambda)}$

Aby intuicyjnie zrozumieć, co to oznacza, można sobie wyobrazić samolot pasażerski lecący na stałej wysokości wokół Ziemi z Paryża do Pekinu najkrótszą trasą. Z punktu widzenia pasażerów kierunek lotu jest zawsze taki sam. Pod koniec podróży pasażerowie nigdy nie odczuli przyspieszenia, które spowodowałoby zmianę kierunku. Według nich wybrali najkrótszą drogę. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę układ odniesienia wyśrodkowany na Ziemi, wektor opisujący prędkość samolotu zmieniał z czasem kierunek, podążając za kształtem planety. Zmiany te były jednak prostopadłe we wszystkich punktach do płaszczyzny stycznej do sfery ziemskiej, ponieważ nie zachodzi żadna zmiana styczna. Ta modyfikacja wektora prędkości samolotu w sposób dostosowany do geometrii, w której się porusza, odpowiada dokładnie temu, co rozumie się przez transport równoległy . W przypadku powierzchni zawartej w przestrzeni o wymiarze 3, geodezyjny przebyty ze stałą prędkością jest krzywą taką, że przyspieszenie punktu ruchomego jest prostopadłe do płaszczyzny stycznej do powierzchni. Nie ma przyspieszenia poprzecznego, które spowodowałoby, że poruszający się punkt odbiegałby od jego trajektorii.

W kategoriach matematycznych jest to wyrażone w następujący sposób, gdzie $γ ( λ )$ sparametryzowaną krzywą reprezentującą geodezję i oznaczającą

{\ frac {{{\ rm {d}}} \ gamma (\ lambda)} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} = V = V ^ {{\ mu}} {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {{\ mu}}}}

wektor styczny do krzywej (wektor prędkości, jeśli utożsamiamy $λ$ z czasem w układzie odniesienia podróżnego) w układzie odniesienia odpowiadającym współrzędnym $x μ$

{\ frac {{{\ rm {d}}}} {{{\ rm {d}}} \ lambda}} V = \ nabla _ {{V}} V = V ^ {{\ mu}} \ nabla _ {{\ mu}} V = 0

gdzie ∇ jest połączeniem Levi-Civita na $M$ (odpowiednik pochodnej kowariantnej ). Ta zależność wyraża, że pochodna prędkości V w płaszczyźnie stycznej wzdłuż trajektorii (w samym kierunku $V$ ) wynosi zero. Innymi słowy, operator $V μ \nabla μ$ reprezentuje przyspieszenie wzdłuż $γ ( λ ) i wyrażamy fakt, że to przyspieszenie wzdłuż krzywej wynosi zero. W szczególności, nie występuje normalne przyspieszenie geodezyjne, które mogłoby ją zginać.$

Z tej definicji i wyrażenia składowych połączenia Levi-Civita otrzymujemy równanie geodezyjne :

{\ frac {{\ mathrm d} ^ {2} x ^ {\ alfa}} {{\ mathrm d} \ lambda ^ {2}}} + {\ gamma ^ {{\ alfa}}} _ {{\ gamma \ beta}} {\ frac {{\ matematyczne d} x ^ {\ gamma}} {{\ matematyczne d} \ lambda}} {\ frac {{\ matematyczne d} x ^ {\ beta}} {{\ mathrm d} \ lambda}} = 0

Geodezja jest więc w rozmaitości krzywymi parametrycznymi odpowiadającymi temu równaniu różniczkowemu. $Tt a- γβ$ są symbole Christoffela użytkownika , które zależą bezpośrednio od metryczną tensora $g$ : stanowią one odkształcenia nieskończenie powierzchni w stosunku do płaskiej powierzchni.

Równanie geodezyjne jest również równaniem Eulera-Lagrange'a związanym z energią krzywej:

{\ displaystyle E (\ gamma) = \ int g _ {\ gamma (\ lambda)} (V (\ lambda), V (\ lambda)) \, \ mathrm {d} \ lambda}

Ponieważ lagranżian jest niezależny od czasu $λ$ , hamiltonian jest zachowany wzdłuż geodezji. Jednak tutaj hamiltonian jest równy Lagrange'owi, który sam w sobie jest równy kwadratowi normy prędkości. Dochodzimy do wniosku, że prędkość jest zachowana wzdłuż geodezji, zgodnie z ich brakiem przyspieszenia. $L (\ lambda, \ gamma, V) = g _ {\ gamma} (V, V)$

Geodezja okresowa

Poszukiwanie geodezji okresowych zmotywowało do rozwoju geometrii riemannowskiej . Jedna z kwestii dotyczy asymptotyczna szacunkowej wartości dla różnych Riemanna ( M , g ) numer okresowego geodezyjnych niższa niż długość danego L . Te geodezy są punktami krytycznymi funkcjonału energii, zdefiniowanymi na przestrzeni wiązek rozmaitości (np. z regularnością Sobolewa). W przypadku ogólnej metryki Riemanna uzyskano redukcję w 1981 r. jako funkcję globalnej topologii przestrzeni koronki.

Wykładniczy wzrost zademonstrował Katok w 1988 roku dla zorientowanych powierzchni z rodzaju większego niż 1 . Ponadto w 1993 r. wykazano, że dla dowolnej metryki w sferze dwuwymiarowej liczba ta jest większa niż wyraz w $L / log ( L )$ .

Zobacz również

i również

Ciężarówka skierowana na południe

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z anglojęzycznego artykułu Wikipedii zatytułowanego " Geodesic " ( patrz lista autorów ) .

Jacqueline Lelong-Ferrand i Jean-Marie Arnaudiès, Kurs matematyki: Geometria i kinematyka , t. 3, Paryż, Bordas,1977, s. 517
„Klasyczna geometria różniczkowa”, Encyclopædia Universalis, Paryż, 1990, T10, s. 365c
Lelong-Ferrand i Arnaudiès 1977 , s. 520.
Marcel Berger, 150 lat geometrii riemannowskiej .