Przepływ geodezyjny

W matematyce The powódź geodezyjnej , czasami nazywany również przepływ geodezyjnej , aby opisać dynamikę klasyczne masywnej cząstki poruszają się swobodnie na riemannowskiej V . Jest sformalizowane przez ciągłe grupy jeden parametr , który działa na wiązka styczna jednostki T 1 V odmiany V .

Gdy kolektor V jest zwarty i ma stałą ujemną krzywiznę, przepływ geodezyjny dostarcza fizyce teoretycznej najprostszy model całkowicie chaotycznego układu hamiltonowskiego .

Opis

Biorąc pod uwagę, punkt (x, v) pakietu jednostka stycznej do V , to znaczy unikalny geodezyjnych z V w taki sposób, a ruch ze stałą prędkością równą 1. ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} \ rightarrow V}$ ${\ Displaystyle g (0) = x}$ ${\ Displaystyle g '(0) = v}$

Przepływ geodezyjny jest następnie definiowany przez ${\ Displaystyle \ varphi (t, (x, v)) = (g (t), g '(t))}$

Przykłady

Geodezyjny przepływ powierzchni o stałej ujemnej krzywizny

Już w 1898 r. Hadamard uznał, że przepływ geodezyjny na powierzchni o stałej ujemnej krzywizny ma dynamikę wykazującą właściwość wrażliwości na warunki początkowe , która od tego czasu stała się jednym z paradygmatów teorii chaosu .

Przepływ ten jest doskonałą ilustracją właściwości hierarchii ergodycznej ; w rzeczywistości jest to kolejność rosnącej „niestabilności”:

ergodyczny ( Hedlund i Hopf )
mieszanie (Hedlund i Hopf)
hiperboliczny ( Anosov ). Ma ściśle dodatni wykładnik Lapunowa , który identyfikuje się z jego entropią Kołmogorowa-Synaj .
izomorficzny do układu Bernoulliego ( Ornsteina i Weissa ).

Powiązane artykuły

Bibliografia

Jacques Hadamard , „Powierzchnie o przeciwnych krzywiznach i ich liniach geodezyjnych”, Journal of pure and application mathematics , t. 4, 1898, 27.
(en) Yakov Pesin, „Geodezyjne przepływy z hiperbolicznym zachowaniem trajektorii i związanych z nimi obiektów”, Russian Mathematical Surveys , vol. 36, n o 4, 1981, str. 3-15.
Pierre Pansu „W geodezyjnych przepływu odmian Riemanna ujemnej krzywizny” Séminaire Bourbaki , N O 738, 1991, opublikowane w: Astérisque , N O 201-203, 1991, s. 269-298.

Wirtualna biblioteka

Mark Pollicott; Lektury z teorii ergodycznej, przepływów geodezyjnych i tematów pokrewnych , Ulm (2003). Notatki nieskorygowane dostępne w formacie pdf .

Mark Pollicott; Dynamiczne funkcje zeta i zamknięte orbity dla przepływów geodezyjnych i hiperbolicznych , Les Houches (2003). Notatki nieskorygowane dostępne w formacie pdf .

Uwagi

(w) G. Hedlund, „Na przechodniości metrycznej geodezji są zamknięte powierzchnie o stałej ujemnej krzywizny”, w Annals of Mathematics , t. 35, 1935, s. 787-808
(de) E. Hopf, Ergodentheorie , Springer, 1937
(w) G. Hedlund, „Dynamika przepływów geodezyjnych”, w Biuletynie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , tom. 35, 1939, s. 241-246
(De) E. Hopf, „Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümung”, w Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig , vol. 91, 1939, s. 261-304
(w) D. Anosov, "Geodezyjne przepływy są zwartymi riemannowskimi rozmaitościami o ujemnej krzywizny", w: Proceedings of the Steklov Mathematical Institute , Vol. 90, nr 1, 1967, str. 1-235
(w) D. Ornstein i B. Weiss, „Geodesic flow are Bernoullian” w Israel Journal of Mathematics , t. 14, 1973, s. 184