Dysk Poincaré

W geometrii The płyta Poincare (zwany również dopasowaną reprezentacja ) jest wzór z geometrii hiperbolicznej z n wymiarów gdzie punkty znajdują się w otwartym jednostkę kuli o rozmiarach n i linie są albo łuki koła zawartego w tarczy i prostopadłe do jego brzeg , czyli średnice piłki. Oprócz modelu Kleina i półpłaszczyzny Poincarégo, Eugenio Beltrami zaproponował, aby wykazać, że spójność geometrii hiperbolicznej jest równoważna spójności geometrii euklidesowej.

Funkcja odległości

Jeśli U i V są dwa wektory z n- wymiarowej przestrzeni R n obdarzonego euklidesowej normy , z normą mniej niż 1, to nie jest możliwe określenie izometryczny niezmiennik w następujący sposób:

δ(u,v)=2‖u-v‖2(1-‖u‖2)(1-‖v‖2),{\ Displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ Frac {\ | uv \ | ^ {2}} {(1- \ | u \ | ^ {2}) (1- \ | v \ | ^ { 2})}},}

gdzie jest norma euklidesowa. Wtedy funkcja odległości jest definiowana przez ‖ ‖{\ Displaystyle \ | ~ \ |}

re(u,v)=arcosh⁡(1+δ(u,v)).{\ Displaystyle d (u, v) = \ operatorname {arcosh} (1+ \ delta (u, v)).}

Taka funkcja definiuje następnie przestrzeń metryczną będącą modelem przestrzeni hiperbolicznej o stałej krzywizny -1. W tym modelu kąt między dwiema krzywymi, które przecinają się w przestrzeni hiperbolicznej, jest taki sam, jak kąt w modelu.

Kształt metryczny

Lokalny metryki tarczy Poincaré na współrzędnej jest przez następujący wzór: (x1,...,xnie){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}

res2=4∑jarexja2(1-∑jaxja2)2{\ Displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ Frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- \ suma _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}}}

tak więc lokalnie ta metryka jest równoważna  (en) metryki euklidesowej modelu. W szczególności kąt między dwiema liniami płaszczyzny hiperbolicznej jest dokładnie taki sam, jak kąt euklidesowy między dwoma łukami modelu.

Związek z modelem hiperboloidalnym

Dysk Poincaré, podobnie jak model Kleina, odnosi się do modelu hiperboloidalnego . Możliwe jest rzutowanie punktu [ t , x 1 ,…, x n ] górnej warstwy modelu hiperboloidy na hiperpowierzchnię t = 0 poprzez przecięcie go linią przechodzącą przez [-1, 0,…, 0] . Rezultatem jest odpowiedni punkt na dysku Poincarégo.

Geometria analityczna

Linia przechodząca przez dwa punkty

Podstawowym problemem geometrii analitycznej jest znalezienie linii przechodzącej przez dwa punkty. W przypadku dysku Poincarégo linie są łukami okręgów, które mają równania tej postaci:

x2+y2+wx+by+1=0,{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + by + 1 = 0,}

który jest ogólnym kształtem koła prostopadłego do koła jednostkowego lub średnic. Mając dwa punkty u i v dysku, które nie należą do średnicy, otrzymujemy dla okręgu przechodzącego przez te punkty:

x2+y2+u2(v12+v22)-v2(u12+u22)+u2-v2u1v2-u2v1x+v1(u12+u22)-u1(v12+v22)+v1-u1u1v2-u2v1y+1=0.{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + {\ Frac {u_ {2} (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}) - v_ {2} (u_ { 1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) + u_ {2} -v_ {2}} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} x + { \ frac {v_ {1} (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) - u_ {1} (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}) + v_ {1} -u_ {1}} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0}

Jeśli punkty uiv nie są przeciwległymi punktami średnicy dysku, jest to uproszczone przez:

x2+y2+2(u2-v2)u1v2-u2v1x-2(u1-v1)u1v2-u2v1y+1=0.{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + {\ Frac {2 (u_ {2} -v_ {2})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} }} x - {\ frac {2 (u_ {1} -v_ {1})} {u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}} y + 1 = 0}

Kąty i dysk Poincaré

Za pomocą wzoru można obliczyć kąt między łukiem koła, którego punkty idealne, które są jego końcami określonymi przez wektory jednostkowe u i v , a łukiem, którego końce są s i t , można obliczyć za pomocą wzoru. Ponieważ idealne punkty są takie same dla modelu Kleina i dysku Poincarégo, wzory są identyczne dla każdego z tych modeli.

Jeżeli w każdym modelu, linie są takie, że średnica V = -u i T = S , to jest możliwe, aby znaleźć się kąt między wektorami jednostkowych. Wzór wygląda następująco: θ{\ displaystyle \ theta}

sałata⁡(θ)=u⋅s.{\ Displaystyle \ cos (\ theta) = u \ cdot s.}

Jeśli v = - u, ale t ≠ - s , wzór staje się, w kategoriach iloczynu krzyżowego ,

sałata2⁡(θ)=P.2QR,{\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ Frac {P ^ {2}} {QR}},}

lub:

P.=u⋅(s-t),{\ Displaystyle P = u \ cdot (st),} Q=u⋅u,{\ displaystyle Q = u \ cdot u,} R=(s-t)⋅(s-t)-(s∧t)⋅(s∧t){\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ klin t) \ cdot (s \ klin t)}

Jeśli struny nie są średnicami, ogólny wzór daje:

sałata2⁡(θ)=P.2QR,{\ Displaystyle \ cos ^ {2} (\ theta) = {\ Frac {P ^ {2}} {QR}},}

lub:

P.=(u-v)⋅(s-t)-(u∧v)⋅(s∧t),{\ Displaystyle P = (UV) \ cdot (st) - (u \ klin v) \ cdot (s \ klin t),} Q=(u-v)⋅(u-v)-(u∧v)⋅(u∧v),{\ Displaystyle Q = (UV) \ cdot (UV) - (u \ klin v) \ cdot (u \ klin v),} R=(s-t)⋅(s-t)-(s∧t)⋅(s∧t).{\ Displaystyle R = (st) \ cdot (st) - (s \ klin t) \ cdot (s \ klin t).}

Korzystając z tożsamości Bineta-Cauchy'ego i faktu, że są to wektory jednostkowe, można przepisać powyższe wyrażenia w postaci iloczynu skalarnego:

P.=(u-v)⋅(s-t)+(u⋅t)(v⋅s)-(u⋅s)(v⋅t),{\ Displaystyle P = (UV) \ cdot (st) + (u \ cdot t) (v \ cdot s) - (u \ cdot s) (v \ cdot t),} Q=(1-u⋅v)2,{\ Displaystyle Q = (1-u \ cdot v) ^ {2},} R=(1-s⋅t)2.{\ Displaystyle R = (1-s \ cdot t) ^ {2}.}

Uwagi i odniesienia

1. Eugenio Beltrami , „  Próba interpretacji geometrii nieuklidesowej  ”, Ann. Szkoła Norm. Łyk. 6 ,1869, s.  251–288 ( czytaj online )

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Geometria hiperboliczna
• Model Kleina
• Połowa planu Poincaré
• Metryka Poincaré
• Inwersja

Bibliografia

• (en) James W. Anderson, Hyperbolic Geometry , Springer,2005, 2 II  wyd.
• (it) Eugenio Beltrami, „  Fundamental Teoria degli spazii di curvatura costanta  ” , Annali di Mat. , iI, t.  2,1868, s.  232-255
• (en) Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane , Jones & Bartlett,1993

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">