Tożsamość Bineta-Cauchy'ego

W matematyce , a dokładniej w algebrze , tożsamość Bineta-Cauchy'ego , za sprawą Jacquesa Philippe'a Marie Bineta i Augustina-Louisa Cauchy'ego , mówi, że:

{\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + ​​\ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

dla dowolnych zbiorów liczb rzeczywistych lub zespolonych (lub, bardziej ogólnie, elementów pierścienia przemiennego ). W szczególnym przypadku, gdy a i = c i oraz b j = d j , sprowadza się do tożsamości Lagrange'a .

Związek z algebrą zewnętrzną

Używając iloczynu skalarnego i produktu zewnętrznego (który jest identyfikowany, dla n = 3, iloczynem krzyżowym ), można zapisać tożsamość

{\ Displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ klin b) \ cdot (c \ klin d) \,}

gdzie a , b , c i d są wektorami o współrzędnych n . Nadal możemy to postrzegać jako wzór, który daje iloczyn skalarny dwóch iloczynów zewnętrznych w funkcji iloczynów skalarnych:

{\ Displaystyle (a \ klin b) \ cdot (c \ klin d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}

W szczególnym przypadku równych wektorów ( a = c i b = d ) formuła wygląda następująco ( tożsamość Lagrange'a )

{\ Displaystyle | a \ klin b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}

Demonstracja

Rozwijając ostatni człon oraz dodając i odejmując dobrze dobrane sumy uzupełniające, otrzymujemy:

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

{\ displaystyle = \ suma _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}}

co umożliwia grupowanie:

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}

Po uwzględnieniu terminów indeksowanych przez i otrzymujemy tożsamość.

Uogólnienie

Bardziej ogólna postać, znana jako wzór Bineta-Cauchy'ego , mówi, że jeśli A jest macierzą m × n , a B jest macierzą n × m , mamy

{\ displaystyle \ det (AB) = \ suma _ {\ scriptstyle S \ podzbiór \ {1, \ ldots, n \} \ atop \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}

gdzie S jest podzbiorem {1, ..., n } mającym m elementów, A S jest macierzą m × m , której kolumny są kolumnami A mającymi indeksy w S , i podobnie B S jest macierzą m × m utworzone przez rzędy B indeksów w S ; w tym wzorze suma jest przejmowana przez wszystkie możliwe podzbiory.

Tożsamość Bineta-Cauchy'ego wydedukuje się jako szczególny przypadek, pozując

{\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} a_ {1} i \ kropki i a_ {n} \\ b_ {1} i \ kropki i b_ {n} \ koniec {pmatrix}} \ quad B = {\ begin {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Uwagi i odniesienia

(en) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Tożsamość Bineta - Cauchy'ego ” ( zobacz listę autorów ) .

(w) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 II wyd. , 3242 s. ( ISBN 978-1-58488-347-0 ) , „Tożsamość Bineta-Cauchy'ego” , s. 228