Łuk południkowy

W geodezji pomiar łuku południka jest najdokładniejszym możliwym wyznaczeniem odległości pomiędzy dwoma punktami znajdującymi się na tym samym południku , czyli o tej samej długości geograficznej . Dwa lub więcej takich określeń w różnych lokalizacjach określa następnie kształt elipsoidy odniesienia, która daje najlepsze przybliżenie kształtu geoidy . Proces ten nazywa się „określaniem figury Ziemi ”. Pierwsze pomiary wielkości kulistej Ziemi wymagały jednego łuku . Najnowsze pomiary wykorzystują pomiary astro-geodezyjne i metody geodezji satelitarnej do wyznaczenia elipsoidy odniesienia .

Opis matematyczny

Łuk południka na elipsoidzie ma dokładnie kształt elipsy . Dlatego jego długość od równika do punktu na szerokości geograficznej φ można obliczyć jako całkę eliptyczną i aproksymować szeregiem obciętym. Poniższy rozwój, który obejmuje kwadrat mimośrodu e, został podany przez Jean-Baptiste Josepha Delambre w 1799 roku:

{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} B \ ok & \; a (1-e ^ {2}) \ lewo \ {\ lewo (1 + {\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {45} {64}} e ^ {4} + {\ frac {175} {256}} e ^ {6} + {\ frac {11025} {16384}} e ^ {8} \ po prawej) \ varphi \ po prawej \\ & \ - {\ frac {1} {2}} \ po lewej ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {15} {16}} e ^ {4} + {\ frac {525} {512}} ^ {6} + {\ frac {2205} {2048}} e ^ {8} \ po prawej) \ grzech 2 \ varphi \\ & \ + { \ frac {1} {4}} \ po lewej ({\ frac {15} {64}} e ^ {4} + {\ frac {105} {256}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {4096}} ^ {8} \ po prawej) \ grzech 4 \ varphi \\ & \ - {\ frac {1} {6}} \ po lewej ({\ frac {35} {512}} e ^ {6} + {\ frac {315} {2048}} e ^ {8} \ po prawej) \ sin 6 \ varphi \\ & \ + {\ frac {1} {8}} \ po lewej \ po lewej ({\ frac {315 } {16384}} e ^ {8} \ po prawej) \ sin 8 \ varphi \ po prawej \} \\\ koniec {wyrównany}}}

Friedrich Robert Helmert użył następującej formuły w 1880 roku, pozując : ${\ displaystyle n = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ simeq {\ frac {e ^ {2}} {4}}}$