Łuk

Łuk okręgu jest część z kręgu ograniczonym dwoma punktami. Dwa punkty A i B koła przecinają go na dwa łuki. Gdy punkty nie są naprzeciw siebie diametralnie, jeden z łuków jest mniejszy od półokręgu, a drugi większy od półokręgu. Najmniejszy z łuków jest na ogół odnotowywany, a drugi czasami jest odnotowywany . ${\ displaystyle {\ overset {~~ _ {_ {\ displaystyle \ zmarszczenie brwi}}} {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {~~ _ {_ {\ displaystyle \ smile}}} {AB}}}$

Słownictwo

Rozważmy okrąg o środku $O$ i łuk końców $A$ i $B$ .

segmentu [ $AB$ ] nazywamy cięciwy . Mówimy, że leży pod łukiem $AB$ i że łuk $AB$ jest oparty na cięciwie [ $AB$ ].
linia przechodząca przez środek struny i prostopadła do niego nazywana jest strzałką . Odległość między środkiem cięciwy a środkiem łuku jest również nazywana strzałką.

Terminy łuk, sznurek i strzała są bezpośrednio inspirowane projektem utworzonym przez te trzy elementy, który przypomina łuk łucznika.

Sektor kątowy ograniczony półprostymi [ $OA$ ) i [ $OB$ ) i zawierający łuk $AB$ nazywany jest kątem w środku przecinającym łuk $AB$ . Mówimy również o kącie w środku do pomiaru tego sektora kątowego. Jeśli łuk $AB$ jest większy niż półokrąg, jego kąt środkowy jest większy niż kąt płaski i mówi się, że jest on wklęsły . W przeciwnym razie wystaje kąt w środku . Te dwa kąty są dodatkowe.
Jeżeli $M$ jest punktem okręgu nie znajdującym się na łuku $AB$ , to sektor kątowy ograniczony półprostami [ $MA$ ) i [ $MB$ ) i zawierający łuk $AB$ nazywamy kątem wpisanym przecinającym łuk $AB$ . Twierdzenie kąt zarejestrowany oraz kąt centrum powiedzmy wartość kąta zarejestrowanych przechwytując łuk $AB$ jest niezależny od położenia punktu $M$ .
Zbiór punktów $M$ taki, że jest łukiem koła o kącie w środku 2 $α$ i noszącym nazwę łuku zdolnego . ${\ displaystyle {\ widehat {AMB}} = \ alfa}$
Część płaszczyzny pomiędzy łukiem a jego cięciwą to odcinek kołowy .
Część płaszczyzny pomiędzy łukiem $AB$ a segmentami [ $OA$ ] i [ $OB$ ] jest wycinkiem kołowym .
W trzecim wymiarze, jeśli wykonamy łuk koła okrężnego wokół średnicy koła, otrzymamy część kuli zwaną strefą sferyczną .

Wymiary

Długość łuku koła o promieniu i kącie w środku (mierzona w radianach ) jest równa $r$ $\alfa \!$

{\ displaystyle d = \ alfa R \, \!}

. Uzasadnienie

Rzeczywiście, długość łuku jest proporcjonalna do kąta w środku mamy:

{\ displaystyle {\ frac {d} {\ matematyka {obwód}}} = {\ frac {\ alfa} {2 \ pi}} {\ tekst {;}}}

zastąpienie obwodu:

{\ displaystyle {\ frac {d} {2 \ pi R}} = {\ frac {\ alfa} {2 \ pi}} {\ tekst {;}}}

oraz przez wyizolowanie $d$ :

{\ displaystyle \ mathrm {d} = \ alfa R {\ tekst {.}}}

Jeżeli kąt jest wyrażony w stopniach , jego pomiar w radianach wyraża zależność: ${\ displaystyle \ alfa ^ {\ circ} \, \!}$

{\ displaystyle \ alfa = {\ frac {\ alfa ^ {\ circ}} {180}} \ pi {\ tekst {;}}}

a zatem długość łuku jest również ważna (gdy kąt jest w stopniach):

{\ displaystyle d = {\ frac {\ alfa ^ {\ circ} \ pi r} {180}} {\ tekst {.}}}

Długości 2 $c$ i $t$ liny i strzały są równe:

{\ displaystyle 2c = 2R \ sin (\ alfa / 2), \ quad t = R \ lewo (1- \ cos (\ alfa / 2) \ prawo) = R {\ textrm {versin}} (\ alfa / 2 )}

gdzie versin to funkcja sinus .

Odległość $między akordem a środkiem jest:$

{\ displaystyle a = R \ cos (\ alfa / 2)}

Znajomość dwóch z pięciu wartości promienia, cięciwy, zwisu, długości i kąta w środku pozwala, z jednym wyjątkiem, określić pozostałe cztery:

Promień	Lina	Strzałka	Długość	Kąt środkowy
$r$	${\ displaystyle 2R \ grzech (\ alfa / 2)}$	${\ displaystyle R \, {\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)}$	$αR$	$α$
$r$	${\ Displaystyle 2R \ grzech (d / 2R)}$	${\ displaystyle R \, {\ textrm {versin}} (d / 2R)}$	$D$	$dr$
$r$	${\ displaystyle {\ sqrt {2Rt-t ^ {2}}}}$	$T$	${\ displaystyle 2R {\ textrm {versin}} ^ {-1} (t / R)}$	${\ displaystyle 2 {\ textrm {versin}} ^ {-1} (t / R)}$
$r$	2 $łyżki$	${\ displaystyle R \ mp {\ sqrt {R ^ {2} -c ^ {2}}}}$	${\ displaystyle 2R \ arcsin (c / R)}$ Gdzie ${\ displaystyle 2 \ pi R-2R \ arcsin (c / R)}$	${\ displaystyle 2 \ arcsin (c / R)}$ Gdzie ${\ displaystyle 2 \ pi -2 \ arcsin (c / R)}$
${\ displaystyle {\ frac {c} {\ grzech (\ alfa / 2)}}}$	2 $łyżki$	${\ displaystyle {\ frac {c \, {\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)} {\ grzech (\ alfa / 2)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ alfa c} {\ grzech (\ alfa / 2)}}}$	$α$
$d / α$	2 $łyżki$	${\ displaystyle d {\ frac {{\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)} {\ alfa}}}$	$D$	$α$ tq ${\ displaystyle {\ frac {\ grzech (\ alfa / 2)} {\ alfa}} = {\ frac {c} {d}}}$
${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2} + t ^ {2}} {2t}}}$	2 $łyżki$	$T$	${\ displaystyle {\ frac {c ^ {2} + t ^ {2}} {t}} {\ textrm {versin}} ^ {-1} \ lewo ({\ frac {2t ^ {2}} {c ^ {2} + t ^ {2}}} \ prawo)}$	${\ displaystyle 2 {\ textrm {versin}} ^ {-1} \ po lewej ({\ frac {2t ^ {2}} {c ^ {2} + t ^ {2}}} \ po prawej)}$
${\ displaystyle {\ frac {t} {{\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2t \ grzech (\ alfa / 2)} {{\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)}}}$	$T$	${\ displaystyle {\ frac {\ alfa t} {{\ textrm {wersja}} (\ alfa / 2)}}}$	$α$
$d / α$	${\ displaystyle d {\ frac {\ grzech (\ alfa / 2)} {\ alfa / 2}}}$	$T$	$D$	$α$ tq ${\ displaystyle {\ frac {{\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)} {\ alfa}} = {\ frac {t} {d}}}$
$d / α$	${\ displaystyle d {\ frac {\ grzech (\ alfa / 2)} {\ alfa / 2}}}$	${\ displaystyle d {\ frac {{\ textrm {versin}} (\ alfa / 2)} {\ alfa}}}$	$D$	$α$

Środek ciężkości

Środek ciężkości łuku koła znajduje się na osi symetrii tego łuku (na strzałce) i w odległości od środka równej $R długość liny AB / długość łuku AB$ . To znaczy:

{\ displaystyle OG = R {\ frac {AB} {\ overset {~~ _ {_ {\ displaystyle \ marszczyć brwi}}} {AB}}} = R {\ frac {2c} {d}} = R {\ frac {\ grzech (\ alfa / 2)} {\ alfa / 2}}}

Uwagi i referencje

Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu zatytułowanego „ Łuk (geometria) ” (patrz lista autorów ) .

Étienne Auguste TARNIER, Elementy geometrii praktycznej, zgodnie ze specjalnym programem kształcenia średniego , 1872, s.35 .
Cięciwa leżąca pod dwoma dodatkowymi łukami okręgu, dane cięciwy i promienia nie pozwalają określić, który to łuk.
G. Ferroux i Louis Barbillon, General Mechanics (2) , albin Michel,1929( prezentacja online ) s.16

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

Blaise Pascal , (alias A. Dettonville), Traite des arcs de circles , 1658-9, często zawarte w traktacie o ruletce, gdzie Pascal bada początki tego, co stanie się rachunkiem nieskończenie małym , wycinając łuk koła w nieskończoność małe kawałki (Wyjaśnienie tego podejścia znajduje się w Un calculatif integrale chez Pascal , na stronie Akademii w Bordeaux.