Oddzielna przestrzeń
W matematyce , o oddzielną przestrzeń , zwany też przestrzenią Hausdorffa , jest przestrzenią topologiczną , w którym dowolne dwa różne punkty zawsze przyznać rozłączne dzielnice . Ten warunek jest również nazywany aksjomatem T 2 w aksjomatach separacji .
Nazwa nawiązuje do Felixa Hausdorffa , niemieckiego matematyka i jednego z twórców topologii , który uwzględnił ten warunek w swojej pierwotnej definicji przestrzeni topologicznej.
Ta właściwość separacji jest równoważna wyjątkowości granicy dowolnego filtru zbieżnego (lub tego, co sprowadza się do tego samego: dowolnej zbieżnej sekwencji uogólnionej ).
Przykłady i kontrprzykłady
Cała przestrzeń metryczna jest oddzielna. Rzeczywiście, dwa punkty położone w odległości L od siebie przyjmują jako rozłączne sąsiedztwo kule o promieniu L / 3, które są wyśrodkowane na każdym z nich.
Każda dyskretna przestrzeń jest oddzielna, a każdy singleton stanowi sąsiedztwo swojego elementu. W szczególności oddzielna, niepoliczalna przestrzeń jest oddzielona i nie można jej oddzielić .
Topologia zamówień skojarzona z całkowitym zamówieniem jest oddzielna.
Przykłady nierozdzielonych przestrzeni są podane przez:
- dowolny zestaw mający co najmniej dwa elementy i wyposażony w zgrubną topologię (zawsze rozłączną );
- każdy zbiór nieskończony obdarzone topologii współpracy skończone (co mimo to spełnia Aksjomat T 1 z dostępną przestrzenią );
- część widma pierścienia umieszczono topologii Zariski .
Główne właściwości
- Dla każdej funkcji f o wartościach w oddzielnych pomieszczeniach i dowolnym punktem przylegającej do domeny definicji z f The granica f w , jeśli istnieje, jest unikalny. Ta właściwość jest równoważna z niepowtarzalnością limitu dowolnego filtru zbieżnego (lub dowolnej zbieżnej sekwencji uogólnionej) z wartościami w tej przestrzeni.
- W szczególności limit ciągu wartości w oddzielnej przestrzeni, jeśli istnieje, jest niepowtarzalny.
- Dwa ciągłe mapowania z wartościami w oddzielnym, które pokrywają się w gęstej części, są równe. Dokładniej: jeśli Y jest oddzielne, jeśli f , g : X → Y są dwiema ciągłymi mapami i jeśli istnieje gęsta część D w X taka, żewięc
- Drobniejsze Topologia niż osobnej topologii jest zawsze osobno.
- Każda podprzestrzeń oddzielnej przestrzeni jest oddzielna.
- Produkt niepustych przestrzeni topologicznych oddziela się wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nich.
Z drugiej strony iloraz przestrzeni oddzielnej przestrzeni nie zawsze jest oddzielny.
- X jest oddzielane wtedy i tylko wtedy, gdy w przestrzeni iloczynu X × X przekątna {( x , x ) | x ∈ X } jest zamknięte .
- Wykres ciągłego mapy f : X → Y jest zamknięta X x Y jak najszybciej Y oddzielono. (Rzeczywiście, przekątna Y jest wtedy zamknięta w Y × Y, a zatem wykres f , odwrotny obraz tego zamkniętego ciągłą mapą f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ) jest zamknięty w X × Y. ) „ Odwrotność ” jest fałszywa w tym sensie, że odwzorowanie zamkniętego wykresu niekoniecznie jest ciągłe, nawet jeśli przestrzeń nadejścia jest oddzielna.
- X jest rozdzielany wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x z X przecięcie zamkniętych sąsiedztw x jest zredukowane do singletonu { x } (co prowadzi do separacji T 1 : przecięcie wszystkich sąsiedztw x jest zredukowane w singletonie).
Lokalnie wydzielona przestrzeń
Przestrzeń topologiczna X jest lokalnie oddzielona, gdy dowolny punkt X przyjmuje osobne sąsiedztwo.
Taka przestrzeń jest zawsze T 1, ale niekoniecznie jest oddzielona lub nawet tylko na jednym sekwencyjnym limicie . Możemy na przykład wziąć pod uwagę rzeczywistą linię z jej zwykłą topologią i dodać punkt 0 '(który klonuje rzeczywiste 0), którego otoczenie jest otoczeniem 0, w którym zamieniamy 0 na 0'. W tej przestrzeni ciąg (1 / n ) zbiega się zarówno w kierunku 0, jak i 0 '.
Uwagi i odniesienia
- Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz na przykład .
- Rozważając dowolną sekwencję jako funkcję zdefiniowaną na ℕ, do której przynależy punkt z ℕ ∪ {+ ∞} wyposażonym w topologię rzędu .
- Jest również konsekwencją faktów (przedstawionych w artykule Aksjomat separacji (topologia) ), że każda oddzielona przestrzeń to KC, a cała przestrzeń KC ma unikalne sekwencyjne ograniczenie.
- Aby zapoznać się z demonstracją, zobacz np. .
