Aksjomat separacji (topologia)

W topologii , A Aksjomat rozdzielania jest właściwością spełnione przez niektóre przestrzenie topologiczne , podobne do rozdzielania Hausdorffa właściwości (zwany także T 2 ), oraz dotyczące rozdzielania z punktów lub zamknięte , zarówno z punktu widzenia sąsiedztwie lub w rzeczywistym ciągły funkcje .

Różne aksjomaty separacji można uporządkować przez implikację, w szczególności te z szeregu aksjomatów zakodowanych literą „T” i indeksem numerycznym, przy czym te aksjomaty są na ogół tym bardziej restrykcyjne, że wskaźniki są wysokie, a odpowiadające im topologie drobniejsze. .

Ostrzeżenie : w literaturze słownictwo jest czasami bardzo zmienne i niektóre z tych definicji można zamienić.

Lista aksjomatów

Separacja T 0 (przestrzeń Kołmogorowa)

Mówimy, że przestrzeń topologiczna X to Kołmogorow lub spełnia własność T 0 , jeśli dla dowolnych dwóch różnych punktów X jeden (przynajmniej) z dwóch punktów przyjmuje sąsiedztwo, które nie zawiera drugiego punktu. Albo znowu, jeden z dwóch punktów nie jest powiązany z drugim.

Separacja T 1 (dostępna przestrzeń lub Fréchet)

Przestrzeni T 1 jest przestrzeń topologiczna którego Singleton'y są zamknięte. Jest to równoważne z: dla dowolnego punktu x przecięcie okolic x jest zredukowane do singletona { x }. Albo znowu, dla dowolnych dwóch różnych punktów, każdy z dwóch punktów dopuszcza sąsiedztwo, które nie zawiera drugiego punktu. Albo żaden z tych dwóch punktów nie jest powiązany z drugim.

Spacja to T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie T 0 i R 0 .

Pojedyncze sekwencyjne przestrzenie graniczne

„Przestrzeń z unikalnym sekwencyjnym ograniczeniem” (wolne tłumaczenie nazwy w języku angielskim, pod którym to pojęcie jest lepiej znane: przestrzeń z unikalnym sekwencyjnym limitem lub przestrzenią US ) to przestrzeń X, w której każda zbieżna sekwencja ma tylko jedno ograniczenie, lub a przekątna jest kolejno zamykany w X x X .

Każda przestrzeń z pojedynczym ograniczeniem sekwencyjnym to T 1, ale odwrotność jest fałszywa.

Demonstracja

Niech X będzie przestrzenią z jednym ograniczeniem sekwencyjnym. Następnie dla wszystkich różnych punktów x i y w X , sekwencją stałej wartości x , nie zbiegały się w kierunku y , tak że istnieje sąsiedztwo Y , które nie zawiera X , co dowodzi, że X T 1 .

Cofiniteness o nieskończonej zestawu jest przestrzeń T 1 , przy czym za pomocą wstrzyknięć sekwencje zbiegają się w dowolnym punkcie X .

Innym przykładem jest „prosta linia o dwóch początkach”. Przestrzeń ta jest ilorazem ℝ × {0, 1} przez: dla dowolnego niezerowego x rzeczywistego ( x , 0) jest identyfikowane przez ( x , 1). To jest tylko lokalnie oddzielne .

Lekko oddzielone spacje

Przestrzeń topologiczna X jest nieco oddzielone lub słabo Hausdorff lub T 2 , gdy przestrzeń dla wszystkich zwartej K i dowolnego ciągłego odwzorowania F o K w X , obrazu K przez F jest zamknięta X .

Każda słabo oddzielona przestrzeń to T 1 (ale niekoniecznie z pojedynczym sekwencyjnym limitem). Aby pokazać, że jakikolwiek singleton jest zamknięty, wystarczy wziąć pod uwagę zwarte K i stałą mapę f K w tym singletonie.

Przestrzenie KC

Przestrzeń KC to przestrzeń, w której każda quasi-zwarta jest zamknięta (pokrewnym pojęciem jest przestrzeń zwarto wygenerowana ).

Każda przestrzeń KC jest słabo oddzielona. Rzeczywiście, obraz zwartości przez ciągłą aplikację jest quasi-zwarty.

Każda przestrzeń KC ma unikalne ograniczenie sekwencyjne, ale odwrotność jest fałszywa.

Demonstracja

Niech X będzie przestrzenią KC. Zauważywszy, że X to T 1 (każdy singleton jest zamknięty), pokażmy, że jeśli ciąg ( x n ) zbiega się do x i y , to x = y . Jeśli sekwencja zajmuje nieskończoność razy wartość y , ta równość jest natychmiastowa (w przestrzeni T 1 stała ciąg ma tylko jedną granicę). W przeciwnym razie niech A będzie zbiorem x n różnym od y . Wtedy A ∪ { x } jest quasi-zwarte, więc zamknięte w X, więc zawiera y (ponieważ jego dopełnienie jest otwarte, a x n → y ), więc y = x .

Niech X będzie przestrzenią Arensa-Fort , która jest oddzielna iw której zwarte są częściami skończonymi, i niech X + jej rozszerzenie Aleksandrowa (które jest quasi-zwarte, ale nie oddzielne, ponieważ X nie jest zwarty lokalnie ). Wtedy X + jest przestrzenią z tylko jedną sekwencyjną granicą, w której X + \ {(0,0)} jest niezamkniętą quasi-zwartą.

Jednak w przestrzeni sekwencyjnej z pojedynczym ograniczeniem sekwencyjnym każda policzalnie zwarta część jest zamknięta, więc przestrzeń ma wartość KC.

W danej przestrzeni quasi-zwarta topologia jest maksymalna dla tej właściwości wtedy i tylko wtedy, gdy jest to KC i topologia KC jest minimalna dla tej właściwości wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasi-zwarta, tak że maksymalne quasi-zwarte topologie i minimalne KC są takie same.

Separacja T 2 (przestrzeń Hausdorffa)

To jest klasyczna właściwość. Przestrzeń topologiczna nazywana jest T 2 lub Hausdorffem lub oddzielną przestrzenią , jeśli dla dowolnej pary ( x, y ) różnych elementów X istnieją dwa rozłączne otwory , z których jeden zawiera x, a drugi zawiera y . Jest to równoważne: Dla każdego punktu X , przecięcie sąsiedztwie zamknięty z X jest zmniejszona do jednoelementowy { X }, albo jeszcze: przekątna jest zamknięta X x X .

Separacja T 2 prowadzi do separacji KC (jest to klasyczne twierdzenie, zgodnie z którym każda zwarta oddzielenia jest zamknięta ).

Odwrotność jest fałszywa, ale przestrzeń z policzalnymi podstawami sąsiedztw jest oddzielana, gdy tylko ma unikalny sekwencyjny limit .

Demonstracja

Rozszerzenie Aleksandrowa z ℚ (co jest quasi-compact) nie jest oddzielona od ℚ nie jest lokalnie zwarta , ale jest to miejsce KC. Innym przykładem jest kodowana topologia na ℝ.

Lub X przeliczalnym przestrzeni podstawy sąsiedztwie i jednym sekwencyjnego granicy, a następnie po przekątnej jest kolejno zamykany w X x X . Ponieważ iloczyn ten jest sekwencyjny (ponieważ nadal ma policzalną podstawę sąsiedztw), przekątna jest w konsekwencji zamknięta, więc X jest oddzielony.

Topologia Zariski na algebraicznej różnych T 1 , ale na ogół nie są rozdzielone.

Separacja T 2 1/2 (całkowicie przestrzeń Hausdorffa)

Przestrzeń topologiczna to przestrzeń T 2 1/2, gdy dwa różne punkty przyjmują sąsiedztwa, których zrosty są rozłączne. Albo znowu, dwa różne punkty przyznają rozłączne, zamknięte dzielnice.

Każda spacja T 2 1/2 jest oddzielona, ale odwrotność jest fałszywa, jak pokazano w poniższym przykładzie. Rozpatrujemy zbiór E płaszczyzny utworzonej z wnętrza dysku o środku O o promieniu 1 i dwóch punktach (1, 0) i (–1, 0). Podstawa sąsiedztwa punktu wewnątrz dysku jest utworzona z dysków wyśrodkowanych w tym punkcie. Baza okolic punktu (1, 0) składa się z sumy tego punktu i półkolistej wstęgi (otwartej w zwykłym sensie) przylegającej do tego punktu i ograniczonej odcinkami [(0, 1), (0, 1 - h)] i [(0, –1), (0, –1 + h)]. Podobnie dla (–1, 0). Na rysunku obok przedstawiliśmy kolorem otoczenie punktu wewnątrz dysku oraz otoczenie każdego z punktów (1, 0) i (–1, 0). Jeśli te dwa ostatnie sąsiedztwa są otwarte, są rozłączne, ale ich zrosty przecinają się według niektórych wspólnych segmentów, które je ograniczają. Przestrzeń E jest zatem oddzielna, ale nie T 2 1/2 .

Separacja T 2 3/4 (przestrzeń Urysohna)

Przestrzeń topologiczna X nazywa przestrzeń Urysohn gdy dla różnych punktów x i y w X , istnieje ciągłe funkcji f o X w segmencie [0, 1], tak, że F ( x ) = 0, a F ( y ) = 1 Przestrzeń Urysohna to T 2 1/2 .

Przestrzeń to Urysohn wtedy i tylko wtedy, gdy mapa kanoniczna jej zagęszczonego Stone-Čech jest iniekcyjna.

Separacja T 3 i regularne przestrzenie

A przestrzeń topologiczna X spełnia T 3 , gdy dla każdego punktu X z X i zamknięte F z X zawierające X , znajdują się dwie rozłączne otwarte, z których jedna zawiera X , a druga zawiera F .

Każda spacja weryfikująca T 3 i T 0 jest oddzielona. Mówi się, że taka przestrzeń jest regularna . Sprawdza T 2 1/2 , ale nie zawsze T 2 3/4 . Odwrotnie, topologia K na ℝ spełnia wymagania T 2 3/4, ale nie T 3 .

Separacja T 3 1/2 i całkowicie regularne (lub Tychonov) przestrzenie

Przestrzeń topologiczna X weryfikuje T 3 1/2, jeśli dla dowolnego punktu x z X i dla dowolnego zamkniętego F z X niezawierającego x istnieje ciągła funkcja X w segmencie [0, 1] równa 0 inx i 1 o F . Jest to równoważne z: X jest ujednolicalny .

Każda spacja weryfikująca T 3 1/2 i T 0 jest oddzielona. Taka przestrzeń jest kwalifikowana jako całkowicie regularna (mówimy też: przestrzeń Tychonowa ). Dlatego całkowicie regularna przestrzeń jest nie tylko regularna, ale także Urysohna.

Przestrzeń jest całkowicie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy jest zanurzona w zwartej przestrzeni .

Separacja T 4 i przestrzenie normalne

A przestrzeń topologiczna X spełnia T 4 , gdy dla każdej pary zamkniętych rozłącznego E i F , znajduje się para rozłącznych otwartym, z których jedna zawiera S , a drugi zawiera F .

Aksjomat ten nie jest zachowany przez przejście do podprzestrzeni ani przez przejście do iloczynów (jednakże każda zamknięta podprzestrzeń przestrzeni T 4 jest T 4 ).

Nie oznacza to żadnego z powyższych. W szczególności przestrzeń może zweryfikować T 4 bez rozdzielania: zgrubna topologia spełnia T 4 . Z drugiej strony, jeśli przestrzeń spełnia T 4 i T 1, to jest rozdzielana.

Oddzielny przestrzeń weryfikacyjny T 4 uważa się za normalne .

Jeśli X spełnia T 4 w każdej parze zamkniętym rozłącznego E i F , jest funkcją ciągłą X w segmencie [0, 1] ma wartość 0 do E i 1 F . Ta niezwykła właściwość nosi nazwę lematu Urysohna . Bardziej ogólnie, Tietze twierdzenie rozszerzeń , zapewnia, że każda funkcją ciągłą zamkniętym X w ℝ rozciąga się w sposób ciągły do X .

W szczególności cała normalna przestrzeń jest całkowicie regularna.

Każda przestrzeń parakompaktowa (szczególnie zwarta) jest normalna.

Separacja T 5 i całkowicie normalne przestrzenie

Przestrzeń topologiczna X spełnia T 5 , jeżeli dla wszystkich części A i B od X w taki sposób, ∩ B = ∅ i B ∩ = ∅ istnieją dwa rozłączne otwarte, z których jedna zawiera A , a druga zawiera B .

Jest to równoważne z: każda podprzestrzeń X spełnia T 4 i wystarczy do tego, aby otwarte podprzestrzenie X spełniały T 4 .

Demonstracja

Niech X spełniających T 5 i Y podprzestrzeni X . Następnie Y weryfikuje T 5 (stąd T 4 ). Rzeczywiście, dla wszystkich części A i B z Y , adhezji B w podprzestrzeni Y (dostarczony z indukowaną topologii ) jest równa B ∩ Y , więc jeżeli jest odłączony od A następnie ∩ B = ∅ (i podobnie o zamiana ról A i B ). Zgodnie z hipotezą na X , dwie takie części A i B są zatem oddzielone dwoma otworami rozłącznego X. Ślady na Y obu Następnie otwarte dwa otwarte Y rozłączne, które oddzielają A i B .
W przestrzeni X, w której wszystkie otwarte podprzestrzenie spełniają T 4 , niech A i B będą dwiema częściami, tak że A ∩ B = ∅ i B ∩ A = ∅. Ustawiamy Y = X \ ( A ∩ B ). Chodzi A ⊂ A ∩ Y i B ⊂ B ∩ Y . W otwartej podprzestrzeni Y (wyposażonej w swoją indukowaną topologię) A ∩ Y i B ∩ Y , zamknięte rozłączne, są oddzielone dwoma otworami Y , które a fortiori oddzielają A i B i które (ponieważ Y jest otworem X ) Jesteśmy również otwarci na X . Dlatego X spełnia T 5 .

Mówi się, że oddzielna przestrzeń weryfikująca T 5 jest całkowicie normalna .

Przestrzeń jest więc całkowicie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podprzestrzenie są normalne.

Każdy w pełni uporządkowany zestaw z topologią porządku - na przykład dowolna przestrzeń topologiczna związana z porządkiem porządkowym - jest całkowicie normalna.

Płyta Tychonov [0 omów 1 ] x [0, ω ] Produkt z dwóch całkowicie regularnie przestrzeni nie jest całkowicie normalne zwarty.

Separacja T 5 1/2 (idealnie normalna przestrzeń)

Mówi się, że oddzielna przestrzeń X jest całkowicie normalna, jeśli którykolwiek zamknięty z X jest miejscem anulowania (en) ciągłej mapy f od X do ℝ.

Każda metryzowalna przestrzeń jest całkowicie normalna (weź odległość do funkcji zamkniętej dla f ).

Każda podprzestrzeń w całkowicie normalnej przestrzeni jest nadal całkowicie normalna.

Całkowicie normalna przestrzeń jest normalna (a zatem całkowicie normalna, na podstawie poprzedniej stabilności podprzestrzeni). Lepiej: dla wszystkich zamkniętych rozłącznego E i F w taki obszar X , E i F są ciągłe funkcje, które znikają one dokładnie zamknięty, funkcja jest ciągły i jest 0 dokładnie na E i 1 dokładnie na F . ${\ Displaystyle {\ Frac {| e |} {| e | + | f |}}: X \ do [0,1]}$

Każda całkowicie normalna przestrzeń jest przestrzenią G δ (in) , tj. W której każda zamknięta jest podzbiorem G δ (policzalne przecięcie otworów), w tym przypadku odwrotność jest fałszywa: K-topologia jest luką G δ jest nie całkiem normalne lub nawet normalne. ${\ Displaystyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {+ \ infty} f ^ {- 1} \ lewo (\, \ lewo] -1 / n, 1 / n \ prawo [\, \ prawo)}$

Oryginalna definicja (ze względu na Čech i odpowiednik) brzmi: przestrzeń jest całkowicie normalna, jeśli jest normalną przestrzenią G δ .

Przykładem całkowicie normalnej, ale nie idealnie normalnej przestrzeni jest [0, ω₁] (z topologią rzędu), gdzie ω₁ oznacza pierwszą niepoliczalną liczbę porządkową .

Uwagi i odniesienia

List ten, inicjał niemieckiego słowa Trennungsaxiom ("aksjomat separacji"), został wprowadzony przez Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa w ich traktacie Topology z 1935 r. (S. 58 i następne), w którym przedstawili listę takich aksjomatów (por. . (en) Najwcześniejsze znane zastosowania niektórych słów matematyki , Jeff Miller).
Dokładniej, mamy tutaj następujące implikacje (i te, które można od razu wydedukować): ${\ Displaystyle T_ {5 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {5} \ Rightarrow T_ {4} \ quad T_ {4} \ ziemia T_ {1} \ Rightarrow T_ {3 \; 1/2}, \ poczwórny T_ {3 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {3},}$ ${\ Displaystyle T_ {3 \; 1/2} \ ziemia T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 3/4}, \ quad T_ {3} \ ziemia T_ {0} \ Rightarrow T_ {2 \; 1 / 2},}$ ${\ Displaystyle T_ {2 \; 3/4} \ Rightarrow T_ {2 \; 1/2} \ Rightarrow T_ {2} \ Rightarrow KC \ Rightarrow US \ ziemia t_ {2} \ quad US \ lor t_ {2 } \ Rightarrow T_ {1} \ Rightarrow T_ {0}.}$
(en) Hans-Peter A. Künzi i Dominic van der Zypen , „Max (kolejno) kompaktowe topologie” , w Werner GAHLER i Gerharda Preuß, Struktur kategoryczne i ich zastosowań , World Scientific,2004( ISBN 978-9-81256053-7 , czytaj online ) , str. 173-187, arXiv : matematyka / 0306082 .
(en) „ Unikalne ograniczenia w przestrzeniach T 1 ” , na matematyce. stackexchange .com .
Zobacz artykuł Kompaktowo wygenerowana przestrzeń .
(w) Francisco G. Arenas Julian Donchev i Maria Luz Puertas, „Unifikacyjne podejście do aksjomatów separacji entre T 0 i całkowicie Call Hausdorff”, październik 1998. ArXiv : math / 9810074 , str. 5, przykład 2.2.
(w) Mangesh G. Murdeshwar , General Topology , New Age,1990, 2 II wyd. , 357 str. ( ISBN 978-81-224-0246-9 , czytaj online ) , str. 162.
przykład znaleźć w
(nie) Julian Donchev Maximilian Ganster i Laszlo Zsilinszky , " ekstremalnie T 1 -spaces i związane z nimi przestrzenie " , arXiv ,1998( czytaj online ). Zobacz też
- (en) „ Przestrzeń, w której sekwencje mają unikalne ograniczenia, ale zwarte zbiory nie muszą być zamykane ” w MathOverflow ,
- (en) Helen F. Cullen , „ Unique sequential limits ” , Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , vol. 20, n o 1,1965, s. 123-124 ( czytaj online ) i
- (en) Jakub Opršal , Minimal KC- space , Univerzita Karlova v Praze ,2009( czytaj online ).
(w) SP Franklin , „ Spaces in which Sequences Suffice II ” , Fund. Matematyka. , vol. 61, 1967, s. 51-56 ( czytaj online ), Twierdzenie 5.4.
Dontchev, Ganster i Zsilinszky 1998 oraz Opršal 2009 .
Przykłady znalezione w (w) " Przykład słabej przestrzeni Hausdorffa, która nie jest Hausdorffem? W MathOverflow, który zawiera więcej szczegółów i zawiera trzeci przykład. Zobacz także (en) Paul Fabel , „ On low-wymiarowych przestrzeni KC ” , arXiv ,2011( czytaj online ).
(w) Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995( 1 st ed. Springer , 1978), 244 , str. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , prezentacja online ) , str. 82, 92podaj trzy inne przykłady: Przeciwprzykład 60 (topologia względnie pierwszej liczby całkowitej) , kontrprzykład 61 ( topologia liczby całkowitej pierwszej) - dwie topologie na ℕ *, mniej dokładne niż ograniczenie do ℕ * topologii liczb całkowitych o równomiernych odstępach : przyjmujemy jako podstawę otwórz je a ℕ * + b z liczbą pierwszą a i b między nimi (odp. liczbą pierwszą ); pierwszy z tych dwóch przykładów jest szczegółowo opisany w (en) „ Przestrzeń Hausdorffa nie do końca Hausdorffa ” , na PlanetMath - i kontrprzykład 74 ( Double Origin Topology (en) ) .
Steen i Seebach 1995 , Przeciwprzykłady 90 (korkociąg Tychonoffa), 92 (korkociąg skondensowany Hewitta), 94 (korkociąg Thomasa) .
François Guénard i Gilbert Lelièvre , Dodatkowa analiza, t. 1: Topologia, część pierwsza , ENS Fontenay ed.,1985( czytaj online ) , s. 35.
Steen i Seebach 1995 , s. 162.
N. Vedenissoff, „ Uogólnienie niektórych twierdzeń o wymiarze ”, Compositio Mathematica , t. 7,1940, s. 194-200 ( czytaj online ).

Zobacz też

Powiązane artykuły

Historia aksjomatów separacji (en)
Oddzielne zestawy ( cale )

Bibliografia

(en) Mickael Henle, Kombinatoryczne wprowadzenie do topologii , Dover ,1994, 310 str. ( ISBN 978-0-486-67966-2 , prezentacja online )
(en) James Munkres , Topology , Prentice Hall ,2000, 2 II wyd. ( czytaj online ) , rozdz. 4
(en) Stephen Willard, General Topology , Dover,2012( 1 st ed. 1970), 384 , str. ( ISBN 978-0-486-13178-8 , prezentacja online )

Link zewnętrzny

(en) Karl H. Hofmann, » The low separation axioms (T 0 ) and (T 1 ) « , na Politechnice w Darmstadt ,2001