Kompaktowo wygenerowana przestrzeń

W matematyce , o przestrzenią topologiczną mówi się zwięźle generowane Jeśli jest to słabo Hausdorffa K- przestrzeń . Pojęcie to pojawia się w teorii homotopii , w badaniach nad kompleksami CW . Przestrzeń X to:

• K -kosmiczna jeśli „zwarty zamknięty” część X jest zamknięty (część M w X mówi się zwarty zamknięty, jeżeli z jakiegokolwiek ciągłego mapy f o zwartej K w X , M -1 ( F ) jest zamknięta K );
• słabo Hausdorffa, jeśli jakiekolwiek ciągłe stosowanie wypraski w X jest zamknięte .

Uzasadnienie definicji

Ograniczanie siebie na k -spaces służy głównie do uzyskania podkategorii się , że z przestrzeni topologiczne , które są zamknięte w układzie kartezjańskim .

Wykazano, że X jest słabo Hausdorff lub T 2 , wtedy i tylko wtedy, gdy po przekątnej jest zwarty zamknięty X x X , która jest słabsza stanie niż zwykłego rozdzielania z Hausdorff lub T 2 , na którym po przekątnej muszą być zamknięte . Dokładniej, właściwość t 2 znajduje się w hierarchii aksjomatów separacji między separacją T 1 a separacją KC, czyli T ' 2 . Przestrzeń KC to przestrzeń, w której prawie wszystko jest zamknięte. W słabej przestrzeni Hausdorffa prosimy tylko o zamknięcie ciągłych obrazów zwartych. Ale są one wtedy automatycznie oddzielane, a zatem zwarte , i wynika z tego

w przestrzeni X zwarty wytworzone, z których część jest zamknięta, gdy tylko jej przecięcia z każdą zwartej K z X jest zamknięta K .

Możemy łatwo wywnioskować, że X to KC. Zatem dla k- przestrzeni te dwa bardzo bliskie pojęcia separacji (słabo Hausdorffa i KC) są w rzeczywistości równoważne.

Zaletą tej hipotezy separacji jest to, że umożliwia ona prostsze przeformułowanie definicji k- przestrzeni: właśnie widzieliśmy, że słabo rozwinięta przestrzeń Hausdorffa jest k- przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest zgodna z rodziną jej zwartych części . Może być zastąpiony przez zamknięty otwarty w tym produkcie: słabo przestrzeń Hausdorffa X jest k -kosmiczna wtedy i tylko wtedy część X jest otwarty, jak tylko jej przecięcie z każdym zwartym K z X jest otwarty w K . Możemy również zastąpić rodzinę wszystkich zwartych X dowolnym nakładaniem się na quasi-kompaktowe.

Jednym z interesów nie nakładające się silniejsze warunki rozdzielania, jak zwykle separacji jest zachować stabilność przez colimits  : the iloraz z k- przestrzeni oddzielonej przez zamkniętą nie mogą być rozdzielone.

Przykłady

Do k -spaces są dokładnie Iloraz lokalnie zwartych przestrzeni , w szczególności wszelkie lokalnie zwarta (oddzielone definicji) jest zwarty generowane.

Każda przestrzeń, którą można metrizować, jest generowana kompaktowo. Mówiąc bardziej ogólnie, każdy kolejny przestrzeń jest k- przestrzeń, a jeśli to ma niepowtarzalną limitu sekwencyjny, następnie jest słabo Hausdorffa .

Każde złożone CW jest generowane i rozdzielane w zwarty sposób.

Nieruchomości

Cała przestrzeń X może być wyposażony w nowej topologii zdefiniowanej jako: zamknięte w tej nowej przestrzeni, oznaczoną kX są z definicji zamknięte zwartej części X . Topologia kX jest zatem dokładniejsza niż topologia X, ale ciągłe mapy zwartej w X lub kX są takie same, tak że kX jest k- przestrzenią. Bardziej ogólnie, każda ciągła mapa k- przestrzeni Y w X jest ciągła od Y w kX . Innymi słowy: funktor z „  k -ification” jest dołączany na prawo włączenia podkategorii k -spaces że w przestrzeni topologicznych; ponadto, jeśli X jest słabo Hausdorffem, to również kX .

Z drugiej strony włączenie podkategorii słabych przestrzeni Hausdorffa dopuszcza pomocnika lewostronnego, który kojarzy z dowolną przestrzenią jej maksymalny słabo iloraz Hausdorffa.

Wszelkie iloraz i każda suma rozłączna z k -spaces jest to k -kosmiczna, jak to wszystko produkowane przez lokalnie zwarta.

Produkt istnieje w kategorii k -spaces: to k -ification produktu przestrzeni topologicznych, czasami oznaczonym × k , co sprawia, że monoidal kategorii . Ponieważ każdy iloczyn przestrzeni słabo Hausdorffa jest słabo Hausdorffa, podkategoria przestrzeni zwartych jest również monoidalna.

X jest k -kosmiczna (i jeśli) tylko wtedy, gdy każda aplikacja z X w dowolnym miejscu w dalszym ciągu na każdej zwartej X jest ciągła na X .

Każda zamknięta część k- przestrzeni jest k- przestrzenią, ale przestrzeń Arens-Fort , chociaż jest podprzestrzenią zwartej, nie jest k- przestrzenią.

Jeśli X i Y są k- przestrzeniami i jeśli CO ( X , Y ) oznacza przestrzeń ciągłych odwzorowań od X do Y z topologią zwartą-otwartą , to poniższa mapa jest ciągła:

k(VSO(X,Y))×kX→Y, (fa,x)↦fa(x).{\ Displaystyle k (CO (X, Y)) \ razy _ {k} X \ do Y, ~ (f, x) \ mapsto f (x).}

Uwagi i odniesienia

1. Terminologia ulega wahaniom. Przyjmujemy to, aktualne, z: Bruno Klingler, Homotopie, część pierwsza , University of Paris 7 i (en) J. Peter May , A Concise Course in Algebraic Topology ( czytaj online ) , rozdz.  5.
   (en) Neil P. Strickland  (de) , »  Kategoria przestrzeni CGWH  « ,2009[PDF] nazywa „kompaktowo wygenerowanym” to, co Klingler nazywa „  przestrzenią k ”, a „zwarto wygenerowanym słabo Hausdorffem” (CGWH: zwarto wygenerowanym słabo Hausdorffem ), co Klingler nazywa „kompaktowo wygenerowanym”.
   Artykuł (w) „  kompaktowo wygenerowanej przestrzeni topologicznej  ” na temat NLAB  (w) podaje tę samą terminologię, ale Klingler wskazuje, że Strickland.
   (en) Edwin H. Spanier , Algebraic Topology , Springer,1994( 1 st  ed. 1966), 548  , str. ( ISBN  978-0-387-94426-5 , czytaj online ) , str.  5i Steenrod 1967 wezwanie Hausdorffa k -spaces „kompaktowo generowane” , ale ta kategoria nie jest optymalny (por infra ). Podobnie jak oni, (en) Saunders Mac Lane , Kategorie dla pracującego matematyka [ szczegóły wydania ]
   , § VII.8 ogranicza swoje badania do k- przestrzeni Hausdorffa, które nazywa przestrzeniami CGHaus lub Kelley .
2. (in) Allen Hatcher , Algebraic Topology , Nowy Jork, UPC ,2001, 544  str. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , czytaj online ) , str.  523-531
3. Mówimy również: „słabo oddzielone”.
4. (w) NE Steenrod , „  Wygodna kategoria przestrzeni topologicznych  ” , Michigan Math. J. , tom.  14 N O  21967, s.  133-152 ( czytaj online )
5. (w) PI Booth i J. Tillotson , „  monoidalne zamknięte, kartezjańskie zamknięte i wygodne kategorie przestrzeni topologicznych  ” , Pacific J. Math. , vol.  88,1980, s.  33-53 ( czytaj online )
6. (en) Dlaczego „W” w CGWH (zwarte, słabo wygenerowane przestrzenie Hausdorffa)? , w MathOverflow
7. (en) Rudolf-E. Hoffmann , „  O słabych przestrzeniach Hausdorffa  ” , Archiv der Mathematik , t.  32, n o  1,1979, s.  487-504 ( czytaj online )
8. Strickland op. cit. , s. 1-2
9. (w) Mark Behrens, MIT , Algebraic Topology II Spring, 2010 Czytanie 2: kompaktowo wygenerowane przestrzenie , Uwaga 1.5
10. (w) Martín Escardó Jimmie Lawson i Alex Simpson , „  Porównanie kartezjańskich zamkniętych kategorii (rdzeniowych) kompaktowo wygenerowanych przestrzeni  ” , Topology and its Applications , vol.  143, n kość  1-3,Sierpień 2004, s.  105-145 ( czytaj online ), Wniosek 3.4
11. (w) Jon Peter May i Johann Sigurdsson , sparametryzowana teoria homotopii , Opatrzność (RI), AMS ,2006, 441  str. ( ISBN  978-0-8218-3922-5 , czytaj online ) , str.  16
12. Weź aplikację tożsamości , od X do kX .

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Przestrzeń generowana licznie
• Drobno wygenerowana przestrzeń
• Grupa kompaktowo wygenerowana  (en)

Bibliografia

• (en) Ronald Brown , Topology and Groupoids , BookSurge,2006, 3 e  ed. , 512  pkt. ( ISBN  978-1-4196-2722-4 )
• (en) Stephen Willard , General Topology , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  , str. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , czytaj online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">