Kategoria monoidalna
Ten artykuł jest zarysem dotyczącym
matematyki .
Możesz dzielić się swoją wiedzą doskonaląc ją ( jak? ) Zgodnie z zaleceniami odpowiednich projektów .
W matematyce , o monoidal kategorią jest kategoria wyposażona bifunctor która uogólnia pojęcie tensora produktu dwóch algebraicznych struktur . Intuicyjnie jest to analogia na poziomie kategorii do pojęcia monoidu , to znaczy, że bifunktor pełni rolę pewnego rodzaju mnożenia dla obiektów kategorii.
Definicja
Kategoria monoidalna to kategoria opatrzona:
VS{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {C}}}
- Z bifunktora zwanego iloczynem tensorowym.⊗:VS×VS⟶VS{\ displaystyle \ otimes: {\ mathcal {C}} \ razy {\ mathcal {C}} \ longrightarrow {\ mathcal {C}}}
- Od obiektu, do którego należę, zwanego „obiektem jednostkowym”.VS{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {C}}}
- Z naturalnego izomorfizmu α zwanego „asocjatorem” takiego, że dla wszystkich obiektów A , B i C , α A, B, C jest izomorfizmem robaków . Innymi słowy, α jest naturalnym izomorfizmem od funktora do funktora .(DO⊗b)⊗VS{\ styl wyświetlania (A \ czasami B) \ czasami C}DO⊗(b⊗VS){\ styl wyświetlania A \ orazy (B \ orazy C)}(-⊗-)⊗-{\ styl wyświetlania (- \ orazy -) \ orazy -}-⊗(-⊗-){\ displaystyle - \ orazy (- \ orazy -)}
- Z dwóch naturalnych izomorfizmów λ i ρ wywołujących, dla dowolnego obiektu A , izomorfizmy i .λDO:i⊗DO⟶DO{\ displaystyle \ lambda _ {A}: I \ czasami A \ longrightarrow A}ρDO:DO⊗i⟶DO{\ displaystyle \ rho _ {A}: A \ czasami I \ longrightarrow A}
Warunki koherencji dla tych naturalnych przekształceń wyraża przemienność poniższych diagramów , zwana odpowiednio tożsamością trójkąta i tożsamością pięciokąta.
Przykłady
- Kategoria zestawów Zestaw wyposażony iloczynu kartezjańskiego jest monoidal kategorii. Jednostkę podaje singleton.
- Kategoria zbiorów Zbiór dostarczany wraz ze złączem rozłącznym , jest kategorią monoidalną. Jednostkę podaje pusty zestaw.
- Jeśli k jest ciałem przemiennym , kategoria przestrzeni k - wektorowych obdarzonych zwykłym iloczynem tensorowym jest kategorią monoidalną. Jedna jednostka jest dana przez k .
- Bardziej ogólnie, jeśli R jest pierścieniem przemiennym , kategoria modułów R wyposażonych w zwykły iloczyn tensorowy jest kategorią monoidalną. Jednostkę podaje R .
- Kategoria przestrzeni wektorowych obdarzonych sumą prostą jest kategorią monoidalną, której jednostką jest singleton sprowadzony do wektora zerowego.
- Jeśli A jest algebrą asocjacyjną , kategoria modułów A nie jest ogólnie kategorią monoidalną. Potrzebne są dodatkowe warunki na A , na przykład , że A jest algebrą Hopfa .
Uwagi i referencje
Powiązane artykuły