Produkt Tensor
W matematyce , produkt tensor jest wygodnym sposobem kodowania multilinear przedmiotów . Jest stosowany w algebrze , w geometrii różniczkowej , w geometrii riemannowskiej , w analizie funkcjonalnej i fizycznej ( mechanika ciała stałego , ogólna teoria względności i mechanika kwantowa ).
Iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych
Definicja
Twierdzenie i definicja . Niech è and f dwie przestrzenie wektorowe nad przemiennym polu K . Istnieje przestrzeń wektorowa, oznaczona i mapa dwuliniowami⊗fa{\ displaystyle E \ otimes F}
ϕ:mi×fa→mi⊗fa{\ Displaystyle \ phi: E \ razy F \ rightarrow E \ otimes F}(pozujemy )
ϕ(x,y)=x⊗y{\ Displaystyle \ phi (x, y) = x \ otimes y}
mający następującą właściwość (zwany uniwersalny ): Dla każdej przestrzeni wektorowej G w tym samym polu K i dla każdego Przekształcenie Dwuliniowe g z E x F do G nie występuje
jeden i tylko jeden liniowym od na G w taki sposób,
sol~{\ displaystyle {\ tilde {g}}}mi⊗fa{\ displaystyle E \ otimes F}
sol=sol~∘ϕ{\ displaystyle g = {\ tilde {g}} \ circ \ phi} lub
∀x∈mi,y∈fa,sol(x,y)=sol~(x⊗y).{\ Displaystyle \ forall x \ w E, y \ w F, g (x, y) = {\ tylda {g}} (x \ otimes y).}
Co więcej, taka para jest wyjątkowa, z wyjątkiem jednego izomorfizmu .
(mi⊗fa,ϕ){\ Displaystyle (E \ otimes F, \ phi)}
Przestrzeń jest produkt napinacz z E i F , i
jest produktem tensor x i y .
mi⊗fa{\ displaystyle E \ otimes F}x⊗y{\ displaystyle x \ otimes y}
Czasami ważne jest, aby określić ciała K w notacji produktu tensora, potem piszemy E ⊗ K F .
Jeśli i są odpowiednio podstawami E i F , to jest podstawą . W szczególności, jeśli E i F mają skończony wymiar,
(mija)ja∈ja{\ displaystyle (e_ {i}) _ {ja \ in I}}(fajot)jot∈jot{\ displaystyle (f_ {j}) _ {j \ w J}}(mija⊗fajot)(ja,jot)∈ja×jot{\ Displaystyle (e_ {i} \ otimes f_ {j}) _ {(i, j) \ in ja \ razy J}}mi⊗fa{\ displaystyle E \ otimes F}
rejam(mi⊗fa)=rejam(mi)×rejam(fa){\ Displaystyle \ mathrm {dim} (E \ otimes F) = \ mathrm {dim} (E) \ times \ mathrm {dim} (F)}
Z technicznego punktu widzenia twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności jest zabezpieczeniem, które pozwala być zadowolonym z punktu widzenia baz.
Iloczyn wielokrotny tensorowy
Operację możemy powtórzyć. Iloczyn tensora jest asocjacyjny: istnieje naturalny izomorfizm (to znaczy niezależny od doboru zasad) pomiędzy a . Ten izomorfizm wysyła out . Podobnie spacje i są izomorficzne. Ale uwaga: jeśli E = F , to mapa dwuliniowa
(mi⨂fa)⨂sol{\ displaystyle (E \ bigotimes F) \ bigotimes G}mi⨂(fa⨂sol){\ Displaystyle E \ bigotimes (F \ bigotimes G)}(x⊗y)⊗z{\ Displaystyle (x \ otimes y) \ otimes z}x⊗(y⊗z){\ Displaystyle x \ otimes (y \ otimes z)}mi⨂fa{\ displaystyle E \ bigotimes F}fa⨂mi{\ displaystyle F \ bigotimes E}
⊗:mi×mi→mi⨂mi{\ displaystyle \ otimes: E \ times E \ rightarrow E \ bigotimes E}
nie jest symetryczny. Ponadto, jeśli x i y nie są współliniowe, mamy:x⊗y≠y⊗x{\ Displaystyle x \ otimes y \ not = y \ otimes x}
Bardzo częstą sytuacją, szczególnie w geometrii różniczkowej, jest sytuacja, w której rozważa się iloczyn tensorowy określonej liczby kopii E i jego podwójnej . Mówimy, że element of
jest
tensorem p-kontrawariantnym i q-kowariantnym , lub w skrócie tensorem typu (p, q) . Odnotowano również
przestrzeńmi⊗p⨂mi∗⊗q{\ Displaystyle E ^ {\ otimes p} \ bigotimes E ^ {\ ast \ otimes q}}mi⊗p⨂mi∗⊗q{\ Displaystyle E ^ {\ otimes p} \ bigotimes E ^ {\ ast \ otimes q}}⨂p,qmi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}
Ostrożnie . Geometry nazywają „kowariantnymi” to, co algebryści nazywają „kontrawariantnymi” i na odwrót. Na szczęście wszyscy zgadzają się co do oznaczenia typu (p, q) .
Iloczyn tensorowy zastosowań liniowych
Niech będą przestrzenie wektorowe
i mapy liniowe. Poprzez zastosowanie własności uniwersalnej do mapy bilinearnej
mi,mi′,fa,fa′{\ displaystyle E, E ^ {\ prime}, F, F ^ {\ prime}}fa∈L(mi,mi′){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {L}} (E, E ^ {\ prime})}sol∈L(fa,fa′){\ displaystyle g \ in {\ mathcal {L}} (F, F ^ {\ prime})}
(x,y)↦fa(x)⊗sol(y){\ displaystyle (x, y) \ mapsto f (x) \ otimes g (y)}od wewnątrz ,
mi×fa{\ displaystyle E \ razy F}mi′⨂fa′{\ displaystyle E ^ {\ prime} \ bigotimes F ^ {\ prime}}
widzimy, że istnieje unikalna mapa liniowa
fa⊗sol:mi⨂fa→mi′⨂fa′{\ displaystyle f \ otimes g: E \ bigotimes F \ rightarrow E ^ {\ prime} \ bigotimes F ^ {\ prime}}
takie jak .
(fa⊗sol)(x⊗y)=fa(x)⊗sol(y){\ Displaystyle (fa \ otimes g) (x \ otimes y) = f (x) \ otimes g (y)}
Z definicji jest to iloczyn tensorowy f i g .
Przykłady
Poniższe przykłady wykorzystują konwencję sumowania Einsteina .
Zgodnie z tą konwencją nie pisze się wezwań, które szybko stają się uciążliwe w obsłudze. Wskaźniki powtórzone dwukrotnie sumujemy przez odpowiednią kwotę.
Dwa podstawowe przykłady
Iloczyn dwóch kowariantnych tensorów rzędu 1
Niech E i F obowiązuje dwa wektor skończonego wymiaru nad polem K . Iloczyn tensorowy form liniowych
α∈mi∗mitβ∈fa∗{\ Displaystyle \ alfa \ w E ^ {\ ast} \ quad \ mathrm {i} \ quad \ beta \ w F ^ {\ ast}}
jest dwuliniową formą na E × F podaną przez
(x,y)↦α(x)β(y){\ Displaystyle (x, y) \ mapsto \ alpha (x) \ beta (y)}
(Przypomnij sobie, że przestrzeń wektorowa identyfikuje się z ). We współrzędnych, jeśli i wtedy
L2(mi×fa,K.){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {2} (E \ razy F, K)}mi∗⨂fa∗{\ displaystyle E ^ {\ ast} \ bigotimes F ^ {\ ast}}α=(αja){\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {i})}β=(βjot){\ Displaystyle \ beta = (\ beta _ {j})}
(α⊗β)jajot=αjaβjot{\ Displaystyle (\ alfa \ otimes \ beta) _ {ij} = \ alfa _ {i} \ beta _ {j}}
Iloczyn kowariantnego tensora i kontrawariantnego tensora, oba rzędu 1
Teraz jest formą liniową na E i v wektor F . Ich iloczyn tensorowy jest utożsamiany z liniową mapą E w F podaną wzorem
α{\ displaystyle \ alpha}
x↦α(x)v{\ Displaystyle x \ mapsto \ alpha (x) v}
We współrzędnych, jeśli i , macierz tej liniowej mapy toα=(αja){\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {i})}v=(vjot){\ Displaystyle v = (v ^ {j})}(αjavjot){\ Displaystyle (\ alfa _ {i} v ^ {j})}
Pokazuje to mimochodem, który utożsamiany jest z
rozłożonymi elementami odpowiadającymi mapom liniowym rangi 1 rangi .
L(mi,fa){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}mi∗⨂fa{\ displaystyle E ^ {\ ast} \ bigotimes F}mi∗⨂fa{\ displaystyle E ^ {\ ast} \ bigotimes F}L(mi,fa){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}
Podstawowe przedłużenie ciała
Niech będzie przemiennym polem i podpolem . Z dowolnego miejsca wektor E sprawie , możemy skonstruować przestrzeń wektorową nad przez ustawienie
K.{\ displaystyle K}k⊂K.{\ Displaystyle k \ podzbiór K}K.{\ displaystyle K}k{\ displaystyle k}mi~{\ displaystyle {\ tilde {E}}}K.{\ displaystyle K}
mi~=mi⨂kK.{\ displaystyle {\ tilde {E}} = E \ bigotimes _ {k} K}
gdzie indeks dolny wskazuje, że jest to iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych na . Ważnym przykładem jest gdzie i
. Mówimy, że jest
bardziej skomplikowane od E .
k{\ displaystyle k}k{\ displaystyle k}k=R{\ displaystyle k = \ mathbb {R}}K.=VS{\ displaystyle K = \ mathbb {C}}mi~{\ displaystyle {\ tilde {E}}}
Iloczyn tensorowy dwóch kowariantnych tensorów odpowiednich rzędów p i q
Niech i . Wtedy forma -liniowa jest
przedefiniowana przez
S∈⨂pmi∗{\ Displaystyle S \ in \ bigotimes ^ {p} E ^ {\ ast}}T∈⨂qmi∗{\ Displaystyle T \ in \ bigotimes ^ {q} E ^ {\ ast}}S⊗T{\ displaystyle S \ otimes T}p+q{\ displaystyle p + q}mip+q{\ displaystyle E ^ {p + q}}
(S⊗T)(x1,⋯,xp,xp+1,⋯,xp+q)=S(x1,⋯,xp)T(xp+1,⋯,xp+q).{\ Displaystyle (S \ otimes T) (x_ {1}, \ cdots, x_ {p}, x_ {p + 1}, \ cdots, x_ {p + q}) = S (x_ {1}, \ cdots , x_ {p}) T (x_ {p + 1}, \ cdots, x_ {p + q}).}
We współrzędnych,
(S⊗T)ja1ja2⋯japjot1⋯jotq=Sja1⋯japTjot1⋯jotq{\ Displaystyle (S \ otimes T) _ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {p} j_ {1} \ cdots j_ {q}} = S_ {i_ {1} \ cdots i_ {p}} T_ {j_ {1} \ cdots j_ {q}}}
Iloczyn tensorowy dwóch kontrawariantnych tensorów rzędu 1
Chodzi więc o wektory. Niech E i F będą dwiema przestrzeniami wektorowymi o skończonych wymiarach i odpowiednich wymiarach p i q , wyposażonych w odpowiednie bazy i . Jeśli (zgodnie z konwencją Einsteina ) i wtedy
(mija)1≤ja≤p{\ Displaystyle (e_ {i}) _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik p}}(fajot)1≤jot≤q{\ displaystyle (f_ {j}) _ {1 \ równoważnik j \ równoważnik q}}v=vjamija{\ displaystyle v = v ^ {i} e_ {i}}w=wjotfajot{\ displaystyle w = w ^ {j} f_ {j}}
v⊗w=vjawjotmija⊗fajot{\ displaystyle v \ otimes w = v ^ {i} w ^ {j} e_ {i} \ otimes f_ {j}}
Innymi słowy, jest przestrzeń wektorową o wymiarze pq
którego baza jest generowana przez dwa produkty tensor dwóch podstawowych wektorów
E i F . W rzeczywistości przestrzeń i produkt nie zależą od wyboru tych podstaw. Możemy to zweryfikować bezpośrednio lub odwołać się do wewnętrznej definicji iloczynu tensorowego .
mi⨂fa{\ displaystyle E \ bigotimes F}mi⨂fa{\ displaystyle E \ bigotimes F}v⊗w{\ displaystyle v \ otimes w}
Zakontraktowany produkt tensorowy
Skurcz
Możemy wysłać w następujący sposób:
⨂p,qmi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂p-1,q-1mi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q-1} E}
z
jednym skojarzeniem
(przypomnijmy, że są wektorami i formami liniowymi). Ta mapa, zdefiniowana na początku na zdekomponowanych elementach
(to znaczy zapisanych jako iloczyn tensorowy elementów i jego dualności), rozciąga się na całą przestrzeń.
v1⊗v2⋯⊗vp⊗α1⊗α2⋯⊗αq{\ Displaystyle V_ {1} \ otimes v_ {2} \ cdots \ otimes v_ {p} \ otimes \ alpha _ {1} \ otimes \ alpha _ {2} \ cdots \ otimes \ alpha _ {q}}α1(v1)v2⊗⋯⊗vp⊗α2⊗⋯αq{\ Displaystyle \ alpha _ {1} (v_ {1}) v_ {2} \ otimes \ cdots \ otimes v_ {p} \ otimes \ alpha _ {2} \ otimes \ cdots \ alpha _ {q}}vja{\ displaystyle v_ {i}}αja{\ displaystyle \ alpha _ {i}}⨂p,qmi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}mi{\ displaystyle E}
We współrzędnych (pod warunkiem, że weźmiemy podwójną podstawę wybranej bazy ), ta aplikacja jest napisana
mi∗{\ displaystyle E ^ {\ ast}}mi{\ displaystyle E}
tjot1jot2⋯jotqja1ja2⋯jap↦tjajot2⋯jotqjaja2⋯jap{\ Displaystyle t_ {j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {q}} ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {p}} \ mapsto t_ {ij_ {2} \ cdots j_ {q }} ^ {ii_ {2} \ cdots i_ {p}}}
Oczywiście posłużyliśmy się konwencją Einsteina. Tutaj mamy skurczony pierwszy indeks kontrawariantny i pierwszy indeks kowariantny. Możemy wykonać tę operację z innymi wskazówkami: istnieją skurcze
pq w⨂p,qmi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂p-1,q-1mi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q-1} E}
Zamówienia produktu napinacz jest produktem napinacz, a następnie przez jeden lub większą liczbę skurczów. Można to postrzegać jako uogólnienie iloczynu macierzy.
Wniosek o indeksowanie zmian
Niech będzie niezdegenerowaną dwuliniową formą. Jest to tensor typu (0,2). Forma dualna jest tensorem typu (2, 0). Iloczyn skurczony g (odpowiednio ) przez tensor typu ( p , q ) jest tensorem typu ( p - 1, q + 1) (odpowiednio typu ( p + 1, q - 1).
sol=soljajot{\ displaystyle g = g_ {ij}} sol∗=soljajot{\ Displaystyle g ^ {\ ast} = g ^ {ij}}sol∗{\ displaystyle g ^ {\ ast}}
W rzeczywistości, dzięki hipotezy nie zwyrodnienie produkt skurczył się o g
to izomorfizmem na
którego odwrotny Izomorfizm jest produkt skurczył się o . Niektórzy autorzy nazywają te izomorfizmy izomorfizmami muzycznymi
i zapisują je za pomocą płaskowników lub ostrych, w zależności od tego, czy powodują spadek lub wzrost indeksów. Są szeroko stosowane w geometrii riemannowskiej lub pseudo-riemannowskiej.
⨂p,qmi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p, q} E}⨂p-1,q+1mi{\ displaystyle \ bigotimes ^ {p-1, q + 1} E}sol∗{\ displaystyle g ^ {\ ast}}
Przykłady
- Dla p = q = 1, odwzorowanie w K jest niczym innym jak śladem , jeśli użyjemy naturalnej identyfikacji między a .mi⨂mi∗{\ displaystyle E \ bigotimes E ^ {\ ast}}mi⨂mi∗{\ displaystyle E \ bigotimes E ^ {\ ast}}L(mi,mi){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, E)}
- Tensor krzywizny rozmaitości riemannowskiej ( M , g ) jest tensorem typu (1,3).
Miałby zatem a priori trzy możliwe skurcze. Jednak ze względu na swoje właściwości symetrii, skurcz z trzecim współczynnikiem kowariantnym daje 0, podczas gdy pierwszy i drugi dają odwrotne wyniki. Ricci krzywizna jest jednym z tych skurczów (konwencje może się zmieniać). We współrzędnychRjavskl=Rkjalja.{\ Displaystyle \ mathrm {Ric} _ {kl} = R_ {kil} ^ {i}.}W istocie jest to ślad operatora liniowego .Rjavs(X,Y){\ Displaystyle \ mathrm {Ric} (X, Y)}Z↦R(X,Z)Y{\ Displaystyle Z \ mapsto R (X, Z) Y}
- Na rozmaitości riemannowskiej lub pseudo-riemannowskiej dywergencję tensora uzyskuje się poprzez zawarcie indeksu pochodnego i innego indeksu (najczęściej pracujemy z tensorami symetrycznymi lub anty-symetrycznymi, wtedy nie ma nic poza możliwą dywergencją). Wyraźnie, dywergencja tensora typu T (0, p + 1) jest tensorem typu (0, p ) podanym przez
(rejavT)ja1...jap=soljotk∇jotTkja1...jap.{\ Displaystyle (\ mathrm {div} T) _ {i_ {1} \ kropki i_ {p}} = g ^ {jk} \ nabla _ {j} T_ {ki_ {1} \ kropki i_ {p}}. }
- W fizyki ciała stałego , prawo Hooke'a jest wyrażona przez zakontraktowanego produktu tensora: mamySjajot=VSjajotklmikl.{\ Displaystyle S_ {ij} = C_ {ijkl} e_ {kl}.}Tutaj C oznacza tensor sprężystości (symetryczny rzędu 4), e tensor naprężeń, a S tensor odkształceń (oba symetryczne rzędu 2) (w fizyce klasycznej pracuje się w ortonormalnych układach odniesienia, co pozwala nie uwzględniać konwencje indeksów, ponieważ można zidentyfikować wszystkie typy tensorów tego samego rzędu).
Uogólnienia
Iloczyn tensora można zdefiniować
Bibliografia
Uwagi i odniesienia
-
Dowodem na to jest artykuł: Tensorowy iloczyn dwóch modułów
-
(en) Marcel Berger , A Panoramic View of Riemannian Geometry ,2003[ szczegóły wydania ], s. 796 .
-
(w) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin i Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [ publikowanie szczegółów ].
-
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (w) i Mt Sands (w) , Feynman Lectures Fizyki [ publikacji dane ] , Elektromagnetyzm, 39-2.
-
(w) Morris W. Hirsch , Differential Topology [ wydania detaliczne ].
-
A. Grothendieck, „ Topologiczne produkty tensorowe i przestrzenie nuklearne ”, Bourbaki Seminar , 1951-1954 ( czytaj online ), exp. n o 69.
Zobacz też
Powiązane artykuły
Link zewnętrzny
(pl) Tim Gowers , „ Jak pozbyć się strachu przed produktami tensor ”
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">