Forma dwuliniowa

W matematyce , a dokładniej w liniowym Algebra , A dwuliniowo forma jest szczególnym rodzajem mapowania , która na dwóch wektorach o przestrzeń wektorową (powyżej pewnego pola przemiennego ) kojarzy skalarne (to jest element tego ciała).

Niektóre forma dwuliniowa są również kropka produkty . Iloczyn skalarny (na skończonych lub nieskończenie wymiarowych przestrzeniach wektorowych) jest szeroko stosowany we wszystkich gałęziach matematyki do definiowania odległości .

Fizyczny klasyczny , relatywistyczny lub kwantowy wykorzystuje te formalne ramy.

Motywacje

Formy dwuliniowe występują w wielu dziedzinach matematyki. Stanowią dużą klasę narzędzi służących do rozwiązywania problemów o bardzo zróżnicowanym charakterze.

Algebra liniowa

Rodzimą domeną form dwuliniowych jest algebra liniowa. Pojęcie postaci dwuliniowej jest zdefiniowane w przestrzeniach wektorowych i jest uogólnione na modułach , podstawowych strukturach algebry liniowej. Te kształty są ściśle powiązane z zastosowaniami liniowymi . Wiedza związana z tą ostatnią pozwala rzucić światło na strukturę formy dwuliniowej, a odwrotnie - formy dwuliniowe pozwalają wyjaśnić pewne osobliwości zastosowań liniowych, na przykład w przypadku endomorfizmów samosprzężonych .

Istnieje szczególna przestrzeń wektorowa, odgrywająca dużą rolę dla form dwuliniowych: podwójna . Przestrzeń wektorowa form dwuliniowych jest dokładną kopią liniowych map przestrzeni w układzie dualnym. Znajomość geometrii przestrzeni, jak również dualności, pozwala wyjaśnić zastosowanie liniowych z jednego do drugiego i jednocześnie form dwuliniowych. W przypadku wymiaru skończonego analiza ta jest prosta, dualność jest ( niekanoniczną ) kopią przestrzeni początkowej.

Istnieje ogólna metoda konstruowania form dwuliniowych, a iloczyn tensorowy zapewnia teoretyczne narzędzie do zademonstrowania pewnych właściwości form dwuliniowych. Umożliwia również konstruowanie nowych przestrzeni wektorowych o określonej geometrii, z której fizycy bardzo dobrze korzystają. W ten sposób pole magnetyczne weryfikuje właściwości symetrii dobrze reprezentowanej przez określoną przestrzeń o bilinearnych kształtach. Oprócz struktury przestrzeni wektorowej ich dwuliniowe pochodzenie ma specyficzne właściwości, dlatego używa się nowego terminu tensor .

Geometria

Dodatek dobrze dobranej dwuliniowej formy jest źródłem formalizacji geometrii . Być może najbardziej znanym przykładem są przestrzenie euklidesowe dla przestrzeni wektorowych nad polem liczb rzeczywistych w przypadku wymiaru skończonego. Ta dwuliniowa forma zwana iloczynem skalarnym odgrywa następnie tę samą rolę co kanoniczna dwuliniowa forma między przestrzenią a jej dualnością, umożliwiając bardziej konkretną i łatwiejszą do uzyskania formalizację.

Nie jest to jedyny przykład, istnieje odpowiednik dla liczb zespolonych . Inny w nieskończonym wymiarze istnieje z przestrzeniami przedhilbertowskimi zawierającymi szczególny istotny przypadek, przestrzeń Hilberta . W wymiarze skończonym wybór kształtu dwuliniowego o innych właściwościach umożliwia konstruowanie innych geometrii. Przestrzeń Minkowskiego budowana jest w taki sposób. Zapewnia geometryczne ramy dla szczególnej teorii względności .

Wpływ dwuliniowych kształtów na geometrię nie ogranicza się do formalizacji nowych przestrzeni. Związek między niektórymi powierzchniami, takimi jak kwadraty i dwuliniowe kształty, jest głęboki. Udział różnych narzędzi pochodzących z algebry liniowej pozwala na ogólną klasyfikację i dla dowolnego wymiaru.

Analiza funkcjonalna

Warto rozważyć zbiór funkcji wynikających z analizy, takich jak np. Funkcje segmentu [0,1] o wartościach rzeczywistych i nieskończenie różniczkowalnych . Zbiór tego rodzaju jest przestrzenią wektorową o nieskończonym wymiarze, wyniki algebry liniowej opartej na wykorzystaniu baz skończonych liczników nie mają już zastosowania. Badanie form dwuliniowych na przestrzeniach tego rodzaju okazuje się owocne.

Narzędzie staje się niezbędne do badania przestrzeni wektorowych tego rodzaju, topologii . To naturalnie indukuje inną topologię w systemie dualnym. Istnieje szczególny przypadek analogiczny do wymiaru skończonego, gdzie dualność jest kopią przestrzeni funkcji. Tak jest na przykład w przypadku zbioru funkcji [0,1] z wartościami rzeczywistymi, które są całkowalne do kwadratów . Taka przestrzeń może być zaopatrzona w iloczyn skalarny, świadczący usługi podobne do przestrzeni euklidesowych, nosi nazwę przestrzeni Hilberta .

W ogólnym przypadku dual ma inną strukturę niż przestrzeń startowa. Używana jest inna dwuliniowa forma, która łączy f ( x ) z elementem podwójnej f oraz z elementem przestrzeni x . Badanie takiej struktury jest prostsze, jeśli topologia pochodzi ze standardu mającego co najmniej jedną dobrą właściwość - kompletność . Taka przestrzeń nazywana jest przestrzenią Banacha . Kanoniczna dwuliniowa forma między liczbą podwójną a przestrzenią często przyjmuje nazwę iloczynu skalarnego .

Arytmetyka

Podejście matematyków, którzy badali przestrzenie funkcjonalne, polega na wycofaniu wcześniej stosowanej hipotezy o skończonym wymiarze. Jest to ostatecznie owocne i wiele twierdzeń w analizie funkcjonalnej wywodzi się z badania postaci dwuliniowej, takiej jak iloczyn skalarny analogiczny do przestrzeni euklidesowych lub wynikający z formy kanonicznej między przestrzenią a jej dualnością. Można usunąć inne założenie, które gwarantuje, że każda liczba inna niż zero w ciele leżącym u podstaw przestrzeni wektorowej ma odwrotność mnożenia.

Przykładem, który był badany przez długi czas, są równania diofantyczne . Niektóre z nich są zapisywane jako poszukiwanie pierwiastków równania wielomianowego z kilkoma zmiennymi i współczynnikami całkowitymi. Poszukiwane rozwiązania to takie, które są wyrażone tylko liczbami całkowitymi. Znanym i trudnym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata . Równanie jest zapisane x n + y n = z n . Rozwiązania można postrzegać jako punkty przecięcia się ℤ 3 , gdzie ℤ oznacza zbiór liczb całkowitych , a powierzchnię trójwymiarowej przestrzeni geometrycznej. Zmiana odniesienia czasami pozwala uprościć wyrażenie równania Diofantyna. Aby była istotna, ta zmiana układu współrzędnych musi uwzględniać geometrię przestrzeni. Pojawia się jako izometria , to znaczy transformacja uwzględniająca odległości i kąty, dla dobrego dwuliniowego kształtu. To podejście prowadzi do badania form dwuliniowych o skończonym module wymiarowym. „Moduł” oznacza tutaj przestrzeń quasi- wektorową, skalary po prostu nie zawsze są już odwracalne. Można je na przykład sprowadzić do zbioru liczb całkowitych. Przykładem tego rodzaju jest stosowany do dowodu z dwóch kwadratowych twierdzenia Fermata przez Joseph Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) .

Definicje

Ta sekcja zawiera ogólne definicje dotyczące form dwuliniowych, a następnie dodatkowe definicje związane z różnymi kontekstami.

Definicje ogólne

Forma oznacza w matematyce zastosowanie przestrzeni wektorowej w jej polu skalarów . Dwuliniowo forma jest zdefiniowana parami wektorów: pozostawiając przestrzeń jest iloczyn dwóch przestrzeni wektorowej E i F, w tym samym organizmie K . Kiedy E i F oznaczają tę samą przestrzeń, to się nazywa forma dwuliniowa na E . ( x | y ) jest częstym zapisem oznaczającym obraz pary ( x , y ) w postaci dwuliniowej; jest używany w dalszej części artykułu.

Kształt jest tak zwany liniowy względem swojej pierwszej zmiennej, jeśli dla każdego y zastosowanie do x asocjatów ( x | y ) jest liniowe. Podobnie, kształt jest nazywany liniowym w stosunku do jego drugiej zmiennej, jeśli dla wszystkich x , nanoszenie być powiązane ( x | y ) jest liniowa.

• Niech (| ..) wniosek o E x F w K . Mówi się, że funkcja (. |.) Jest dwuliniowa, jeśli jest liniowa w odniesieniu do jej dwóch zmiennych.

Uwaga  : jeśli charakterystyka pola skalarów jest różna od 2, z jakąkolwiek dwuliniową formą na przestrzeni E jest skojarzona forma kwadratowa . Jest to aplikacja, która wiąże skalar ( x | x ) z wektorem x . Dokładniej, mapa, która z każdą symetryczną dwuliniową formą wiąże jej kwadratową postać, jest izomorfizmem . Odwrotność izomorfizmu wiąże się z formą kwadratową χ dwuliniową (. |.) Zdefiniowaną przez:

∀x,y∈mi(x|y)=14(χ(x+y)-χ(x-y)){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ frac {1} {4}} {\ duży (} \ chi (x + y) - \ chi (xy) {\ duży )}}

• Postać dwuliniowa (. |.) Zdefiniowana przez powyższą linię nazywana jest formą biegunową formy kwadratowej χ.

Uwaga  : w przypadku liczb zespolonych istnieje inna forma o innej liniowości i często bardziej interesująca, wtedy mówimy o formie półtoraliniowej .

Domyślnie w dalszej części artykułu E i F to dwie przestrzenie wektorowe w tym samym ciele K i (. |.) Oznacza formę dwuliniową.

Definicje związane z ortogonalnością

Pojęcie ortogonalności między dwoma wektorami, dla postaci dwuliniowej, uogólnia pojęcie prostopadłości w przypadku przestrzeni euklidesowej .

• Mówi się, że dwa wektory x z E i y z F są ortogonalne, jeśli obraz pary ( x , y ) w postaci dwuliniowej wynosi zero.
• Zbiór wektorów ortogonalnych względem wszystkich elementów rodziny Φ wektorów F jest wektorową podprzestrzenią E , zwaną ortogonalną liczby Φ i często oznaczaną jako Φ ⊥ . Podobnie prostopadłe wektory z rodziny E jest podprzestrzeń F .
  Jeśli E jest równe F, a forma dwuliniowa nie jest symetryczna, aby uniknąć nieporozumień, mówimy o ortogonalnych lewych i prawych.
• W szczególności jądro po lewej stronie dwuliniowej postaci na E × F jest podprzestrzenią F ⊥ z E utworzoną z wektorów x takich, że:∀y∈fa(x|y)=0.{\ displaystyle \ forall y \ in F \ quad (x | y) = 0}Określa on także podstawowy prawy E ⊥ , który jest podprzestrzeń F .
• Mówi się, że forma dwuliniowa jest niezdegenerowana po lewej stronie, jeśli jej jądro po lewej stronie jest zredukowane do wektora zerowego, tj.∀x∈mi(∀y∈fa(x|y)=0)⇒x=0,{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad (\ forall y \ in F \ quad (x | y) = 0) \ Rightarrow x = 0,}iw ten sam sposób definiuje się brak degeneracji po prawej stronie. Forma jest uważana za niezdegenerowaną, jeśli tak jest zarówno po lewej, jak i po prawej stronie.

Definicje związane z przypadkiem, w którym E jest równe F

W przypadku, gdy E jest równe F , istnieją specyficzne właściwości dla kształtów dwuliniowych. W niniejszym ustępie, jest określona forma dwuliniowa na E x E . Mówi się

• symetryczny, jeżeli:

∀x,y∈mi(x|y)=(y|x){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = (y | x)},

• antysymetryczny, jeżeli:

∀x,y∈mi(x|y)=-(y|x){\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = - (y | x)},

• naprzemiennie, jeśli:

∀x∈mi(x|x)=0{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) = 0},

• zdefiniowane, jeśli nie ma niezerowego wektora izotropowego :

∀x∈mi((x|x)=0⇒x=0){\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad ((x | x) = 0 \ Rightarrow x = 0)},

• odblaskowe, jeśli:

∀x,y∈mi(x|y)=0⇔(y|x)=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = 0 \ Leftrightarrow (y | x) = 0}.

Każda symetryczna lub antysymetryczna forma dwuliniowa jest odruchowa, a każda forma refleksyjna ma to samo jądro po prawej stronie, co po lewej stronie.

Każda określona forma nie jest zdegenerowana.

Każda alternatywna forma jest antysymetryczna. Jeśli charakterystyka ciała jest inna niż 2, to te dwa pojęcia są równoważne.

Dla następującej własności zakłada się , że pole K jest całkowicie uporządkowane , podobnie jak pole liczb rzeczywistych.

• Mówi się dwuliniową formę:
  • pozytywne, jeśli  ;∀x∈mi(x|x)≥0{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) \ geq 0}
  • negatywne, jeśli .∀x∈mi(x|x)≤0{\ Displaystyle \ forall x \ in E \ quad (x | x) \ równoważnik 0}

Zgodnie z nierównością Cauchy'ego-Schwarza definiowana jest każda niezdegenerowana dodatnia (lub ujemna) symetryczna dwuliniowa forma.

Przykłady

Zwykła przestrzeń euklidesowa

Przestrzeni ℝ 3 utworzonej przez trójki liczb rzeczywistych ( x , y , z ) można nadać dwuliniową postać zwaną kanonicznym iloczynem skalarnym . Jeśli jest zaznaczone (. |.), Jest zdefiniowane przez:

∀(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈R3((x1,y1,z1)|(x2,y2,z2))=x1x2+y1y2+z1z2.{\ displaystyle \ forall (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad {\ Big (} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1}) | (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}) {\ Big)} = x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}.}

Przestrzeń ℝ 3 z iloczynem skalarnym nazywana jest euklidesową .

Forma podwójna dwuliniowa

Taka przestrzeń jest wyposażona w inną ważną dwuliniową formę zdefiniowaną za pomocą przestrzeni dualnej (ℝ 3 ) *. Odpowiada to zespołowi form liniowych , czyli liniowym odwzorowaniom (ℝ 3 ) * w jego polu skalarów ℝ. Ta dwuliniowa forma jest mapą (ℝ 3 ) * × ℝ 3 w ℝ, która z parą ( d *, x ) wiąże rzeczywisty 〈d *, x〉 obraz x przez postać liniową d *. Pod pewnymi względami przypomina poprzedni przykład.

Niech ( e 1 , e 2 , e 3 ) będzie kanoniczną podstawą ℝ 3 , oznaczmy d i obraz 〈d *, e i〉e i przez d * id wektor ( d 1 , d 2 , d 3 ) z ℝ 3 . Następująca właściwość jest weryfikowana:

∀x∈R3⟨re∗,x⟩=(re|x).{\ Displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ quad \ langle d ^ {*}, x \ rangle = (d | x).}

Istnieje zatem pewna równoważność między dwiema formami dwuliniowymi, a każda postać liniowa jest reprezentowana przez wektor ℝ 3 za pomocą iloczynu skalarnego.

Uwaga  : notacja 〈d *, x〉ℝ 3 oznacza obraz x przez d * w ℝ. Nazywa się to hakiem dualności . Gdy nie ma ryzyka niejednoznaczności, nazwa przestrzeni wektorowej jest pomijana. Notacja ta jest często używana do kanonicznej formy dwuliniowej między liczbą podwójną a jej przestrzenią. W literaturze znajduje się również oznaczenie innych form dwuliniowych, takich jak iloczyn skalarny.

Funkcjonalna przestrzeń

Rozważmy teraz przestrzeń E funkcji ciągłych odcinka [0, 1] w ℝ. Bilinear forma odgrywa kluczową rolę na E . Jest zdefiniowany w następujący sposób:

∀fa,sol∈mi(fa|sol)=∫01fa(t)sol(t) ret.{\ displaystyle \ forall f, g \ in E \ quad (f | g) = \ int _ {0} ^ {1} f (t) g (t) ~ \ mathrm {d} t.}

Po raz kolejny przestrzeń E ma inną dwuliniową postać, tę zdefiniowaną na E * × E, która z dowolną parą elementu d * dualnego E i elementu f z E wiąże obraz 〈d *, f〉 przez d * z f . Jednak „geometria” E odbiega od tej z poprzedniego przykładu. Niech δ mieć postać liniową, która z każdej funkcji f o E współpracownicy C (0). Odpowiada to element E *, ale nie może „reprezentować” funkcję E . Taka forma liniowa nosi nazwę funkcji δ Diraca . W pewnym sensie, podwójny z E jest „zbyt duży” być „reprezentowany” przez funkcje E .

Postać dwuliniowa i zastosowanie liniowe

Podwójny

Podwójny E * jest przestrzeń form liniowych na E . Na E * × E istnieje kanoniczna forma dwuliniowa . kojarzy się z dowolną parą utworzoną z elementu podwójnego f * i elementu x przestrzeni, obraz wektora przez formę liniową.

• Kanoniczna dwuliniowa forma na E * × E nie jest zdegenerowana.
  Rzeczywiście, z definicji jedyną zerową formą liniową na E jest forma zerowa. Jądro po lewej jest więc zredukowane do postaci zerowej. Wektor, który anuluje wszystkie kształty liniowe, należy do wszystkich hiperpłaszczyzn  ; jest to zatem wektor zerowy, który pokazuje, że jądro po prawej stronie jest również zredukowane do wektora zerowego.

Ta dwuliniowa forma odgrywa szczególną rolę: umożliwia wyrażenie wszystkich dwuliniowych form. Niech (| ..) A bilinear forma E x F . Jeśli x jest elementem E , to ( x |.) Jest elementem dual z F . Niech φ 1 będzie mapą od E do F *, co do x wiąże postać liniową ( x |.). Można zdefiniować wzdłuż realizacji cp 2 z F do podwójnego z E . Mamy następujące równości:

∀x∈mi,∀y∈fa(x|y)=⟨φ1(x),y⟩fa=⟨φ2(y),x⟩mi.{\ displaystyle \ forall x \ in E \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) = \ langle \ varphi _ {1} (x), y \ rangle _ {F} = \ langle \ varphi _ {2} (y), x \ rangle _ {E}.}

• Mapy φ 1 i φ 2 są liniowe.
  Ta własność jest bezpośrednią konsekwencją dwuliniowości postaci (. |.).

Rdzeń

Niech N 1 i N 2 będą jądrami po lewej i po prawej stronie formy dwuliniowej. Zgodnie z powyższymi definicjami są one jądrem powiązanych map liniowych φ 1 i φ 2 oraz (. |.) Kanonicznie rozkłada na czynniki przez niezdegenerowaną dwuliniową postać na ilorazach , tj. Na ( E / N 1 ) × ( F / N 2 ). Ta uwaga umożliwia zredukowanie badania ortogonali dla nieokreślonej postaci dwuliniowej do tej dla formy niezdegenerowanej.

W wymiarze skończonym mamy również: postać dwuliniowa (. |.) Nie jest zdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy φ 1 jest izomorfizmem; wtedy E i F mają ten sam wymiar, a φ 2 jest również izomorfizmem. (W szczególności E / N 1 i F / N 2 mają zawsze ten sam wymiar).

Demonstracje dotyczące przypadku wymiaru skończonego

• Jeśli (. |.) Jest niezdegenerowane i jeśli wymiary E i F są skończone, to są one równe:

Rzeczywiście, φ 1 jest więc liniowym wtryskiem E do F *, a zatem dim ( E ) ≤ dim ( F *) = dim ( F ) i podobnie (używając φ 2 ) dim ( F ) ≤ dim ( E ).

• Postać dwuliniowa nie jest zdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy φ 1 jest izomorfizmem, a następnie φ 2 jest również izomorfizmem:

Jeśli dwuliniowa forma nie jest zdegenerowana, to φ 1 i φ 2 są iniekcyjne i zgodnie z poprzednim twierdzeniem wymiary ich przestrzeni odlotu i przybycia są (skończone i) równe, więc są to izomorfizmy. I odwrotnie, jeśli φ 1 jest izomorfizmem, to dim ( E ) = dim ( F *) = dim ( F ) i zgodnie z wnioskiem poprzedniego twierdzenia dim ( E ) = dim ( F / N 2 ), więc N 2 = {0}, a forma jest niezdegenerowana.

Ortogonalność

W podprzestrzeni wektor zdefiniowany jako prostopadłe, w szczególności jądra , spełniają następujące właściwości:

• Jeśli Φ 1 jest zawarte w Φ 2 , to Φ 2 ⊥ jest zawarte w Φ 1 ⊥ . (W szczególności jądro po lewej stronie jest uwzględnione we wszystkich ortogonach po lewej i podobnie po prawej).
• Ortogonalny z Φ ⊥ zawiera Φ.
• Niech E 1 i E 2 będą dwoma podprzestrzeniami wektorowymi E , wtedy ortogonalna sumy E 1 i E 2 jest przecięciem ortogonali. Ortogonalny przecięcia zawiera sumę ortogonalnych:

(mi1+mi2)⊥=mi1⊥∩mi2⊥i(mi1∩mi2)⊥⊃mi1⊥+mi2⊥{\ Displaystyle (E_ {1} + E_ {2}) ^ {\ bot} = E_ {1} ^ {\ bot} \ czapka E_ {2} ^ {\ bot} \ quad {\ tekst {i}} \ quad (E_ {1} \ cap E_ {2}) ^ {\ bot} \ supset E_ {1} ^ {\ bot} + E_ {2} ^ {\ bot}}

Dla dwuliniowej postaci E × F w K, która nie ulega degeneracji w skończonym wymiarze, mamy również:

• dla dowolnej podprzestrzeni Φ E , mapa F / Φ ⊥ w Φ * indukowana przez φ 2 jest izomorfizmem (przez złożenie φ 2 przez naturalną mapę E * na Φ *)

W konsekwencji :

• dla dowolnej podprzestrzeni Φ, kowymiar Φ ⊥ jest równy wymiarowi Φ (uwaga: jeśli E = F , ortogon podprzestrzeni niekoniecznie jest dodatkowym);
• ortogonalna Φ ⊥ jest podprzestrzenią wektorową wygenerowaną przez Φ (innymi słowy: mapa, która z podprzestrzenią E wiąże jej ortogonalność, jest niekolektywna );
• ortogonalny przecięcia dwóch podprzestrzeni jest równy sumie ortogonalnych.

Liniowe zastosowania od kosmosu do dualności

Zbiór form dwuliniowych na E × F tworzy przestrzeń wektorową, oznaczoną L 2 ( E , F  ; K ) lub prościej L 2 ( E , F ).

Powyżej ustępie dotyczącym podwójnego pokazuje istnienie kanonicznej mapie ψ 1 , który, w jakiejkolwiek formie dwuliniowa (|.). Associates liniowej mapie φ 1 do E w F * określa φ 1 ( x ) = ( x |. ). Ta mapa ψ 1 od L 2 ( E , F ) do L ( E , F *) jest wyraźnie liniowa. Jest bardziej bijective The odwrotny bijection kojarzenia w dowolnym liniowego odwzorowania F na S w F *, bilinear postać < f (.),> F . W ten sam sposób definiujemy izomorfizm ψ 2 z L 2 ( E , F ) na L ( F , E *). W podsumowaniu :

L(mi,fa∗)≃⟵ψ1L2(mi,fa)≃⟶ψ2L(fa,mi∗){\ Displaystyle L (E, F ^ {*}) {\ rozpocząć {macierz} \ simeq \\\ longleftarrow \\\ psi _ {1} \ koniec {macierz}} L_ {2} (E, F) {\ begin {matrix} \ simeq \\\ longrightarrow \\\ psi _ {2} \ end {matrix}} L (F, E ^ {*})}

gdzie (dla dowolnej dwuliniowej postaci b i wszystkich wektorów x w E i y w F )

⟨ψ1(b)(x),y⟩fa=b(x,y)=⟨ψ2(b)(y),x⟩mi.{\ Displaystyle \ langle \ psi _ {1} (b) (x), y \ rangle _ {F} = b (x, y) = \ langle \ psi _ {2} (b) (y), x \ rangle _ {E}.}

Ograniczenie do F z transponowaniem o * F 1 ( b ) jest ψ 2 ( b ) (i tak samo przez odwrócenie dwóch wskaźników).

Z definicji iloczynu tensorowego E ⊗ F trzecia przestrzeń jest kanonicznie izomorficzna z przestrzenią dwuliniową:

L2(mi,fa)≃(mi⊗fa)∗.{\ Displaystyle L_ {2} (E, F) \ simeq (E \ otimes F) ^ {*}.}

Z dowolnego z tych trzech izomorfizmów wnioskujemy, że jeśli wymiary E i F są skończone, ich iloczynem jest wymiar L 2 ( E , F ).

Reprezentacja macierzy

Niech E , F są dwa miejsca wektora skończonych rozmiarach, podstawę z E i podstawa C . Do dowolnej macierzy możemy skojarzyć postać dwuliniową  : jeśli x jest wektorem E o współrzędnych X in i y wektorem F o współrzędnych Y in , mi=(mija)1≤ja≤m{\ Displaystyle {\ mathcal {E}} = (e_ {i}) _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik m}}fa=(fajot)1≤jot≤nie{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = (f_ {j}) _ {1 \ równoważnik j \ równoważnik n}} W∈Mm,nie(K.){\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}φ:mi×fa→K.{\ Displaystyle \ varphi: E \ razy F \ do K}mi{\ displaystyle {\ mathcal {E}}}fa{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

φ(x,y)=tX W Y{\ Displaystyle \ varphi (x, y) = ^ {\ operatorname {t}} X \ A \ Y},

Współrzędne X (wzgl. T ) są rozmieszczone w postaci matrycy kolumnie z m (odp. n ) elementów K oraz T X wyznaczania macierzy linia transpozycję z X .

I odwrotnie, mapa dwuliniowa całkowicie określa macierz , ponieważ . φ{\ displaystyle \ varphi}W=(wja,jot){\ Displaystyle A = (a_ {i, j})}wja,jot=φ(mija,fajot){\ Displaystyle a_ {i, j} = \ varphi (e_ {i}, f_ {j})}

To zestawy (zasady są zabezpieczone) izomorfizmem pomiędzy i przestrzeń wektorową form dwuliniową na E x F . mi,fa{\ displaystyle {\ mathcal {E}}, {\ mathcal {F}}}Mm,nie(K.){\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m, n} (K)}

Wzór na zmianę podstawy dla form dwuliniowych jest inny niż dla zastosowań liniowych: możemy go porównać w artykule Macierz przejścia .

Produkt Tensor

Budowa kształtów dwuliniowych

Jeśli a * (odp. B *) jest formą liniową nad E (odp. Nad F ), notacja a * ⊗ b * oznacza zarówno element iloczynu tensorowego E * ⊗ F * liczb podwójnych E i F , oraz iloczyn tensorowy dwóch map a * i b *, który jest formą liniową na E ⊗ F , ( innymi słowy, dwuliniową formą na E × F ), zdefiniowaną przez:

∀x∈mi,∀y∈fa(w∗⊗b∗)(x⊗y)=⟨w∗,x⟩⟨b∗,y⟩.{\ Displaystyle \ forall x \ in E \; \ forall y \ in F \ quad (a ^ {*} \ otimes b ^ {*}) (x \ otimes y) = \ langle a ^ {*}, x \ rangle \ langle b ^ {*}, y \ rangle.}

Zobaczymy później, że ta dwuznaczność zapisu jest nieszkodliwa, ponieważ dwa obiekty, które wyznacza, odpowiadają sobie przez kanoniczne włączenie E * ⊗ F * do ( E ⊗ F ) *. Podobnie E ** ⊗ F ** (i a fortiori E ⊗ F ) jest osadzone w ( E * ⊗ F *) * ≃ L 2 ( E *, F *).

Fakt używania przestrzeni lub jej dwoistości ma głębokie znaczenie w fizyce. Z tego powodu, jeśli zbiór początkowy jest przestrzenią podwójną, fizycy używają terminu kontrawariantny, aw przeciwnym przypadku kowariantny. Pierwszy przedstawiony tu produkt tensorowy jest podwójnie sprzeczny.

Gdy F = E , opracowywane są dwa dodatkowe produkty: produkt zewnętrzny i produkt symetryczny . Stosując do dwóch wektorów a * i b * z E *, otrzymujemy, w charakterystyce innej niż 2:

Produkt symetryczny: w∗⊙b∗=w∗⊗b∗+b∗⊗w∗{\ Displaystyle a ^ {*} \ odot b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} + b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} Produkt zewnętrzny: w∗∧b∗=w∗⊗b∗-b∗⊗w∗{\ Displaystyle a ^ {*} \ ziemia b ^ {*} = a ^ {*} \ otimes b ^ {*} - b ^ {*} \ otimes a ^ {*}} ∀w∗,b∗∈mi∗w∗⊗b∗=w∗⊙b∗2+w∗∧b∗2.{\ Displaystyle \ forall a ^ {*}, b ^ {*} \ in E ^ {*} \ quad a ^ {*} \ otimes b ^ {*} = {\ Frac {a ^ {*} \ odot b ^ {*}} {2}} + {\ frac {a ^ {*} \ land b ^ {*}} {2}}.}

Produkt symetryczny (odpowiednio zewnętrzny) ma wartości w symetrycznych (lub naprzemiennych) formach dwuliniowych. Podprzestrzenie wektorowe generowane przez iloczyn symetryczny i zewnętrzny mają dla sumy bezpośredniej E * ⊗ E *. Jeśli E ma skończony wymiar n , pierwsza podprzestrzeń ma wymiar n ( n + 1) / 2, a druga n ( n - 1) / 2.

Mówiąc bardziej ogólnie (i w dowolnym wymiarze, ale zawsze w charakterystyce innej niż 2) każda dwuliniowa forma rozkłada się w unikalny sposób jako suma symetrii i antysymetrii:

∀x,y∈mi(x|y)=(x|y)+(y|x)2+(x|y)-(y|x)2.{\ Displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad (x | y) = {\ Frac {(x | y) + (y | x)} {2}} + {\ Frac {(x | y) - (y | x)} {2}}.}

Produkt tensorowy i dwoistość

Dwa haki dualności, na E i na F , identyfikujące się z formami liniowymi na E * ⊗ E i F * ⊗ F , ich iloczyn tensorowy jest formą liniową na ( E * ⊗ E ) ⊗ ( F * ⊗ F ) ≃ ( E * ⊗ F *) ⊗ ( E ⊗ F ), czyli dwuliniowa postać na ( E * ⊗ F *) × ( E ⊗ F ). Ten ostatni dziedziczy brak degeneracji dwóch haków. Wyprowadzamy z tego kanoniczne iniekcje liniowe:

mi∗⊗fa∗⊂(mi⊗fa)∗imi⊗fa⊂(mi∗⊗fa∗)∗.{\ Displaystyle E ^ {*} \ otimes F ^ {*} \ podzbiór (E \ otimes F) ^ {*} \ quad {\ tekst {et}} \ quad E \ otimes F \ podzbiór (E ^ {*} \ otimes F ^ {*}) ^ {*}.}

• Pierwszy zastrzyk jest surjektywny wtedy i tylko wtedy, gdy E lub F ma skończony wymiar.
• Drugi zastrzyk jest surjektywny wtedy i tylko wtedy, gdy oba E i F mają skończony wymiar lub jeśli jedno z nich ma wartość zero.

Demonstracja

Te warunki są trywialnie wystarczające. Pokażmy, że są potrzebne.

• Niech E i F nieskończonej rozmiarów odpowiednich zasad ( e I ) indeksowane I oraz ( f j ) indeksowane J , z przykładowo I ⊂ J . Element d ( E ⊗ F ) * zdefiniowany przez d ( e i ⊗ f j ) = δ i , j nie jest obrazem żadnego elementu c z E * ⊗ F * suma r wyrazów postaci a k * ⊗ b k *, ponieważ dla każdego podzbioru skończonej H z i , kwadratu macierzy o c ( e i ⊗ f j ), gdy i i J przesuwu H ma stopień co najwyżej R , podczas gdy nie jest przypadek D .
• Albo F niezerowe zawierające sposób prosty D . Jeśli drugi wtrysk jest włączony dla E i F, to jest również dla E i D , dlatego E jest izomorficznym wymiarem skończonym, ponieważ jego binarny. (Inną metodą jest użycie pierwszej uwagi poniżej).

Uwagi.

• Zastępując E i F ich podwójnymi w pierwszym włączeniu, a następnie składając to przez E ⊗ F ⊂ E ** ⊗ F ** , otrzymujemy drugie.
• Twierdzenie Erdős-Kaplansky i szybkie kardynałowie obliczeń wynika, że przestrzenie E * ⊗ F * i ( E ⊗ F ) * zawsze tej samej wielkości (a więc izomorficzne, nawet gdy nie jest kanoniczny włączenie izomorfizmem).

Wymiar trzeci

Jeśli E jest przestrzenią wektorową o wymiarze n = 3, to przestrzeń A 2 ( E ) naprzemiennych form dwuliniowych ma wymiar n ( n - 1) / 2 = 3. Tak jak iloczyn skalarny pozwala nam zidentyfikować element podwójny z przestrzeni wektorowej, możliwe jest również, aby zidentyfikować bilinear formularz na przemian do wektora E . Mapa, która do trzech wektorów x , y , z , wiąże wyznacznik det ( x , y , z ) B w bazie B , jest naprzemiennie trójliniowa. Ta aplikacja nie zależy od wyboru bazy, pod warunkiem, że jest ona ortonormalna i zorientowana . Przyjmuje nazwę produktu mieszanego  ; jest oznaczony przez [ x , y , z ]. Identyfikuje się wektor c z e w następującej postaci m c :

∀x,y∈mimvs(x,y)=[vs,x,y].{\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad m_ {c} (x, y) = [c, x, y].}

Dwa izomorfizmy

R3→(R3)∗w↦(w|⋅)iR3→W2(R3)vs↦mvs{\ Displaystyle {\ rozpocząć {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} i \ do & (\ mathbb {R} ^ {3}) ^ {*} \\ a & \ mapsto & (a | \ cdot) \ end {matrix}} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ begin {matrix} \ mathbb {R} ^ {3} & \ to & A_ {2} (\ mathbb {R} ^ {3} ) \ \ c & \ mapsto & m_ {c} \ end {matrix}}}

są kompatybilne z produktem zewnętrznym (ℝ 3 ) * × (ℝ 3 ) * → A 2 (ℝ 3 ) i iloczynem krzyżowym ℝ 3 × ℝ 3 → ℝ 3 , oba oznaczone ⋀:

∀w,b∈R3,(w|⋅)∧(b|⋅)=mw∧b.{\ Displaystyle \ forall a, b \ in \ mathbb {R} ^ {3}, \ quad (a | \ cdot) \ ziemia (b | \ cdot) = m_ {a \ ziemia b}.}

Znormalizowana przestrzeń wektorowa

Idąc dalej w badaniu form dwuliniowych w przypadku nieskończonego wymiaru, przydatna jest dodatkowa hipoteza. Polega ona na nadaniu przestrzeni wektorowej topologii (częstym przypadkiem jest sytuacja, w której topologia ta wywodzi się z normy nadającej przestrzeni strukturę metryczną ). Interesują nas wtedy ciągłe formy dwuliniowe. W tym kontekście izomorfizmy ogólne są izometriami, a naturalna kompletność dualności topologicznej nadaje przestrzeni form dwuliniowych silne właściwości. Relacje ortogonalności są określone, jeśli przyjmie się dodatkowe założenie na podprzestrzeniach wektorowych: domknięcie .

W tym akapicie E i F oznaczają dwie przestrzenie wektorowe znormalizowane na polu K równym ℝ lub ℂ, a zatem są kompletne.

Ciągła dwuliniowa forma

Ciągłość form dwuliniowych podlega regułom podobnym do reguł ograniczonych operatorów między znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi . Rzeczywiście, dla dowolnej dwuliniowej postaci b na E × F , zdania są równoważne:

1. b jest ciągły we wszystkich punktach,
2. b jest ciągły w (0, 0),
3. istnieje stała C taka, że ​​dla wszystkich wektorów x w E i y w F , | b ( x , y ) | ≤ C ║ x ║║ y ║,
4. obraz przez b iloczynu kartezjańskiego dwóch kulek jednostkowych jest ograniczony,
5. liniowej mapie ψ 1 ( b ) ma wartość w topologii podwójnego F „ z F i jest ciągła od E do F” ,
6. ψ 2 ( b ) ma wartości w E ' i jest ciągła od F do E'

Jeśli E i F mają skończone wymiary, b jest zatem zawsze ciągłe (ponieważ w skończonym wymiarze każda liniowa mapa jest ciągła).

Demonstracja

• 1 ⇒ 2 i 3 ⇒ 4 są natychmiastowe
• 2 ⇒ 3: ponieważ b wynosi zero w (0, 0), zapisana jest jego ciągłość w tym punkcie∀ε>0, ∃μ>0, ∀mi∈mi, ∀fa∈fa,‖mi‖,‖fa‖≤μ⇒|b(mi,fa)|≤ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, ~ \ istnieje \ mu> 0, ~ \ forall e \ in E, ~ \ forall f \ in F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ leq \ mu \ Rightarrow | b (e, f) | \ leq \ varepsilon}w związku z tym implikuje istnienie stałej C > 0 takiej, że∀mi∈mi, ∀fa∈fa,‖mi‖,‖fa‖≤1/VS⇒|b(mi,fa)|≤1,{\ displaystyle \ forall e \ in E, ~ \ forall f \ in F, \ quad \ | e \ |, \ | f \ | \ równoważnik 1 / {\ sqrt {C}} \ Rightarrow | b (e, f ) | \ leq 1,}stąd 3, ponieważ

∀x∈mi, ∀y∈fa,x,y≠0⇒|b(x‖x‖VS,y‖y‖VS)|≤1.{\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ forall y \ in F, \ quad x, y \ neq 0 \ Rightarrow \ left | b \ left ({\ Frac {x} {\ | x \ | {\ sqrt {C}}}}, {\ frac {y} {\ | y \ | {\ sqrt {C}}}} \ right) \ right | \ leq 1.}

• 4 ⇔ 5 ⇔ 6: 5 oznacza, że ​​obraz kuli jednostkowej E jest ograniczoną częścią F ' , co jest zapisane jako 4. Podobnie dla 6.
• 5 i 6 ⇒ 1: jeśli ψ 1 ( b ) i ψ 2 ( b ) mają wartości ciągłe i są ciągłe w 0, to dla wszystkich ε> 0 istnieje μ ∈] 0, 1] takie, że‖godz‖≤μ⇒‖b(godz,⋅)‖≤εi‖k‖≤μ⇒‖b(⋅,k)‖≤ε{\ Displaystyle \ | h \ | \ równoważnik \ mu \ Rightarrow \ | b (h, \ cdot) \ | \ leq \ varepsilon \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ | k \ | \ równoważnik \ mu \ Strzałka w prawo \ | b (\ cdot, k) \ | \ leq \ varepsilon}tak, że b jest ciągłe we wszystkich punktach ( x , y ), ponieważ‖godz‖,‖k‖≤μ⇒‖b(x+godz,y+k)-b(x,y)‖=‖b(x,k)+b(godz,y)+b(godz,k)‖≤ε(‖x‖+‖y‖+1).{\ Displaystyle \ | h \ |, \ | k \ | \ równoważnik \ mu \ Rightarrow \ | b (x + h, y + k) -b (x, y) \ | = \ | b (x, k) + b (h, y) + b (h, k) \ | \ leq \ varepsilon (\ | x \ | + \ | y \ | +1).}

Przestrzeń o ciągłych dwuliniowych kształtach

Zbiór ℒ 2 ( E , F ) ciągłych form dwuliniowych jest wyraźnie wektorową podprzestrzenią przestrzeni L 2 ( E , F ) form dwuliniowych.

• Przestrzeń ciągłych form dwuliniowych na E × F jest znormalizowana przez normę operatorów.

Norma postaci dwuliniowej jest zdefiniowana jako górna granica iloczynu kartezjańskiego dwóch kulek jednostkowych B E (1) i B F (1) obrazu wartości bezwzględnej lub modułu postaci dwuliniowej.

‖b‖=łykx∈bmi(1),y∈bfa(1)b(x,y).{\ Displaystyle \ | b \ | = \ sup _ {x \ w B_ {E} (1), y \ w B_ {F} (1)} b (x, y).}

Aby być przekonanym, że ta mapa jest rzeczywiście normą, wystarczy zauważyć, że jest ona obrazem normy operatorów ℒ ( E , F ' ) przez izomorfizm ψ 1  ; W konsekwencji :

• Mapa ψ 1 (odpowiednio Ψ 2 ) jest izometrią ℒ 2 ( E , F ) w ℒ ( E , F ' ) (odpowiednio ℒ ( F , E' )), jeśli przestrzenie są wyposażone w normę operatorów .

Spacja ℒ ( E 1 , E 2 ) jest pełna, jeśli E 2 jest . Ponieważ K jest kompletne, ℒ ( F , K ), to znaczy F ' , jest również tym samym ℒ ( E , F' ). W konsekwencji :

• Przestrzeń ciągłych form dwuliniowych na E × F jest zakończona.

Jeśli F jest kompletne i wyposażone w iloczyn skalarny (. |.), To F jest kwalifikowane jako przestrzeń Hilberta . W tym przypadku twierdzenie Riesza o reprezentacji wskazuje, że istnieje izomorfizm izometryczny między F i jego dualnością. Jest to aplikacja, która z wektorem x wiąże postać ( x |.), W konsekwencji:

• Mapa, która do dowolnego operatora a od E do F wiąże następujący dwuliniowy format oznaczony (. |.) A jest izomorfizmem izometrycznym.

∀x∈mi,∀y∈fa(x|y)w=(w(x)|y){\ displaystyle \ forall x \ in E \; \ forall y \ in F \ quad (x | y) _ {a} = (a (x) | y)}

Konfiguracja jest taka sama jak w skończonym wymiarze.

Ortogonalne i biortogonalne

Niech b będzie ciągłą formą dwuliniową na iloczynu E × F dwóch topologicznych przestrzeni wektorowych .

• Dla każdego cp rodziny E , podprzestrzeń cp ⊥ jest zamknięty w F .
  Rzeczywiście, jest to przecięcie jąder form liniowych ψ 1 ( b ) ( x ), gdy x przechodzi Φ, ale te jądra są zamknięte, ponieważ te formy są ciągłe.

W konsekwencji biortogonalna (Φ ⊥ ) ⊥ zawiera nie tylko przestrzeń wektorową wygenerowaną przez Φ, ale także jej adhezję .

Dla haka między przestrzenią Banacha E i jej podwójnym E ' , biortogonalna podprzestrzeni Φ E jest zredukowana do adhezji Φ (jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia Hahna-Banacha ), więc jeśli E jest zwrotne , ta własność rozciąga się na podprzestrzenie E ' . Ale bez tej hipotezy o refleksyjności właściwość nie rozszerza się (por. Np. Przestrzeń ℓ 1 , aw jej podwójnym ℓ ∞ podprzestrzeń c 0 ciągów o granicy zerowej).

Uwagi i odniesienia

1. Serge Lang , Algebra [ szczegóły wydań ]w języku angielskim, 1965, c. XIII § 5.
2. (en) Rainer Kress , Linear Integral Equations , Springer,1999( czytaj online ) , s.  39-40.
3. Demonstracja zainspirowana odpowiedzią Neila Stricklanda  (de) w produktach (en) Duals i Tensor w MathOverflow .

• J.-M. Arnaudiès i H. Fraysse Mathematics Course 4: Bilinear algebra and geometry , Dunod, 1990
• C. Semay i B. Silvestre-Brac, Wprowadzenie do rachunku tensorowego, zastosowanie do fizyki , Dunod, 2007 ( ISBN  978-2-10-050552-4 )
• Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]

Zobacz też

Powiązane artykuły

• Forma wieloliniowa
• Forma Sesquilinear
• Aplikacja dwuliniowa
• Aplikacja wieloliniowa

Linki zewnętrzne

• Formularze dwuliniowe na les-mathematiques.net. Ta strona zajmuje się głównie skończonym wymiarem.
• Dwuliniowe formy całkowe i operatory całkowe autorstwa Laurenta Schwartza . Ta rozmowa dotyczy tylko przypadku o nieskończonym wymiarze.
• (en) „  Dwuliniowa forma  ” na PlanetMath

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">